三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教(學(xué))案

1、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一. 教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能 1能夠借助三角函數(shù)的定義與單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。 2能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問題。 2過程與方法1經(jīng)歷由幾何直觀探討數(shù)量關(guān)系式的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括能力。2通過對(duì)誘導(dǎo)公式的探求和運(yùn)用，培養(yǎng)化歸能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。 3情感、態(tài)度、價(jià)值觀 1通過對(duì)誘導(dǎo)公式的探求，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力、鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。 2在誘導(dǎo)公式的探求過程中，運(yùn)用合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)展，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。二. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) : 探求a的誘導(dǎo)公式。a與a的誘導(dǎo)公

2、式在小結(jié)a的誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)過程的根底上，教師引導(dǎo)學(xué)生推出。教學(xué)難點(diǎn) : a，a與角a終邊位置的幾何關(guān)系，發(fā)現(xiàn)由終邊位置關(guān)系導(dǎo)致與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，運(yùn)用任意角三角函數(shù)的定義導(dǎo)出誘導(dǎo)公式的“研究路線圖。三. 教學(xué)方法與教學(xué)手段問題教學(xué)法、合作學(xué)習(xí)法，結(jié)合多媒體課件四. 教學(xué)過程角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)大到了任意角，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個(gè)具體的問題。一問題提出如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0360角三角函數(shù)求值問題。【問題 1】求 390角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函數(shù)的定義可以知道，終邊一樣的角的同一三角函數(shù)值相等，三角函數(shù)看重的就是終邊位

3、置關(guān)系。即有：sin(+k360) = sin，cos(+k360) = cos ，(k z) tan(+k360) = tan。這組公式用弧度制可以表示成 sin(+2k )=sin ，cos(+2k)= cos ， (kz) (公式一 ) tan(+2k)= tan 。二嘗試推導(dǎo)如何利用對(duì)稱推導(dǎo)出角與角的三角函數(shù)之間的關(guān)系。由上一組公式，我們知道， 終邊一樣的角的同一三角函數(shù)值一定相等。反過來呢？如果兩個(gè)角的三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定一樣嗎?比方說：【問題 2】你能找出和30角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱 , 有2 / 6 sin( ) = sin ，cos(

4、 ) =cos ， 公式二tan( ) = tan 。思考請(qǐng)大家回憶一下，剛剛我們是如何獲得這組公式( 公式二 ) 的? 因?yàn)榕c角終邊關(guān)于y軸對(duì)稱是角 -， ，利用這種對(duì)稱關(guān)系，得到它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。于是，我們就得到了角與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: 正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進(jìn)而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路線圖：角間關(guān)系對(duì)稱關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系三角函數(shù)值間關(guān)系。三自主探究如何利用對(duì)稱推導(dǎo)出+,與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。剛剛我們利用單位圓，得到了終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的角-與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，下面我們還可以研究什么呢？【問題 3】 兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸

5、對(duì)稱 , 你有什么結(jié)論?兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，有：sin() = sin ，cos() = cos ， 公式三tan() = tan 。角 + 與角終邊關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱，有：sin( + ) = sin ，cos( + ) = cos ， 公式四tan( + ) = tan 。上面的公式一四都稱為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。四簡(jiǎn)單應(yīng)用例求以下各三角函數(shù)值： (1) sin76； (2) cos(60) ； 3tan(855) 五回憶反思【問題 4】回憶一下，我們是怎樣獲得誘導(dǎo)公式的?研究的過程中，你有哪些體會(huì)? 知識(shí)上，學(xué)會(huì)了四組誘導(dǎo)公式；思想方法層面：誘導(dǎo)公式表達(dá)了由未

6、知轉(zhuǎn)化為的化歸思想；誘導(dǎo)公式所提醒的是終邊具有某種對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)角三角函數(shù)之間的關(guān)系。主要表達(dá)了化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。具體可以表示如下：六分層作業(yè) 1、閱讀課本，體會(huì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中的思想方法； 2、必做題課本 23 頁 13 3、選做題 1你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導(dǎo)到另外一組公式嗎？ 2角和角的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系，你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系嗎？3 / 6 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 (第 1 課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)說明一、 教學(xué)背景分析1. 教材的地位和作用本節(jié)教學(xué)容是4 組三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程與其簡(jiǎn)單應(yīng)用。承上，有任意角三角函數(shù)正弦、余弦和正切的比值定義

7、、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關(guān)系等；啟下，學(xué)生將學(xué)習(xí)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)展任意角三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)，以與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)包括三角函數(shù)的周期性等容。同時(shí)，學(xué)生在初中就接觸過對(duì)稱等知識(shí)，對(duì)幾何圖形的對(duì)稱等知識(shí)相當(dāng)熟悉。這些構(gòu)成了學(xué)生的知識(shí)根底。誘導(dǎo)公式的作用主要在于把任意角的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)，表達(dá)了把一般化特殊、復(fù)雜化簡(jiǎn)單、未知化的數(shù)學(xué)思想。2. 目標(biāo)定位誘導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，但是隨著計(jì)算器的普與，上述意義不是很大。我們認(rèn)為，誘導(dǎo)公式的教學(xué)價(jià)值主要表達(dá)在以下幾個(gè)方面：第一，感受探索發(fā)現(xiàn)，通過幾何對(duì)稱這個(gè)研究工具， 去探索發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)間的數(shù)量關(guān)系式，即

8、三角函數(shù)的根本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)主要是其對(duì)稱性質(zhì)的代數(shù)解析表示。第二，學(xué)會(huì)初步應(yīng)用，能夠選用恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題并求解。第三，領(lǐng)悟思想方法，在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法。第四，積累數(shù)學(xué)經(jīng)歷，為學(xué)生認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)既是一個(gè)起源于圓周運(yùn)動(dòng)的周期函數(shù)又是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)做好準(zhǔn)備。為此，我們制定了本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)詳見教案，以與本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)。二、教學(xué)設(shè)計(jì)分析在進(jìn)展本課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，有以下兩條典型教學(xué)路線可供選擇：1兩個(gè)角的終邊有哪些特殊的對(duì)稱關(guān)系？ 2怎樣把非第一象限的角轉(zhuǎn)化為第一象限的角？我們最終選擇了第一條

9、路線，主要基于以下兩點(diǎn)考慮。1.尊重教材的編寫方式。從對(duì)教材的分析來看，教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來定位，力圖在單位圓中借助對(duì)稱性來考察對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，從而統(tǒng)整各組誘導(dǎo)公式。教材的編寫處理表達(dá)了教材專家的集體智慧和版本教材的一貫特色，教師應(yīng)該努力體會(huì)和把握，不宜輕率拋開教材另搞一套。2.切合學(xué)生的認(rèn)知水平。利用學(xué)生熟悉的圓與其對(duì)稱性研究三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知心理。同時(shí)，單位圓與其對(duì)稱性的表象對(duì)學(xué)生推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、理解公式之間的在聯(lián)系、形象記憶三角函數(shù)誘導(dǎo)公式都將起到事半功倍的效果。三、教學(xué)過程分析基于以上分析，我們確定了如下的本節(jié)課教學(xué)路線圖：角間關(guān)系對(duì)稱關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系三角函

10、數(shù)值間關(guān)系圍繞這個(gè)教學(xué)路線當(dāng)然也是學(xué)生的研究路線，我將教學(xué)分成6 個(gè)環(huán)節(jié)并設(shè)計(jì)成問題串的形式，通過這些問題解構(gòu)教材，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)歷。1. 問題提出【教學(xué)安排】如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0360角三角函數(shù)求值問題。【問題 1】求 390的正弦、余弦值?！驹O(shè)計(jì)意圖】 前面的學(xué)習(xí)中， 已經(jīng)將角的概念從銳角擴(kuò)大到了任意角，學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，4 / 6 接下來自然地會(huì)提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求。于是，先安排求特殊值再過渡到一般情形比擬符合學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生在求三角函數(shù)值時(shí)

11、抓坐標(biāo)、抓角終邊之間的關(guān)系。同時(shí)，首先考慮+2k kz與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，有助于學(xué)生理解三角函數(shù)被看成刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期性變化的數(shù)學(xué)模型確實(shí)切含義。2嘗試推導(dǎo)【教學(xué)安排】如何利用對(duì)稱推導(dǎo)出角與角的三角函數(shù)之間的關(guān)系。【問題 2】你能找出和30角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？【設(shè)計(jì)意圖】 對(duì)問題 2 的提問方式的設(shè)計(jì)主要是考慮到我們?cè)谘芯繂栴}的時(shí)候常常會(huì)研究它的逆命題、否命題、等價(jià)命題等。事實(shí)上問題2 可以看成是“假設(shè)兩個(gè)角的終邊一樣，那么它們的正弦值一樣的逆命題，即“假設(shè)兩個(gè)角的正弦值一樣，那么兩個(gè)角的終邊一樣。但這里是以問題的形式提出的，實(shí)際上教會(huì)了學(xué)生一種自己研究問題的方法。在得出角

12、與角的三角函數(shù)之間的關(guān)系后，提出：思考請(qǐng)大家回憶一下，剛剛我們是如何獲得這組公式( 公式二 ) 的？【設(shè)計(jì)意圖】階段小結(jié)，讓學(xué)生將對(duì)稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用。將上述研究過程進(jìn)展梳理，得出“角間關(guān)系對(duì)稱關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系三角函數(shù)值間關(guān)系的研究路線圖。3自主探究【教學(xué)安排】如何利用對(duì)稱推導(dǎo)出+，與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系?！締栴} 3】?jī)蓚€(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，你有什么結(jié)論？?jī)蓚€(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？【設(shè)計(jì)意圖】從兩個(gè)角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的情況進(jìn)展自然過渡，給學(xué)生留下了自主探究的空間，讓他們?cè)俅谓?jīng)歷公式的研究過程，從而得出公式三和四，并將問題2 研究方法一般化。4簡(jiǎn)單應(yīng)用【教學(xué)安排】例題的練習(xí)

13、、講解。【例 1】求以下各三角函數(shù)值： (1) sin76；(2) cos(60) ； 3tan(855) 。【設(shè)計(jì)意圖】初步熟悉誘導(dǎo)公式的使用，讓學(xué)生感悟在解決問題的過程中，如何合理的使用這幾組公式。此外，引導(dǎo)學(xué)生注意同一個(gè)三角函數(shù)的求值問題可以采用不同的誘導(dǎo)公式，啟發(fā)學(xué)生這些公式的在關(guān)系和聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)方法的多樣性。5回憶反思【教學(xué)安排】開放式小結(jié)?！締栴} 4】回憶一下，我們是怎樣獲得誘導(dǎo)公式的？研究的過程中，你有哪些體會(huì)？【設(shè)計(jì)意圖】開放式小結(jié)，使得不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和收獲。這些問題的提出，側(cè)重于誘導(dǎo)公式推導(dǎo)方法的回憶和反思，側(cè)重于個(gè)體情感體驗(yàn)的分享和表達(dá)，從而區(qū)別于側(cè)重于公式規(guī)

14、律的總結(jié)和記憶。6分層作業(yè)【教學(xué)安排】作業(yè)布置?！咀鳂I(yè)】1閱讀課本，體會(huì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中的思想方法。2必做題：課本第23 頁第 13 題。3選做題： 1你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導(dǎo)到另外一組公式嗎？ 2角和角的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系？你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系嗎？【設(shè)計(jì)意圖】分層作業(yè)有利于不同層次的學(xué)生鞏固知識(shí)，提升思維能力。閱讀課本旨在引導(dǎo)學(xué)生教科書是學(xué)習(xí)的根本，閱讀課本有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的回歸課本的學(xué)習(xí)習(xí)慣。而出現(xiàn)選做題目，目的是提供多元化和挑戰(zhàn)性選擇，促使學(xué)有余力的學(xué)生課后思考和自主探究幾組公式之間的在聯(lián)系。5 / 6 四、教后思考分析1關(guān)于設(shè)計(jì)定位的

15、反思就三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式來說，教學(xué)設(shè)計(jì)定位時(shí)一般會(huì)出現(xiàn)以下幾種傾向：其一，定位于知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道存在一些公式，可以將任意角的三角函數(shù)進(jìn)展一些轉(zhuǎn)化。其二，定位于公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生努力分析和總結(jié)各組公式的形式規(guī)律，背誦“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限等口訣，追求靈活運(yùn)用等解題能力的提高。公式理解強(qiáng)過公式記憶。關(guān)于公式規(guī)律的總結(jié)和口訣的記憶，當(dāng)然很重要，但這不是第一節(jié)課的容。我們可以在所有誘導(dǎo)公式都學(xué)習(xí)過后，再來總結(jié)不遲。此外，采用本課的利用對(duì)稱性的方法來學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式，可以通過圖形的對(duì)稱性來形象記憶，可以減輕學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，躲避死記硬背現(xiàn)象的發(fā)生。其三，聚焦誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，強(qiáng)調(diào)對(duì)公式產(chǎn)生的過程的深入理解

16、。其四，在關(guān)注知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法的理解和領(lǐng)悟。本課主要涉與數(shù)形結(jié)合、從一般到特殊或從特殊到一般、模型思想、化歸思想、追求簡(jiǎn)易等數(shù)學(xué)思想方法。我們認(rèn)為新授知識(shí)是很重要的，而數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含其中的，應(yīng)該潛移默化地滲透，不能貼標(biāo)簽，更不能因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的重要而喧賓奪主地過渡渲染。2關(guān)于教學(xué)難點(diǎn)的突破1本節(jié)課的難點(diǎn)在于從問題2 出發(fā)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于y 軸對(duì)稱的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，從而總結(jié)出研究線路圖。從對(duì)教材的分析來看，教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來定位，力圖在單位圓中借助對(duì)稱性來考察對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，這樣處理的好處是簡(jiǎn)化了任意角的象限分類和化歸，起到了利用直觀的對(duì)稱這個(gè)工具和研究手法

17、去研究誘導(dǎo)公式的變化規(guī)律的目的，提醒了代數(shù)和幾何的有機(jī)結(jié)合和統(tǒng)一。2 任意性循環(huán)上升。在這節(jié)課中，角的任意性是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，為此我們?cè)O(shè)置了三個(gè)點(diǎn)： 1問題 2 中非 30不可嗎？任意角 行不行？2幾何畫板拖動(dòng)演示感受角 的任意性。3習(xí)題中進(jìn)一步深化學(xué)生認(rèn)識(shí)。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，對(duì)這個(gè)問題還會(huì)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，有許多同學(xué)在一開場(chǎng)是將角 當(dāng)成銳角去處理的，但我在教學(xué)中不過分強(qiáng)調(diào)角 的任意性，因?yàn)閷?duì)待數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不能一步到位，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)循環(huán)上升，力求順其自然，水到渠成。3關(guān)于問題串的設(shè)置調(diào)控在本節(jié)課中，我們將教學(xué)設(shè)計(jì)成以一以貫之的問題串形式，通過這些問題串起相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題，使

18、學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，形成能力，開展認(rèn)知。我們?cè)谠O(shè)計(jì)過程中，盡量將問題的難易程度定位在學(xué)生的最近開展區(qū)，問題的設(shè)計(jì)從思維的角度來說具有一定的開放性，使得學(xué)生可以從不同的角度來思考；問題的設(shè)計(jì)從解決的難度來說具有一定的層次性，使得不同的學(xué)生盡量愿意提出自己的見解。教師通過問題串的這個(gè)腳手架便于組織教學(xué)，并和學(xué)生形成互動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)形成網(wǎng)狀知識(shí)聯(lián)結(jié)。實(shí)踐證明，問題串的使用讓教學(xué)組織有章可循，容推進(jìn)自然而不造作，完整而不破碎。4關(guān)于教學(xué)評(píng)價(jià)分析我們覺得本次的教學(xué)設(shè)計(jì)和學(xué)生認(rèn)知水平根本吻合, 學(xué)生的參與程度較高。如果學(xué)生的根底薄弱一些，我們會(huì)做些調(diào)整，把問題的指向性更明確一些，根底性的練習(xí)增加一些