高等數(shù)學(xué)講義

1、高等數(shù)學(xué)講義第一章 函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1.理解函數(shù)的概念2.了解分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的概念3.了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念，會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).4.會建立簡單實際問題的函數(shù)模型.（二） 內(nèi)容提要1.函數(shù)的定義(1) 函數(shù)的定義定義1 設(shè)和是兩個變量,是一個給定的數(shù)集,如果對于每個數(shù),變量按照一定法則總有惟一確定的數(shù)值與其對應(yīng),則稱是的函數(shù),記作.數(shù)集稱為該函數(shù)的定義域, 稱為自變量, 稱為因變量.當自變量取數(shù)值時，因變量按照法則所取定的數(shù)值稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值，記作.當自變量遍取定義域的每個數(shù)值時,對應(yīng)的函數(shù)值的全體組成的數(shù)集=稱為函數(shù)的值域.定義2

2、 設(shè)與是兩個非空實數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)規(guī)則，使得對中任何一個實數(shù)，在中都有惟一確定的實數(shù)與對應(yīng)，則對應(yīng)規(guī)則稱為在上的函數(shù)，記為 ,稱為對應(yīng)的函數(shù)值，記為,其中，稱為自變量，稱為因變量.由定義2知, 函數(shù)是一種對應(yīng)規(guī)則，在函數(shù)中，表示函數(shù)，是對應(yīng)于自變量的函數(shù)值，但在研究函數(shù)時，這種對應(yīng)關(guān)系總是通過函數(shù)值表現(xiàn)出來的，所以習(xí)慣上常把在處的函數(shù)值稱為函數(shù)，并用的形式表示是的函數(shù).但應(yīng)正確理解，函數(shù)的本質(zhì)是指對應(yīng)規(guī)則.例如就是一個特定的函數(shù)，確定的對應(yīng)規(guī)則為就是一個函數(shù).(2) 函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，而函數(shù)值又是由對應(yīng)規(guī)則來確定的，所以函數(shù)實質(zhì)上是由其定義域和對應(yīng)規(guī)則所確定的，

3、因此通常稱函數(shù)的定義域和對應(yīng)規(guī)則為函數(shù)的兩個要素.也就是說，只要兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)規(guī)則也相同，就稱這兩個函數(shù)為相同的函數(shù)，與變量用什么符號表示無關(guān)，如，就是相同的函數(shù).2 函數(shù)的三種表示方法(1) 圖像法 (2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函數(shù)時經(jīng)常遇到下面幾種情況： 分段函數(shù) 在自變量的不同取值范圍內(nèi)，用不同的公式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).如 就是一個定義在區(qū)間上的分段函數(shù). 用參數(shù)方程確定的函數(shù) 用參數(shù)方程 （）表示的變量與之間的函數(shù)關(guān)系，稱為用參數(shù)方程確定的函數(shù).例如函數(shù)可以用參數(shù)方程表示. 隱函數(shù) 如果在方程中，當在某區(qū)間I內(nèi)任意取定一個值時，相應(yīng)地總有滿足該方程的惟

4、一的值存在，則稱方程在區(qū)間I內(nèi)確定了一個隱函數(shù).例如方程就確定了變量是變量之間的函數(shù)關(guān)系.注意 能表示成(其中僅為的解析式)的形式的函數(shù),稱為顯函數(shù). 把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程稱為隱函數(shù)的顯化.例如可以化成顯函數(shù).但有些隱函數(shù)確不可能化成顯函數(shù),例如.3 函數(shù)的四種特性設(shè)函數(shù)的定義域為區(qū)間，函數(shù)的四種特性如下表所示.函數(shù)的四種特性表函數(shù)的特性定 義圖像特點奇偶性 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若對任意滿足則稱是上的偶函數(shù)；若對任意滿足則稱是上的奇函數(shù)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱;奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱單調(diào)性 若對任意，當時，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的

5、單調(diào)增加函數(shù)；當時，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)減少函數(shù)，單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則稱區(qū)間為單調(diào)區(qū)間單調(diào)增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)上升的曲線; 單調(diào)減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)下降的曲線有界性 如果存在，使對于任意滿足則稱函數(shù)是有界的圖像在直線與之間周期性 如果存在常數(shù)，使對于任意，有則稱函數(shù)是周期函數(shù)，通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小周期在每一個周期內(nèi)的圖像是相同的4 基本初等函數(shù)六種基本初等函數(shù)見下表 六種基本初等函數(shù)表函數(shù)解析表達式常函數(shù)（為常數(shù)）冪函數(shù)（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)（,為常數(shù)）對數(shù)函數(shù)（,為常數(shù)）三角函數(shù)反三角函數(shù)arc

6、arc,arc5. 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)二、主要解題方法1求函數(shù)定義域的方法例1 求下列函數(shù)的定義域:(1) =+ ，(2) =.小結(jié) 函數(shù)由解析式給出時，其定義域是使解析式子有意義的一切函數(shù).為此求函數(shù)的定義域時應(yīng)遵守以下原則：(I) 在式子中分母不能為零；(II)在偶次根式內(nèi)非負；(III)在對數(shù)中真數(shù)大于零；(IV)反三角函數(shù) ，要滿足；(V)兩函數(shù)和（差）的定義域，應(yīng)是兩函數(shù)定義域的公共部分；(VI) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.(VII)求復(fù)合函數(shù)的定義域時，一般是外層向里層逐步求.2將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的方法例2 將下列復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡

7、單函數(shù) (1) ， （2） . 小結(jié) （I）復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程是由里到外，函數(shù)套函數(shù)而成的.分解復(fù)合函數(shù)，是采取由外到內(nèi)層層分解的辦法.從而拆成若干基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運算.（II）基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算所得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù).3 建立實際問題的函數(shù)模型的方法 例3 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為若干臺，每臺售價為300元，當年產(chǎn)量超過600臺時，超過部分只能打8折出售，這樣可出售200臺，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型. 例4 一下水道的截面是矩形加半圓形(如圖)，截面積為，是一常量。這常量取決于預(yù)定的排水量.設(shè)截面的周長為，底寬為，試建立與的函數(shù)

8、模型. 小結(jié) 運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題時，通常要先找出變量間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)式子表示出來，然后再進行分析和計算.建立函數(shù)模型的具體步驟可為 ：(1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示.(2) 根據(jù)所給條件，運用數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟及其他知識，確定等量關(guān)系.(3) 具體寫出解析式，并指明其定義域.三、學(xué)法建議1本章的重點是函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)等概念以及定義域的求法.2本章所介紹的內(nèi)容雖然絕大部分屬于基本概念，并且在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，但它們是微積分學(xué)本身研究問題時的主要依據(jù).因次，學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容應(yīng)在原有的基礎(chǔ)上進行復(fù)習(xí)提高. 3從實際問題中建立函數(shù)模型是解決實際問題關(guān)鍵性的一步，也是

9、比較困難的一步，因為要用到幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等方面的知識與定律.但我們?nèi)砸⒁膺@方面的訓(xùn)練，以便逐步培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.第二章 極限與函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1了解極限的描述性定義2了解無窮小、無窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)3會用兩個重要極限公式求極限4掌握極限的四則運算法則5理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，知道間斷點的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）7會用函數(shù)的連續(xù)性求極限（二）內(nèi)容提要極限的定義(1) 函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表類型描述性定義極限記號設(shè)函數(shù)在 為某個正實數(shù))時有定義

10、，如果當自變量的絕對值無限增大時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于無窮”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當自變量無限增大時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于正無窮”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)(為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當自變量無限增大且時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于負無窮”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在內(nèi)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為當（讀作“趨近于”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在此半鄰域內(nèi)從左側(cè)無限接近于時，

11、相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當趨近于時函數(shù)的左極限或設(shè)函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在此半鄰域內(nèi)從右側(cè)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當趨近于時函數(shù)的右極限或數(shù)列的極限對于數(shù)列，若當自然數(shù)無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù),則稱為當趨于無窮時數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于或若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散不存在（2）單側(cè)極限與極限的關(guān)系定理的充分必要條件是的充分必要條件是（）極限存在準則單調(diào)有界數(shù)列極限的存在定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限夾逼準則若當時，有，且，則2. 極限的四則運算法則設(shè)及都存在，則(1) ；(2) , (為任意常數(shù));(3) 上述

12、極限四則運算法則對自變量的其他變化過程下的極限同樣成立3 兩個重要極限(1) 一般形式為（其中代表的任意函數(shù)）(2) 一般形式為 （其中代表的任意函數(shù)） 無窮小量與無窮大量（）無窮小量在自變量的某個變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡稱無窮小例如,如果，則稱當時,是無窮小量注意 一般說來，無窮小表達的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個變量無論多么小，都不能是無窮小量，數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)（） 無窮大量在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大應(yīng)該注意的是：無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號，表示

13、“當時, 是無窮大量” （）無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量（）無窮小量的運算 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量 有限個無窮小量的乘積是無窮小量 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量（5）無窮小量的比較下表給出了兩個無窮小量之間的比較定義無窮小量的比較表設(shè)在自變量的變化過程中，均是無窮小量無窮小的比較定 義記 號（）（）（） 極限與無窮小量的關(guān)系定理的充分必要條件是，其中是當時的無窮小量（） 無窮小的替換定理設(shè)當時，存在，則5函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點連續(xù)的概念函數(shù)在一點連續(xù)的兩個等價的定義：定義

14、設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若當自變量的增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即 ，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，或稱是的一個連續(xù)點定義若，則稱函數(shù)在點處連續(xù) 左右連續(xù)的概念若，則稱函數(shù)在點處左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在點處右連續(xù) 函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是在點處既左連續(xù)又右連續(xù)由此可知，函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件：函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，存在，這個極限等于函數(shù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間如果連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點連續(xù)是指右

15、連續(xù) 間斷點若函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱點為函數(shù)的間斷點 間斷點的分類設(shè)為的一個間斷點，如果當時，的左極限、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點；否則，稱為的第二類間斷點對于第一類間斷點有以下兩種情形： 當與都存在，但不相等時，稱為的跳躍間斷點； 當存在，但極限不等于時，稱為的可去間斷點 初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值 根的存在定理 設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且異號，則至少存在一點，使得 介值定理 設(shè)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，且，則對介于之間的任意一個數(shù)，則至少

16、存在一點，使得二、主要解題方法1求函數(shù)極限方法(1) 利用極限存在的充分必要條件求極限例1 求下列函數(shù)的極限：（1）， （2） 當為何值時，在的極限存在.解 (1),因為左極限不等于右極限，所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點處，兩邊的表達式不同，因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限于是，有， ，為使存在，必須有=，因此 ，當=1 時， 存在且 =1小結(jié) 對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時極限才存在，否則，極限不存在 （3）利用極限運算法則求極限例2 求下列函數(shù)的極限：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 解 (1) =(2)

17、當時，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運算法則原式=(3) 當時，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則，可先進行通分化簡，再用商的運算法則即原式=(4) 當時，分子分母均無極限，呈現(xiàn)形式需分子分母同時除以，將無窮大的約去，再用法則求原式=小結(jié) （）應(yīng)用極限運算法則求極限時，必須注意每項極限都存在（對于除法，分母極限不為零）才能適用（II）求函數(shù)極限時，經(jīng)常出現(xiàn) 等情況，都不能直接運用極限運算法則，必須對原式進行恒等變換、化簡，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法（）對于型，往往需要先通分，

18、化簡，再求極限，（）對于無理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，（）對分子、分母進行因式分解，再求極限，（）對于當時的型，可將分子分母同時除以分母的最高次冪，然后再求極限（3）利用無窮小的性質(zhì)求極限例3 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解（1） 因為 而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決因為，所以當時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即 （2）不能直接運用極限運算法則，因為當時分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而 ，因此當時，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得.小結(jié) 利用無窮小與無窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)

19、極限）；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無窮小之積的函數(shù)極限）（4）利用兩個重要極限求函數(shù)的極限例4 求下列函數(shù)的極限：（1） ， （2）解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=（2）解一 原式=，解二 原式=小結(jié) （）利用求極限時，函數(shù)的特點是型，滿足的形式，其中為同一變量；（）用求極限時，函數(shù)的特點型冪指函數(shù)，其形式為型,為無窮小量，而指數(shù)為無窮大，兩者恰好互為倒數(shù)；（）用兩個重要極限公式求極限時，往往用三角公式或代數(shù)公式進行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標準形式。(5) 利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有當 時

20、,例5 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解 （1）= （）（2）= （） 小結(jié) 利用等價無窮小可代換整個分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當分子或分母為多項式時，一般不能代換其中一項。否則會出錯如上題 , 即得一錯誤結(jié)果（6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6 求下列函數(shù)的極限 （1） ， （2）解 (1) 因為是初等函數(shù)，在處有定義，所以 ，(2) 函數(shù)看成由 復(fù)合而成，利用分子有理化，然后利用復(fù)合函數(shù)求極限的法則來運算 =小結(jié) 利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復(fù)合函數(shù)的極限，極限符號與函數(shù)符號可交換次序2判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)

21、總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性 例 7 討論函數(shù) ， 在點處的連續(xù)性 解 由于函數(shù)在分段點處兩邊的表達式不同，因此，一般要考慮在分段點處的左極限與右極限因而有，而即，由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)三、學(xué)法建議1本章的重點是極限的求法及函數(shù)在一點的連續(xù)的概念，特別是求極限的方法，靈活多樣因此要掌握這部分知識，建議讀者自己去總結(jié)經(jīng)驗體會，多做練習(xí)2本章概念較多，且互相聯(lián)系，例如：收斂，有界，單調(diào)有界；發(fā)散，無界，無窮大；極限，無窮小，連續(xù)等只有明確它們之間的聯(lián)系，才能對它們有深刻的理解，因此讀者要注意弄清它們之間的實質(zhì)關(guān)系3要深刻理解在一點的連續(xù)概念，即極限值等于

22、函數(shù)值才連續(xù)千萬不要求到極限存在就下連續(xù)的結(jié)論，特別注意判斷分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性第三章 導(dǎo)數(shù)與微分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其幾何意義，會用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題.2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.3.熟練掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法.4.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.5.了解可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系.重點 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.難點 求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.（二） 內(nèi)容提要1.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)設(shè)

23、函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處有增量，仍在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地，函數(shù)有增量，若極限 存在，則稱在點處可導(dǎo)，并稱此極限值為在點處的導(dǎo)數(shù)，記為，也可記為，即 .若極限不存在，則稱在點處不可導(dǎo).若固定，令，則當時，有，所以函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)也可表示為 . 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù) . 函數(shù)在點處的右導(dǎo)數(shù).函數(shù)在點處可導(dǎo)的充分必要條件是在點處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等 導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線的切線在曲線上點的附近，再取一點，作割線，當點沿曲線移動而趨向于時，若割線的極限位置存在，則稱直線為曲線在點處的切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點處的切線斜率.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的3點說

24、明:曲線上點處的切線斜率是縱標變量對橫標變量的導(dǎo)數(shù).這一點在考慮用參數(shù)方程表示的曲線上某點的切線斜率時優(yōu)為重要.如果函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)為無窮(即,此時在處不可導(dǎo)),則曲線上點處的切線垂直于軸.函數(shù)在某點可導(dǎo)幾何上意味著函數(shù)曲線在該點處必存在不垂直于軸的切線.3.變化率函數(shù)的增量與自變量增量之比，在自變量增量趨于零時的極限，即導(dǎo)數(shù).在科學(xué)技術(shù)中常常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率(即因變量關(guān)于自變量的變化率就是因變量關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)).變化率反映了因變量隨著自變量在某處的變化而變化的快慢程度. 4.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在點處可導(dǎo)，則在點處一定連續(xù).但反過來不一定成立，即在點處連續(xù)的函數(shù)未必在點處可導(dǎo).5. 高階

25、導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)仍然是的函數(shù)，則將一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記為或或，即= 或 =.階導(dǎo)數(shù) 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)（=3，4，,）分別記為, , ,，或, , ,，或, , , ，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).6 . 微分微分的定義如果函數(shù)在點處的改變量，可以表示成 ，其中是比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點處可微，稱為的線性主部，又稱為函數(shù)在點處的微分，記為或，即.微分的計算，其中,為自變量.一階微分形式不變性對于函數(shù),不論是自變量還是因變量,總有成立.7. 求導(dǎo)公式 微分公式表3.1給出了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及微分公式.表3.1求導(dǎo)與微分公式求導(dǎo)公式微分公式基本初等函數(shù)求

26、導(dǎo)公式 基本初等函數(shù)微分公式 對求導(dǎo)公式作如下兩點說明:(1) 求導(dǎo)公式表示函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，即=,(2) 求導(dǎo)公式表示函數(shù)對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即=.8. 求導(dǎo)法則 微分法則求導(dǎo)法則,微分法則見下表3.2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法表3.2 求導(dǎo)與微分法則表求導(dǎo)法則微分法則函數(shù)的四則運算求導(dǎo)法則函數(shù)的四則運算微分法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 復(fù)合函數(shù)微分法則設(shè)函數(shù)，,則函數(shù)的微分為，此式又稱為一階微分形式不變性參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，則 或 =反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)的反函數(shù)為，則或 9. 微分近似公式（1）微分進行近似計算的理論依據(jù)對于

27、函數(shù),若在點處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)，則當很小時，有函數(shù)的增量近似等于函數(shù)的微分, 即有近似公式.(2) 微分進行近似計算的4個近似公式設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)，當很小時，有近似公式，即， 令，則， 特別地，當，很小時，有 . 二、主要解題方法1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法例1 求在處的導(dǎo)數(shù).解 由導(dǎo)數(shù)的定義知.例2 求 ，的導(dǎo)數(shù).解 當時， ， 當時，當時，所以 ，因此 ，于是 小結(jié) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，除了在分界點處的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)定義求之外，其余點則仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求得.2 用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的方法例3 設(shè)求.解 ，.例 4 設(shè) 求 .解 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，得.小結(jié) 若函

28、數(shù)變形后能簡化求導(dǎo)運算，應(yīng)先簡化后再求導(dǎo)，在求高階導(dǎo)數(shù)時更要注意這一點.另外，還要注意應(yīng)用四則運算法則的前提條件是：函數(shù)在點可導(dǎo)，否則法則失效.如在點，用四則運算法則求導(dǎo)，不存在，但由例1知 在的導(dǎo)數(shù)為0.對于復(fù)合函數(shù)，要根據(jù)復(fù)合結(jié)構(gòu)，逐層求導(dǎo)，直到最內(nèi)層求完，對例4中括號層次分析清楚，對掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是有幫助的.3對數(shù)求導(dǎo)方法例 5 已知 = ，求.解 兩邊取對數(shù)，得：，兩邊對同一自變量求導(dǎo)，得，.小結(jié) 對數(shù)求導(dǎo)法適合兩類函數(shù)的求導(dǎo)：（1）冪指函數(shù)，（2）函數(shù)是由幾個初等函數(shù)經(jīng)過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的.4隱含數(shù)的求導(dǎo)法例 6 已知 求.解 兩端對求導(dǎo)，得 ，整理得 ，故 ，上式兩端再對

29、求導(dǎo)，得=，將 代入上式，得.小結(jié) 在對隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)時，要將的表達式代入中，注意，在的最后表達式中，切不能出現(xiàn).5由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法例7 設(shè) 求 .解 ，.小結(jié) 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，不必死記公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二階導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行，必須分清是對哪個變量求導(dǎo).6求函數(shù)微分的方法例8 求函數(shù)的微分.解一 用微分的定義求微分， 有. 解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得 .小結(jié) 求函數(shù)微分可利用微分的定義，微分的運算法則，一階微分形式不變性等.利用微分形式不變性可以不考慮變量之間是怎樣的復(fù)合關(guān)系，有時求微分更方

30、便.7利用微分求近似值例9 求的近似值.解 設(shè) ，由近似公式，得 ，取 ，則有 .例10 有一批半徑為的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為，估計每只球需要用銅多少克？（銅的密度為）解 所鍍銅的體積為球半徑從增加時，球體的增量.故由知，所鍍銅的體積為 ，質(zhì)量為 .小結(jié) 利用公式計算函數(shù)近似值時，關(guān)鍵是選取函數(shù)的形式及正確選取.一般要求 便于計算，越小，計算出函數(shù)的近似值與精確值越接近.另外，在計算三角函數(shù)的近似值時，必須換成弧度.8求曲線的切線方程例11 求曲線的切線，使該切線平行于直線. 解 方程 兩端對求導(dǎo)，得 ， ， ，由于該切線平行于直線 所以有 ， ， ，.因為切線必在曲線上，

31、所以，將代入曲線方程得 ，解之 ，此時 ，切點的坐標為,，切線的斜率分別為 ，因此得切線的方程分別為 ， 即 ， ， 即 .9求函數(shù)的變化率例 12 落在平靜水面上的石頭，產(chǎn)生同心圓形波紋，若最外一圈半徑的增大率總是，問2末受到擾動的水面面積的增大率為多少？解 設(shè)最外圈波紋半徑為，擾動水面面積為，則 兩邊同時對 求導(dǎo)，得 從而 ， 又 為常數(shù)，故 （類似于勻速直線運動路程與速度、時間的關(guān)系），因此 ，故有 .因此，2末受到擾動的水面面積的增大率為.小結(jié) 對于求變化率的模型，要先根據(jù)幾何關(guān)系及物理知識建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式.若是相關(guān)變化率模型，求變化率時要根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈式求導(dǎo)法，弄清是對哪個

32、變量的導(dǎo)數(shù).三、學(xué)法建議 1本章重點為導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，其難點是求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法.2 要正確理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，弄清各概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.比如，可導(dǎo)必連續(xù)，反之，不一定成立.可導(dǎo)與可微是等價的.這里等價的含義是：函數(shù)在某點可導(dǎo)必定得出在該點可微，反之，函數(shù)在某點可微，必能推出在該點可導(dǎo).但并不意味著可導(dǎo)與可微是同一概念.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限，微分是函數(shù)增量的線性主部，在概念上兩者有著本質(zhì)的區(qū)別.3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法既是重點，又是難點，不易掌握，怎樣才能達到事半功倍的效果呢？首先，必須熟記基本的求導(dǎo)公式，其次，對求

33、導(dǎo)公式必須弄清每一項是對哪個變量求導(dǎo)，如 , 因為 理解公式還要和微商結(jié)合起來，右邊的微分約分之后必須等于左邊的微商.另外，要想達到求導(dǎo)既迅速又準確，必須多做題.但要牢記，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量之比的極限，不能因為有了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則后，就認為求導(dǎo)僅是利用這些公式與法則的某種運算而忘記了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì). 4利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，本章主要有三類題型.一類幾何應(yīng)用，用來求切線、法線方程.其關(guān)鍵是求出切線的斜率及切點的坐標；另一類是變化率模型，求變化率時，一定要弄清是對哪個變量的變化率，如速度再有一類是用微分近似計算求某個量的改變量，解決這類問題的關(guān)鍵是選擇合適的函數(shù)關(guān)系，正確選取及，切莫用中

34、學(xué)數(shù)學(xué)方法求問題的準確值，否則是不符合題意的.第四章 微分學(xué)的應(yīng)用一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理.2.會用洛必達法則求未定式的極限.3.掌握利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.4.理解函數(shù)的極值概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法，會解簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.5.會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹性及拐點，能描繪簡單函數(shù)的圖形.重點 用洛必達法則求未定式的極限，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與圖形凹性及拐點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法以及求簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.（二）內(nèi)容提要1. 三個微分中值定理 羅爾（Rolle

35、）定理如果函數(shù)滿足下列三個條件：在閉區(qū)間上連續(xù);在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);,則至少存在一點使. 拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函數(shù)滿足下列兩個條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點，使得或. 柯西（Cauchy）中值定理如果函數(shù)與滿足下列兩個條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且,則在內(nèi)至少存在一點，使得 .2.洛必達法則如果;函數(shù)與在某個鄰域內(nèi)（點可除外）可導(dǎo)，且；,則 .注意 上述定理對于時的型未定式同樣適用,對于或時的型未定式也有相應(yīng)的法則.3. 函數(shù)的單調(diào)性定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則有若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少.4 . 函數(shù)

36、的極值、極值點與駐點 極值的定義 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任一點，都有，則稱是函數(shù)的極大值；如果對于該鄰域內(nèi)任一點，都有，則稱是函數(shù)的極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點. 駐點 使的點稱為函數(shù)的駐點. 極值的必要條件 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在點處取得極值，那么. 極值第一充分條件設(shè)函數(shù)在點連續(xù)，在點的某一去心鄰域內(nèi)的任一點處可導(dǎo),當在該鄰域內(nèi)由小增大經(jīng)過時，如果由正變負，那么是的極大值點，是的極大值；由負變正，那么是的極小值點，是的極小值；不改變符號，那么不是的極值點. 極值的第二充分條件設(shè)函數(shù)在點處有二階導(dǎo)數(shù)，且，則是函數(shù)的極值點

37、，為函數(shù)的極值，且有如果，則在點處取得極大值；如果，則在點處取得極小值.5.函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在著最大值和最小值.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值只可能在區(qū)間內(nèi)的駐點、不可導(dǎo)點或閉區(qū)間的端點處取得.6. 函數(shù)圖形的凹、凸與拐點曲線凹向定義 若在區(qū)間內(nèi)曲線各點的切線都位于該曲線的下方，則稱此曲線在內(nèi)是向上凹的（簡稱上凹，或稱下凸）；若曲線各點的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在內(nèi)是向下凹的（簡稱下凹，或稱上凸）.曲線凹向判定定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)， 如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是上凹的. 如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是下凹的.拐點若連續(xù)曲線上的點是曲線凹、凸部分的分

38、界點，則稱點是曲線的拐點.7. 曲線的漸近線水平漸近線若當(或或)時，有（為常數(shù)），則稱曲線有水平漸近線.垂直漸近線若當(或或)（為常數(shù)）時，有，則稱曲線有垂直漸近線.斜漸近線若函數(shù)滿足， (其中自變量的變化過程可同時換成或)，則稱曲線有斜漸近線.二 、主要解題方法1 . 用洛必達法則求未定式的極限的方法例1 求下列極限（1） （2） （3）（4） （5） 解 （1）由于時，故原極限為型，用洛必達法則 所以 （分母等價無窮小代換）.（2） 此極限為，可直接應(yīng)用洛必達法則 所以 = .（3） 所求極限為型 ，不能直接用洛必達法則，通分后可變成或型. .（4）所求極限為型，得 （型） =（5）此極

39、限為 型，用洛必達法則，得不存在，但 .小結(jié) 使用洛必達法則時，應(yīng)注意以下幾點：（1）洛必達法則可以連續(xù)使用，但每次使用法則前，必須檢驗是否屬于或未定型，若不是未定型，就不能使用法則；（2）如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；（3）當不存在時，并不能斷定也不存在，此時應(yīng)使用其他方法求極限.2 . 單調(diào)性的判別與極限的求法例2 試證當時，.證 令，易見在內(nèi)連續(xù)，且.當時，可知為上的嚴格單調(diào)減少函數(shù)，即當時，可知為上的嚴格單調(diào)增加函數(shù)，即.故對任意 有即 .例 3 求函數(shù)的單調(diào)性與極值.解 函數(shù)的定義域為. ，令 駐點 列表 -0-0+極小由上表知，單調(diào)減區(qū)間

40、為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值 求函數(shù)的極值也可以用二階導(dǎo)數(shù)來判別，此例中 不能確定處是否取極值，得是極小值.小結(jié) 用單調(diào)性來證明不等式，其方法是將不等式兩邊的解析式移到不等式的一邊，再令此不等式的左邊為函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性；最后利用已知條件與單調(diào)性，得到不等式。由例3知，用二階導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在某點的極值不需列表也很方便，但它的使用范圍有限，對、及同時不存在的點不能使用.3. 求函數(shù)的凹向及拐點的方法例4 求函數(shù)的凹向及拐點.解 函數(shù)的定義域 ， ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐點拐點 由此可知，上凹區(qū)間,下凹區(qū)間，曲線的拐點是.小結(jié) 求函數(shù)的凹向與拐點只需用拐點的定義及凹向的判別定理

41、即可，注意拐點也可在使不存在的點取得.4. 求函數(shù)的最大值與最小值的方法例5 求函數(shù) 在區(qū)間上的最大值與最小值 . 解 函數(shù)在上連續(xù)， 由于，令 ， 則 ，在處不存在. 故.小結(jié) 函數(shù)的最大（?。┲凳钦麄€區(qū)間上的最大（?。┲担笞畲螅ㄐ。┲档囊话悴襟E為（1）求出在內(nèi)的所有駐點及不可導(dǎo)點；（2）求出函數(shù)在駐點、不可導(dǎo)點、區(qū)間端點處的函數(shù)值；（3）比較這些值的大小，其中最大者即為函數(shù)的最大值，最小者即為函數(shù)的最小值.5 . 求曲線漸近線的的方法.例6 求下列曲線的漸近線（1） （2） .解 （1）所給函數(shù)的定義域為.由于 ，可知 為 所給曲線的水平漸近線.由于 ，可知 為曲線的鉛直漸近線.（2）

42、所給函數(shù)的定義域,.由于 ， ，可知 為所給曲線的鉛直漸近線（在的兩側(cè)的趨向不同）.又 ，所以 是曲線的一條斜漸近線.6 . 函數(shù)圖形的描繪例 7 作出函數(shù) 的圖形.解 函數(shù)的定義域， ， ，令 ， 解得 .列表-10+0+0 極小拐點 由上表可知： 極小值， 拐點 .（3）漸近線-1 xyO，所以 是水平漸近線，所以 是鉛直漸近線. （4）作圖如圖所示.7 . 求實際問題的最大值，最小值的方法 例 8 一條邊長為的正方形薄片，從四角各截去一個小方塊，然后折成一個無蓋的方盒子，問截取的小方塊的邊長等于多少時，方盒子的容量最大？解 設(shè)截取的小方塊的邊長為 ，則方盒子的容積為 令 ， 得駐點 （不

43、合題意，舍去）由于在內(nèi)只有一個駐點，由實際意義可知，無蓋方盒子的容積一定有最大值.因此， 當時 取得最大值.故當正方形薄片四角各截去一個邊長是的小方塊后，折成一個無蓋方盒子的容積最大 .小結(jié) 求最優(yōu)化問題，關(guān)鍵是在某個范圍內(nèi)建立目標函數(shù)，若根據(jù)實際問題本身可以斷定可導(dǎo)函數(shù)一定存在最大值或最小值，而在所討論的區(qū)間內(nèi)部有惟一的極值點，則該極值點一定是最值點.三 、學(xué)法建議1.本章重點是用洛必達法則求未定式的極限，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性與凹向及拐點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極限的方法以及求簡單函數(shù)的最大值與最小值問題.2.中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，一定要弄清楚它們的條件與結(jié)論.盡管定理中并沒有指明的確

44、切位置，但它們在利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題與研究函數(shù)的性態(tài)方面所起的作用仍十分重要.建議在學(xué)習(xí)過程中借助幾何圖形，知道幾個中值定理的幾何解釋.3.洛必達法則求極限時，建議參照本章例1 中的幾點注意，并且和教科書第二章求極限的方法結(jié)合起來使用.4. 函數(shù)的圖形是函數(shù)的性態(tài)的幾何直觀表示，它有助于我們對函數(shù)性態(tài)的了解，準確做出函數(shù)圖形的前提是正確討論函數(shù)的單調(diào)性，極值，凹向與拐點以及漸近線等，這就要求讀者按教材中指出的步驟完成.第五章 不定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1了解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質(zhì)2掌握不定積分的基本公式3掌握不定積分的換元法和分部積分法重點 原函數(shù)、不定積分的概

45、念，不定積分的基本公式，不定積分的換元法和分部積分法難點 不定積分的換元法和分部積分法（二）內(nèi)容提要1原函數(shù)與不定積分（1）原函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)，使得在該區(qū)間任一點處，均有,則稱為在該區(qū)間上的一個原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)的問題，還要說明兩點:原函數(shù)的存在問題：如果在某區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在（將在下章加以說明）原函數(shù)的一般表達式：若是的一個原函數(shù)，則是的全部原函數(shù)，其中為任意常數(shù)(2)不定積分若是在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，則的全體原函數(shù)（為任意常數(shù)）稱為在該區(qū)間上的不定積分，記為，即 積分運算與微分運算之間有如下的互逆關(guān)系：,此式表明，先求積分再求導(dǎo)數(shù)（或求微分），兩種運算

46、的作用相互抵消此式表明，先求導(dǎo)數(shù)（或求微分）再求積分，兩種運算的作用相互抵消后還留有積分常數(shù)對于這兩個式子，要記準，要熟練運用2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式如下： 3不定積分的性質(zhì)（1）積分對于函數(shù)的可加性，即,可推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情況，即 (2)積分對于函數(shù)的齊次性，即 4分部積分公式 二、主要解題方法1直接積分法例1 計算（1） ， （2）解 （1）不能直接用公式，用加項減項變換 ，即 =（2）不能直接用公式，用二項和公式展開再利用三角變換 得原式=+=小結(jié) 計算簡單的不定積分，有時只需按不定積分的性質(zhì)和基本公式進行計算；有時需要先利用代數(shù)運算或三角恒等變形將被積函數(shù)

47、進行整理然后分項計算2換元積分法（1）第一換元積分法(湊微分法） = .例2 計算 （1） ， （2）解 （1） 選擇換元函數(shù)使所給積分化為基本積分形式，再求出結(jié)果 為此，令 ，則 ，于是 =為簡便起見，令 這一過程可以不寫出來，解題過程寫成下面形式即可,= （ 稱為湊微分）（2）=小結(jié) 湊微分法一般不明顯換新變量，而是隱換，像上面所做，這樣省掉了回代過程，更簡便（2）第二換元積分法= （其中 是單調(diào)可微函數(shù)） 例3 計算 （1） ， （2）解（1） 令, 則 , ,于是原式=.（2） 設(shè) , , 于是1原式= = = = 小結(jié) 第二換元法常用于消去根號，但有時也用于某些多項式 ，像 也可用函

48、數(shù)的三角代換求出結(jié)果通常 當被積分函數(shù)含有根式 時，可令 ,當被積分函數(shù)含有根式 時，可令 , 當被積分函數(shù)含有根式 時，可令 .3. 分部積分法 分部積分的公式為 =.應(yīng)用此公式應(yīng)注意:（1） 要用湊微分容易求出,（2） 比容易求.例4 計算 （1） ， （2） 解 （1） 選 ， ， , 于是 原式 , 對于 再使用分部積分法,選， , 則 ，,從而 =原式=（）,為了簡便起見，所設(shè) , 等過程不必寫出來，其解題步驟如下:=.（2） = = = =+ =+,式中出現(xiàn)了“循環(huán)”，即再出現(xiàn)了移至左端，整理得=+小結(jié) 此積分一般用于被積函數(shù)為不同類型的函數(shù)乘積式,但也用于某些函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、反

49、三角函數(shù)等，對于被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積，還有以及上面所講的等，需多次使用分部積分公式，在積分中出現(xiàn)原來的被積分函數(shù)再移項，合并解方程，方可得出結(jié)果，而且要記住，移項之后，右端補加積分常數(shù)三、學(xué)法建議1本章的重點是原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、換元積分法與分部積分法難點是第一換元積分法，既基本又靈活，必須多下工夫，除了熟記積分基本公式外，還要熟記一些常用的微分關(guān)系式如 ， ，,等等2不定積分計算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運用積分方法在具體的問題中，常常是各種方法綜合使用針對不同的問題采用不同的積分方法如 ，先換元，令，再用分部積分法即可， =，也可多次使用分部積分公式3求不定積分比求導(dǎo)數(shù)要難得多，盡管有一些規(guī)律可循，但在具體應(yīng)用時，卻十分靈活，因此應(yīng)通過多做習(xí)題來積累經(jīng)驗，熟悉技巧，才能熟練掌握第六章定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1理解定積分的概念及