16動力學(xué)機械振動基礎(chǔ)

1、12目目 錄錄15.1 15.1 功和功率功和功率15.2 15.2 動能定理動能定理15.3 15.3 勢力場勢力場勢能勢能機械能守恒機械能守恒15.4 15.4 動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用3 振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動，汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。 利利：振動給料機 弊弊：磨損，減少壽命，影響強度 振動篩 引起噪聲，影響勞動條件 振動沉拔樁機等 消耗能量，降低精度等。3. 研究振動的目的研究振動的目的：消除或減小有害的振動，充分利用振動 為人類服務(wù)。 1. 所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附

2、近作往復(fù)運動。所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運動。2. 振動的利弊振動的利弊：引引 言言4 4. 振動的分類振動的分類： 單自由度系統(tǒng)的振動 按振動系統(tǒng)的自由度分類按振動系統(tǒng)的自由度分類 多自由度系統(tǒng)的振動 彈性體的振動 按振動產(chǎn)生的原因分類按振動產(chǎn)生的原因分類： 自由振動： 無阻尼的自由振動 有阻尼的自由振動，衰減振動 強迫振動： 無阻尼的強迫振動 有阻尼的強迫振動 自激振動本章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強迫振動。5 16.1單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 一、自由振動的概念一、自由振動的概念6 7 運動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力恢復(fù)力。 物體受到初干

3、擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動。 )/( 0 , 22mkxxkxxmnn 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：彈簧系統(tǒng)：單擺：單擺：復(fù)擺：復(fù)擺：)5 ,/( 0 , )5 ,/( 0 , 22222 imgamgailgmglmlnnnn8二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解 對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量取 ），則自由振動的運動微分方程必將是：0cqqa a、c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令acn/2則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：02qqn

4、 解得：解得：)sin(taqn9 0022020arctg , qqqqann設(shè) t = 0 時， 則可求得：00 , qqqq 或：tctcqnnsincos21c1、c2由初始條件決定為nq cqc/ ,02 01tqtqqnnnsincos 0010 三、自由振動的特點三、自由振動的特點 a物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時 t 的位置 初相位，決定振體運動的起始位置。 t 周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。 f 頻率，每秒鐘振動的次數(shù)， f = 1/t 。 固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動的次數(shù)。 反映振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。

5、nt2n11 無阻尼自由振動的特點是無阻尼自由振動的特點是：(2) 振幅a和初相位 取決于運動的初始條件(初位移和初速度)；(1) 振動規(guī)律為簡諧振動；(3) 周期t 和固有頻率 僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,i )。n四、其它四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點o的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。 12 2. 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgffmgkfkfeqststst并聯(lián)2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgk

6、mgkmgeqstststst串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)131. 由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 16.2 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的方法02qqn stngst：集中質(zhì)量在全部重力 作用下的靜變形。n由tmax=umax , 求出14 無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。 當(dāng)振體運動到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。 當(dāng)振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達到最大值。mgaakustst)(2122max2max21 kaumgkst222ma

7、x2121nmaxmt如：15 mkkamautnn 2121 222maxmax由 能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復(fù)雜的振能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復(fù)雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。 例例1 圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為r，質(zhì)量為m，重物質(zhì)量 m ，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。16 解解：以 x 為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為 坐標(biāo)原點）rkgrmmst2)(gkmmst2則任意位置x 時：kxgmmxkfst22)2(靜平衡時：17 應(yīng)用動

8、量矩定理：kxrrfgrmmfmxrmmrxmrrxmrxmlaa42)()()23( 212由 ， 有)(fmdtdlaakxrxrmm4)23( 振動微分方程：固有頻率：mmkxmmkxn2380238 18 解解2 ： 用機械能守恒定律 以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點）22222)23(21 21)(22121xmmxmrxmrxmt 以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2xgxmmxkkxgxmmxkuststst)(22 )()2(2222因平衡時gxmmxkst)(222kxu 19 由 t+u= 有：constconstkxxmm222)23(2104)

9、23(kxxmm mmkxmmkxn2380238 對時間 t 求導(dǎo)，再消去公因子 ，得x 20 例例2 鼓輪：質(zhì)量m，對輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑r，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物質(zhì)量為m, 不計輪d和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。21 , kk 解解：取靜平衡位置o為坐標(biāo)原點，取c偏離平衡位置 x 為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動能為：21 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxrkkrrmgxkkxrrrmgxkkuststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(

10、r)rm(rxrrrmrxmxmt系統(tǒng)的最大勢能為：22 設(shè) 則有)sin(naxnaxaxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxakkuarrrmrmtn根據(jù)tmax=umax ，解得222221)()()(rrmrmrkkn2316. .2 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念一、阻尼的概念 阻尼阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。vcr投影式：xcrx c 粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。24 二、有阻尼自由

11、振動微分方程及其解二、有阻尼自由振動微分方程及其解 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 則令有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。25 其通解分三種情況討論： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcnn2 )()sin(taexdnt22nnd有阻尼自由振動的圓頻率則時設(shè) , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxann26 衰減振動的特點：(1) 振動周期變大，振動周期變大， 頻率減小頻率減小。mkcnntnndd212 222222阻尼比有阻尼自由振動：當(dāng) 時，可以認(rèn)為nn1ttdnd 222111nd

12、ddfftt27 (2) 振幅按幾何級數(shù)衰減振幅按幾何級數(shù)衰減 對數(shù)減縮率212lnln21dntiinteaad2、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù)) 1 , (nnmkcc2)(000tnxxxexnt) , , (at 00 xxxxt 0 ddiintttnntiieaeeaaa)(1相鄰兩次振幅之比28 可見，物體的運動隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動的特性。 )(222221 tn tnntnnececex代入初始條件) , , 0(00 xxxxt 時220022222022012)( ; 2)(nnnnnxxnncnxnnxc) 1 , (nn)(ccc

13、3、過阻尼（大阻尼）情形、過阻尼（大阻尼）情形 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時間的增長，x 0，不具備振動特性。29 例例3 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，w=150n，st=1cm ， a1=0.8cm，a21=0.16cm。 求阻尼系數(shù)c 。2021203221211)(dnteaaaaaaaa解：解：20)(16. 08 . 0dnte21220205lnnndnt由于 很小，405ln )s/cmn(122. 0 98011502405ln2405ln22stwgwmkc30 16. .3 單自由度系統(tǒng)的受迫振動單自由度系統(tǒng)的受迫振動一、強迫振動的概念一、強迫振動的概念 強迫振動：在外加激振力作用下的

14、振動。 簡諧激振力： h力幅； 激振力的圓頻率 ； 激振力的初相位。)sin(ths)sin(thkxxm 則令 , 2mhhmkn)sin(2thxxn 無阻尼強迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無阻尼強迫振動微分方程及其解二、無阻尼強迫振動微分方程及其解31 21xxx)sin()sin(21tbxtaxn為對應(yīng)齊次方程的通解為特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtaxnn全解為：穩(wěn)態(tài)強迫振動 3、強迫振動的振幅大小與運動初始條件無關(guān)，而與振動系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強迫振動的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強

15、迫振動的主要特性1、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強迫振動亦為簡諧振動。2、強迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。32(1) =0時khhbn20 (2) 時，振幅b隨 增大而增大；當(dāng) 時，n bn(3) 時，振動相位與激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 隨 增大而減??； 0 ; , 20bbbn時時 振幅比或稱動力系數(shù) 頻率比 曲線 幅頻響應(yīng)曲線 （幅頻特性曲線）133 4、共振現(xiàn)象 , 時nb，這種現(xiàn)象稱為共振。此時，)cos(2tbtxn)cos(2 2 2tthxhbnnn3416. .4 隔隔 振振 一、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速一、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 引

16、起轉(zhuǎn)子劇烈振動的特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引起的，在軸的設(shè)計中對高速軸應(yīng)進行該項驗算。單圓盤轉(zhuǎn)子單圓盤轉(zhuǎn)子： 圓盤：質(zhì)量m , 質(zhì)心c點；轉(zhuǎn)軸過盤的幾何中心a點，ac= e ，盤和軸共同以勻角速度 轉(zhuǎn)動。 當(dāng) n（ n為圓盤轉(zhuǎn)軸所組成的系統(tǒng)橫向振動的固有頻率）時，35 kxexm2)(（k為轉(zhuǎn)軸相當(dāng)剛度系數(shù)）11222nemkexxn , 時當(dāng)臨界角速度：臨界角速度：臨界轉(zhuǎn)速：臨界轉(zhuǎn)速：ccncnmk3036 , 運轉(zhuǎn)時當(dāng)n質(zhì)心c位于o、a之間 oc= x- e22)(11nemkexexxnn , ; , , 時當(dāng)時當(dāng) 當(dāng)轉(zhuǎn)速 非常高時，圓盤質(zhì)心c與兩支點的連線相接近，圓盤接近于繞質(zhì)心c旋轉(zhuǎn)，于是轉(zhuǎn)動平穩(wěn)。 為確保安全，軸的工作轉(zhuǎn)速一定要避開它的臨界轉(zhuǎn)速。37 二、減振與隔振的概念二、減振與隔振的概念 劇烈的振動