2022年軸對(duì)稱圖形典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載軸對(duì)稱圖形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載軸對(duì)稱圖形典型例題例 1 如下圖，已知，pbab， pcac，且 pbpc，d 是 ap 上一點(diǎn)求證： bdp cdp證明：pbab，pcac，且 pbpc，p ab pac（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上），apb pab90， apc pac90，apb apc，在 pdb 和 pdc 中，pd pdapcapbpcpb.，pdb pdc（sas） ，bdp cdp（圖形具有明顯的軸對(duì)稱性，可以通

2、過利用軸對(duì)稱的性質(zhì)而不用三角形的全等）注利用角平分線定理的逆定理，可以通過距離相等直接得到角相等，而不用再證明兩個(gè)三角形全等例 2 已知如下圖（ 1） ，在四邊形abcd 中， bcba，adcd，bd 平分 abc求證：a c180（1）證法一：過d 作 de ab 交 ba 的延長(zhǎng)線于e，df bc 于 f，bd 平分 abc，dedf ，在 rtead 和 rtfcd 中，.dfdedcad，（角平分線是常見的對(duì)稱軸，因此可以用軸對(duì)稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來證明）rteadrtfcd （hl） ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

3、 2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載c ead，ead bad180，a c180證法二：如下圖（2） ，在 bc 上截取 beab，連結(jié) de ，證明 abd ebd 可得（2）證法三：如下圖（3） ，延長(zhǎng) ba 到 e，使 bebc，連結(jié) ed，以下同證法二（3）注本題考察一個(gè)角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等的定理來證明線段相等，關(guān)鍵是掌握遇到角的平分線的輔助線的不同的添加方法例 3 已知，如下圖，ad 為 abc 的中線，且de 平分 bda 交 ab 于 e，df 平分 adc交 ac 于 f求證： becfef證法一：在da 截取 dndb

4、，連結(jié) ne、nf ，則 dndc，在 bde 和 nde 中，.dedendebdendbd，（遇到角平分線可以考慮利用軸對(duì)稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解題）bde nde（sas） ，bene（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），同理可證：cfnf，在 efn 中， enfn ef（三角形兩邊之和大于第三邊），becfef精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載證法二：延長(zhǎng)ed 至 m，使 dm ed，連結(jié) cm、mf ，在 bde 和 cdm 中，.dmdecdmbdecdbd

5、，（從另一個(gè)角度作輔助線）bde nde（sas） ，cmbe（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），又bde=ade， adf cdf ，而 bde ade adf cdf 180，ade+adf 90，即 edf 90，fdm edf90，在 edf 和 mdf 中，.dfdfmdfedfmded，edf mdf （sas） ，efmf （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），在 cmf 中，cfcm ef，becf ef注本題綜合考察角平分線、中線的意義，關(guān)鍵是如何使題中的分散的條件集中例 4 已知，如下圖， p、q 是 abc 邊 bc 上的兩點(diǎn)，且bppqqcapaq求：bac 的度數(shù)解：appqaq（已知），

6、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載apq aqp paq60（等邊三角形三個(gè)角都是60） ，apbp（已知）， （注意觀察圖形和條件）pba pab（等邊對(duì)等角） ，apq pba pab60（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和），pba pab30，同理 qac 30，bac bap paq qac30 60 30 120注本題考察等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握求角的步驟：（1）利用等邊對(duì)等角得到相等的角； （2）利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相

7、鄰的兩個(gè)內(nèi)角和得各角之間的關(guān)系； （3）利用三角形內(nèi)角和定理列方程例 5 已知，如下圖，在abc 中， abac，e 是 ab 的中點(diǎn)，以點(diǎn)e 為圓心， eb 為半徑畫弧，交 bc 于點(diǎn) d，連結(jié) ed，并延長(zhǎng) ed 到點(diǎn) f，使 df de，連結(jié) fc求證： f a證明：abac，b acb（等邊對(duì)等角） ，ebed，b edb，acb edb（等量代換） ，edac（同位角相等，兩直線平行），在 bde 和 aed 中， beae=ed ，連結(jié) ad 可得， ead eda， ebd edb，eda edb90，即 adbc，eda edb 90，即 adbc，（用什么定理判定三角形全等的

8、？）d 為 bc 的中點(diǎn)，bde cdf ，bed f，而 bed a，f a例 6 已知，如下圖，abc 中， abac， e 在 ca 的延長(zhǎng)線上，aef afe求證： efbc證法一：作bc 邊上的高ad， d 為垂足，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載abac，adbc，bad cad（等腰三角形三線合一），又bac e afe， aef afe，cad e，adef，adbc，efbc證法二：過a 作 agef 于 g，aef afe，agag， age

9、agf 90，age agf（asa ） ，abac，b c，又 eaf b c， （請(qǐng)對(duì)比多種證法的優(yōu)劣）eag gaf b c，eag c，agbc，agef，efbc證法三：過e 作 ehbc 交 ba 的延長(zhǎng)線于h，abac，b c，h b c aeh，aef afe， h afe feh180，h aeh aef afe180，aef aeh 90，即 feh 90，efeh，又 eh bc，efbc證法四：延長(zhǎng)ef 交 bc 于 k，abac，b c，b21（180 bac） ，aef afe，afe21（180 eaf） ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

10、- - - - - - - - 第 6 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載bfk afe，bfk21（ 180 eaf） ，b bfk21（ 180 bac）21（180 eaf） 21 360 （eaf bac） ，eaf bac180 ，b bfk90 ，即fkb90 ，efbc注本題考察等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線，建立ef 與 bc 的聯(lián)系，仔細(xì)體會(huì)以上各種不同的添加輔助線的方法例 7 如下圖， ab ac，dbdc， p 是 ad 上一點(diǎn)求證： abp acp證明：連結(jié)bc，abac（已知），abc acb（等邊對(duì)等角） ，又點(diǎn)

11、a、d 在線段 bc 的垂直平分線上（與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上），而兩點(diǎn)確定一條直線，ad 就是線段bc 的垂直平分線，pbpc（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），pbc pcb（等邊對(duì)等角） ， （線段垂直平分線的性質(zhì)）abcpbc acb pcb（等式性質(zhì)） ，即 abp acp注本題若用三角形全等，至少需要證兩次，現(xiàn)用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，就顯得比較簡(jiǎn)潔例 8 如下圖， ab ac，de 垂直平分ab 交 ab 于 d，交 ac 于 e，若 abc 的周長(zhǎng)為28，bc8，求 bce 的周長(zhǎng)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

12、- - - - - - - - - 第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：等腰 abc 的周長(zhǎng) 28， bc8，2acbc28，ac10，（理由是什么？）de 垂直平分ab，aebe，bce 的周長(zhǎng) beecbcaeec bcacbc 10818注本題考察線段垂直平分線的性質(zhì)定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系例 9 已知，如下圖，abc 中， abac， bac120， ef 為 ab 的垂直平分線，ef交 bc 于 f，交 ab 于 e，求證：fcbf21證法一：連結(jié)af，則 afbf，b fab（等邊對(duì)等角） ，abac，

13、b c（等邊對(duì)等角） ，bac120，b c302180bac（三角形內(nèi)角和定理） ，fab30，fac bac fab 120 30 90，又c30， （線段的垂直平分線是常見的對(duì)稱軸之一）fcaf21（直角三角形中30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），fcbf21精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載證法二：連結(jié)af，過 a 作 ag ef 交 fc 于 g，ef 為 ab 的垂直平分線，afbf，又b30，afg60，bag90，agb60， afg 為等邊三角形，

14、又c30，gac30，aggc， （構(gòu)造等邊三角形是證明線段相等的一種好方法）bffggcfc21例 10 已知，如下圖，abbc，cdbc， amb75， dmc45， am md求證： abbc思路分析從結(jié)論分析，要證abbc，可連結(jié) ac，使 bc 與 ab 能落在一個(gè)三角形內(nèi)，再看bac 與bca 能否相等？證明：連結(jié)ac，交 dm 于 h，amb75， dmc 45（已知）， amd60（平角定義）又ammd，amd 為等邊三角形（有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形），amad（等邊三角形三邊相等），cdbc，dcm 90，dmc45，mdc 45（三角形內(nèi)角和定理），cdcm（

15、等角對(duì)等邊） ，ac 是 dm 的垂直平分線（和線段兩端點(diǎn)等距離的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上），mhc90，hcm 45，b 90，bac45，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載abbc（等角對(duì)等邊） 【典型熱點(diǎn)考題】例 1 如圖 7 15，等腰 abc的對(duì)稱軸與底邊bc相交于點(diǎn)d，請(qǐng)回答下列問題：(1)ad 是哪個(gè)角的平分線；(2)ad 是哪條線段的垂直平分線；(3) 有哪幾條相等的邊；(4) 有哪幾對(duì)相等的角點(diǎn)悟：本題主要考查等腰三角形的所有特征所以應(yīng)該根據(jù)等腰三

16、角形是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)來解答問題解：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，直線ad是它的對(duì)稱軸(1)ad 是頂角bac的平分線(2)ad 是線段 bc的垂直平分線(3)ab ac ， bd dc (4) bad cad ， abc acb ， adb adc 例 2 如圖 7 16，已知 pb ab ，pc ac ，且 pb pc ，d是 ap上一點(diǎn)求證： bdp cdp 點(diǎn)悟： 利用三角形全等證明兩個(gè)角相等最直觀，但因?yàn)閳D形具有明顯的軸對(duì)稱性，可以通過利用軸對(duì)稱的性質(zhì)而不用三角形全等同樣可以，證明： pb ab，pc ac ，且 pb pc ， pab pac(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上) a

17、pb pab 90 ，apc pac 90 ， apb apc 在 pdb和 pdc中，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載pdpdapcapbpcpb pdb pdc(sas) bdp cdp 例 3 如圖 7 17，先找出下列各圖形中的軸對(duì)稱圖形，再畫出它們的對(duì)稱軸( 有幾條，畫幾條) 點(diǎn)悟：先確定是否是軸對(duì)稱圖形，如果是軸對(duì)稱圖形，就將它們的對(duì)稱軸全部畫出來解： (1) 是，它有3 條對(duì)稱軸(2) 是，它有2 條對(duì)稱軸(3) 是，它有2 條對(duì)稱軸(4) 是，它

18、只有一條對(duì)稱軸(5) 它不是軸對(duì)稱圖形，故沒有對(duì)稱軸(6) 它是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸圖均略例 4 如圖 7 18， abc中， ab ac ，d在 bc上，且 bd ad ，dc ac ，將圖中的等腰三角形全部寫出來，并求出b的度數(shù)點(diǎn)悟：圖中共有三個(gè)等腰三角形，要將它們一一寫出來，不能遺漏在計(jì)算b 的度數(shù)時(shí)，要充分利用三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解：圖中共有三個(gè)等腰三角形，它們分別是： abc ， abd ， cad 設(shè) bx，則cx bad ， adc dac 2x b cbac b cbad dac xxx 2x5x180365180 xb例 5 如圖 7 19，在

19、金水河的同一側(cè)居住兩個(gè)村莊a、 b要從河邊同一點(diǎn)修兩條水渠到a、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載b兩村澆灌蔬菜，問抽水站應(yīng)修在金水河mn何處兩條水渠最短? 點(diǎn)悟： 先將具體問題抽象成數(shù)學(xué)模型河流為直線mn ，在直線 mn的同一側(cè)有a 、b兩點(diǎn) 在直線 mn上找一點(diǎn)p，使 p點(diǎn)到 a、b兩點(diǎn)的距離之和為最小這里就要充分運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)加以解決解：如圖7 19 所示作b點(diǎn)關(guān)于直線mn的對(duì)稱點(diǎn)b ，連結(jié) ab ，與 mn相交于 p，則 p點(diǎn)即為所求事實(shí)上，如果不是

20、p點(diǎn)而是p點(diǎn)時(shí)，則連結(jié)bp、pa和bp由軸對(duì)稱性知道，bppbbpbp,，所以p到 a、b的距離之和，bppabppa，而 p到 a、b的距離之和babpappbap在pba中，三角形兩邊之和大于第三邊，babppa所以 p點(diǎn)即為所求的點(diǎn)例 6 如圖 7 20，已知， ad為 abc的中線，且de平分bda交 ab于 e，df平分adc交 ac于 f求證： be cfef點(diǎn)悟：遇到角平分線就可以考慮利用軸對(duì)稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解決問題證法一：在da上截取 dn db 連結(jié) ne 、nf則 dn dc 在 bde和 nde中，,dedendebdendbd bde nde 精品學(xué)習(xí)資料

21、可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載 be ne同理可得， cfnf在 efn中， enfnef(三角形兩邊之和大于第三邊) be cfef證法二：如圖7 21，延長(zhǎng) de至 m ，使 dm ed ，連結(jié) cm 、mf 在 bde和 cdm 中，,dmdecdmbdecdbd bde cdm(sas) cmbe(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) 又 bde ade ，adf cdf ，而 bde ade adf cdf 180 ade adf 90 ，即edf 90 fdm edf 90 在