高中數(shù)學(xué)--解三角形

1、. 解三角形解三角形一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。1.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 ， =2.三角形的面積公式正弦定理：3.余弦定理：（1） ，； （2），（3），4.射影定理（利用向量數(shù)量積的幾何意義即投影的知識(shí)證明）：（1）（2）（3）5.利用余弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù) 已知三角形兩邊以及一邊的對(duì)角，假設(shè)已知A角以及a邊、b邊，則由余弦定理得 即，得到一個(gè)關(guān)于C的一元二次方程，通過求解即可得到三角形解的個(gè)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，C的解就有2個(gè)不同的解，因此三角形便有兩個(gè)。（2）當(dāng)時(shí)，C的解就有2個(gè)相同的解，因此三角形便有一個(gè)。（3）當(dāng)

2、時(shí)，C的解就有無實(shí)數(shù)解，因此不存在這樣的三角形。6.利用余弦定理判斷三角形的形狀已知三角形的三邊或者兩邊一角，可以判斷三角形的形狀。（銳角、鈍角、直角，等腰、非等腰）銳角、鈍角、直角三角形的判定，判定方法：由得，當(dāng)時(shí)，,為銳角三角形當(dāng)時(shí)，,，為直角三角形當(dāng)時(shí)，,，為鈍角三角形解三角形中需要注意：（1）一般情況下我們?cè)诮馊切沃胁捎玫姆椒ㄊ恰斑吇?、角化邊”，也就是說我們一般要將所求的式子化成全部都是角的形式或者邊的形式，利于我們采用正弦定理和余弦定理以及三角函數(shù)的知識(shí)解題。（2）正確選用正弦定理和余弦定理：我們一般遇到一次形式的式子以及帶有比例的式子可以考慮使用正弦定理；如果遇到二次的式子或者

3、通過邊來求角的問題一般采用的是余弦定理。（3）我們還需要注意一點(diǎn)的是余弦定理可以利用邊來求角，但是正弦定理只可以得到角的正弦的比值，而不可以得到角的比值甚至具體的值。（4）其次，我們?cè)诮忸}中還需要考慮一些基本的知識(shí)，例如“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”等等。（5）解題中利用中，以及由此推得的一些基本關(guān)系式進(jìn)行三角變換的運(yùn)算，如：7.三角形面積定理.注意：在銳角三角形中，任意兩角之和大于. 例題講解1：在ABC中，若,求的值解析：由條件同理可得2. （福建14)若ABC的面積為，BC=2，C=，則邊AB的長(zhǎng)度等于_.【答案】2【解析】由于ABC的面積為，BC=2，C=，所以,所以AC=2, ABC為正

4、三角形,所以AB=2.3. （遼寧17）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積解：（）由余弦定理得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得4分聯(lián)立方程組解得，6分（）由正弦定理，已知條件化為，8分聯(lián)立方程組解得，所以的面積12分4（全國(guó)17）在中， （）求的值；（）設(shè)，求的面積解：（）由，得，由，得所以（）由正弦定理得所以的面積5. （重慶17）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知，求：（）A的大小;（）的值.解：()由余弦定理， () 6. （湖北16)（本小題滿分10分）設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，已知.() 求ABC的周長(zhǎng)；()求cos(

5、AC.)解析：（1）.ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+2+2=5.（2） ，故A為銳角. 解三角形練習(xí)題一、選擇題1. 在ABC中，b=，c=3，B=300，則a等于（ ） A B12 C或2 D22. 已知ABC的周長(zhǎng)為9，且，則cosC的值為（ ）ABCD3已知ABC中，a4，b4，A30°，則B等于( )A30°B30°或150°C60°D60°或120°4在ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 、的大小關(guān)系不能確定5已知ABC中，AB6，A30°，B120°，則ABC的面積為(

6、 )A9B18 C9D186、在ABC中，已知，則角A為（）AB CD 或7、在ABC中，若，則ABC的形狀是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 8.在銳角三角形ABC中，有（ ） AcosA>sinB且cosB>sinA BcosA<sinB且cosB<sinA CcosA>sinB且cosB<sinA DcosA<sinB且cosB>sinA9、在ABC中，已知,那么ABC一定是 ()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 10. 已知ABC的三邊長(zhǎng)，則ABC的面積為 （ ）ABCD 11、已知ABC的

7、面積為，且，則A等于 （ ）A30°B30°或150°C60°D60°或120° 12、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x，則x的取值范圍是（ ）A B CD 二、填空題13、在ABC中，若A:B:C=1:2:3,則 14、在ABC中，150°，則b 15、在ABC中，A60°，B45°，則a ；b 16. 在ABC中，已知sinAsinBsinC=357,則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于_.三、解答題17. 在ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角為120°，求ABC的三邊長(zhǎng). 18. （四川）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。 19.（湖北16)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，