七級數(shù)學培優(yōu)()乘法公式

1、（14）乘法公式【知識精讀】1 乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應用。公式中的每一個字母，一般可以表示數(shù)字、單項式、多項式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應用不僅可從左到右的順用（乘法展開），還可以由右到左逆用（因式分解），還要記住一些重要的變形及其逆運算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推導出其他公式。222完全平方公式：(a± b) =a ± 2ab+b ,22平方差公式：（a+b） (ab)=a b立方和（差）公式： (a±b)(a2ab+b2 )=a3± b33.公式的推廣：多項

2、式平方公式： (a+b+c+d)2 =a2+b 2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的2 倍。二項式定理： (a± b)3=a3± 3a2b+3ab2± b34432234）(a± b) =a ± 4a b+6a b± 4ab +b（ a± b） 5=a5± 5a4b+10a3b2 ± 10a2b3 5ab4± b5）注意觀察右邊展開式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（ a+b） (a3 a2b+

3、ab2 b3)=a4 b443223455(a+b)(a a b+a b ab +b )=a +b注意觀察左邊第二個因式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設n 為正整數(shù)(a+b)(a 2n 1 a2n 2b+a2n 3b2 ab2n2 b2n 1)=a2n b2n(a+b)(a 2n a2n 1b+a2n 2b2 ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地：n 1 n 2n3 2n 2 n1nn（ a b） (a +ab+a b + ab +b)=ab4. 公式的變形及其逆運算由（ a+b） 2=a2+2ab+b2 得 a2+b2 =(a+b) 2 2ab

4、由 (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3=a3 +b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b) 3 3ab(a+b)由公式的推廣可知：當n 為正整數(shù)時nna b 能被 a b 整除 ,a2n+1 +b2n+1 能被 a+b 整除 ,a2n b2n能被 a+b 及 a b 整除?！痉诸惤庾x】1 / 3例 1. 己知 x+y=a xy=b22334455求 x +y x +y x +y x +y2222解： x +y (x+y) 2xy a 2b x3+y3 (x+y) 3 3xy（ x+y） a3 3ab x4+y4 (x+y) 4 4xy（ x2+y 2） 6x 2y2 a4

5、4a2b2b2 x5+y5（ x+y ） (x4 x3y+x 2y2 xy 3+y 4 ) =(x+y) x4+y 4 xy(x 2+y 2)+x 2y2=aa44a2b+2b2 b(a2 2b)+b 2 a5 5a3b+5ab2例2.求證：四個連續(xù)整數(shù)的積加上1 的和，一定是整數(shù)的平方。證明：設這四個數(shù)分別為a, a+1, a+2, a+3(a 為整數(shù) )22a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a +3a)(a +3a+2)+1 =(a2 +3a)2+2(a2+3a)+1=(a 2+3a+1)2 a 是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù) a2+3a+

6、1 是整數(shù)證畢例3.求證： 2222 3111 能被 7 整除證明： 2222 3111（ 22 ）111 3111 4111 3111根據(jù)a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除，（見內(nèi)容提要4） 4111 3111 能被 4 3 整除 2222 3111 能被 7 整除例4. 由完全平方公式推導“個位數(shù)字為5 的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計算規(guī)律解：(10a+5) 2=100a2 +2× 10a× 5+25=100a(a+1)+25“個位數(shù)字為5 的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點是：冪的末兩位數(shù)字是底數(shù)個位數(shù)字5的平方，冪的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1 的數(shù)的積。如：

7、152=225冪的百位上的數(shù)字2=1× 2)， 252=625 (6=2 × 3)，352=1225 (12=3 × 4)45 2=2025 (20=4 × 5)【實戰(zhàn)模擬】1 填空： a2+b2=(a+b) 2 _ (a+b)2=(a b)2+_ a3+b3=(a+b) 3 3ab(_) a4+b4=(a2+b2) 2 _, a5+b5=(a+b)(a 4+b4) _ a5+b 5=(a2+b2)(a3+b3 )_2 填空： (x+y)(_)=x 4 y4 (x y)(_)=x 4y4 (x+y)( _)=x 5+y5（ x y） (_)=x 5 y5

8、3.計算：552= 652= 752= 852= 952=4. 計算下列各題 ，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律11× 19= 22× 28= 34×36= 43× 47=76× 74=2 / 35.已知 x+1=3, 求 x2+1 x3+1 x4+1的值xx 2x3x 46.化簡：（ a+b） 2(a b)2(a+b)(a2 ab+b2) (a b)(a+b) 32ab(a2b2) (a+b+c)(a+b c)(ab+c)( a+b+c)337.己知 a+b=1,求證： a +b 3ab=18.己知 a2=a+1，求代數(shù)式a55a+2 的值9.求證： 233 1 能被 9 整除10.求證：兩個連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個數(shù)的和等于較大的數(shù)的平方11如圖三個小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是 a,b,c求證：三個小圓周長的和等于大圓的周長a求：大圓面積減去三個小圓面積和的差。bc練習4. 十位上的數(shù)