物理學(xué)答案第五版上冊(cè)馬文蔚匯總

1、Ar I = As = Ar7 7 7 17 A B c D 7( z( 7( /(1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻方質(zhì)點(diǎn)的位矢為，速度為人 速率為 至(t + A外時(shí)間內(nèi)的位移為Ar,路程為As,位矢大 小的變化量為Ar (或稱(chēng)A I r I )，平均速度為以平均速率為(1)根據(jù)上述情況，則必有() rlW AsW ，當(dāng) 20 時(shí)有 I I 二 WAr I ArW As,當(dāng) 2fo 時(shí)有 I I 二 WAr I AsW Ar,當(dāng)4 2fo 時(shí)有 I I =二4/24(2)根據(jù)上述情況，則必有(A) v = v, v = v(C) v = v, v v)(B) I v I v v(D) v v =

2、 v題1 一 1圖分析及解(1)質(zhì)點(diǎn)在至1+A力時(shí)間內(nèi)沿曲線從尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 尸,點(diǎn)，各量關(guān)系如圖所示，其中路程As=',位移大小I Ar I =", 而Ar = I r I - I r I表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量，三個(gè)量的物理含義不 同，在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能).但當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P無(wú)限趨近0點(diǎn)，則有I I =，但卻不等于.故選(B).(2)由于 I I WAs,故，即 I 七 I W&.但由于I 1=,故，即1七1=下.由此可見(jiàn)，應(yīng)選(C).1 -2 一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r()的端點(diǎn)處，對(duì)其速度的大小有 四種意見(jiàn)，即(4).(B)只有正

3、確(D)只有正確匕；則；史; drdrdr下述判斷正確的是()(A)只有只有2)正確(O只有只)(3)正確分析及解 上表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo) dr系中叫徑向速率.通常用符號(hào)表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；上表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算，在直角坐 dr標(biāo)系中則可由公式求解.故選(D).1 -3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)表示位置矢量，v表示速度表示加速度表示路程，陽(yáng)表示切向加速度.對(duì)下列表達(dá)式，即d v =a； (2)=叭(3)=%(4)d v I下述判斷正確的是()(A)只有(1)、(4)是對(duì)的(B)只有(2)、(4)是對(duì)的(0只有是對(duì)的(D)只有是對(duì)

4、的分析及解 的表示切向加速度外,它表示速度大小隨時(shí)間的變化率, dr是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)分量,起改變速度大小的作用；蟲(chóng)在極坐 df標(biāo)系中表示徑向速率(如題1 -2所述)；但在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率。；而于表示加速度的大小而不是切向加速度因此只有式表達(dá) 是正確的.故選(D).1 -4 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有()(A)切向加速度一定改變，法向加速度也改變(B)切向加速度可能不變，法向加速度一定改變(C)切向加速度可能不變，法向加速度不變(D)切向加速度一定改變，法向加速度不變分析及解加速度的切向分量d起改變速度大小的作用，而法向分量 起改變速度方向的作用.質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速

5、度方向不斷改變，相應(yīng) 法向加速度的方向也在不斷改變，因而法向加速度是一定改變的.至于處 是否改變，則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定.質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，金恒 為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，外為一不為零的恒量，當(dāng)a,改變時(shí)，質(zhì) 點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng).由此可見(jiàn)，應(yīng)選(B).*1 -5如圖所示，湖中有一小船,有人用繩繞過(guò)岸上一定高度處的定 滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng).設(shè)該人以勻速率聞收繩，繩不伸長(zhǎng)且湖水靜 止，小船的速率為匕則小船作()(A)勻加速運(yùn)動(dòng),(B)勻減速運(yùn)動(dòng)，v = v()cos0(C)變加速運(yùn)動(dòng)，(D)變減速運(yùn)動(dòng)，v = vi)cos0 (E)勻速直線運(yùn)動(dòng)，o = %分析及解本題關(guān)鍵

6、是先求得小船速度表達(dá)式，進(jìn)而判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì).為此建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)定滑輪距水面高度為時(shí)刻定滑輪距小船 的繩長(zhǎng)為則小船的運(yùn)動(dòng)方程為x = V7r牙，其中繩長(zhǎng)隨時(shí)間t而變化.小船速度，式中“表示繩長(zhǎng)1隨時(shí)間的變化率,其大小即為電代入整 d/理后為/= ,=3，方向沿X軸負(fù)向.由速度表達(dá)式，可判斷小船V/2-/?2/ cos6作變加速運(yùn)動(dòng).故選(C).討論 有人會(huì)將繩子速率均按x、P兩個(gè)方向分解，則小船速度V = VQCOS0f這樣做對(duì)嗎？1 -6已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x = 2 + 6產(chǎn)-2巴式中x的單位為的單位為s.求：(1)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后4.0 s內(nèi)的位移的大小；(2)質(zhì)點(diǎn)

7、在該時(shí)間內(nèi)所通過(guò)的路程；(3) t=4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度.分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念.只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí)，位移的大小才會(huì)及路程相等.質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)的位移&x的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：小而在求路程時(shí)，就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能改變運(yùn)動(dòng)方向，此時(shí)，位移的大小和路程就不同了.為此，需根據(jù)來(lái)確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻，求出。 和2內(nèi)的 位移大小Ax1、則t時(shí)間內(nèi)的路程$ = |祠+陽(yáng)|,如圖所示，至于4 = 4.0 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用色和二兩式計(jì)算.dr dr-解(1)質(zhì)點(diǎn)在4.0 s內(nèi)位移的大小=,口-% =-32 m(2)由得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為

8、L = 2s(2=0不合題意)則 Ax =x2-x() =8.0 m Aa2 =x4-x2= -40 m所以,質(zhì)點(diǎn)在4. 0 s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為s = |AW + QtJ = 48m(3) 1=4.0 s時(shí)= = -48 m-s-1d/ /-4.0sa =-=-36 ins d廣 i.os1 -7 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向作直線運(yùn)動(dòng)，其速度及時(shí)間的關(guān)系如圖(a)所 示.設(shè)七=0時(shí)=0.試根據(jù)已知的 圖，畫(huà)出圖以及x圖.題1-7圖分析根據(jù)加速度的定義可知，在直線運(yùn)動(dòng)中曲線的斜率為加速度的大小（圖中、段斜率為定值，即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段的斜率為0,加速 度為零，即勻速直線運(yùn)動(dòng)）.加速度為恒量，在圖上是

9、平行于t軸的直線, 由圖中求出各段的斜率，即可作出圖線.又由速度的定義可知曲線的斜率為速度的大小.因此，勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的X圖應(yīng)是一直線，而勻變5/24速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的X- t圖為力的二次曲線.根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程x=x1),求出不同時(shí)刻1的位置X,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法，可作出圖.解將曲線分為、三個(gè)過(guò)程,它們對(duì)應(yīng)的加速度值分別為 =4. = 20 m s-2 (勻加速直線運(yùn)動(dòng))，%=0(勻速直線運(yùn)動(dòng))4 =出二41 = -10 m S-2(勻減速直線運(yùn)動(dòng))to-fc根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的圖圖(B).在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，有由此,可計(jì)算在。2 s和46 s時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分別為，/

10、S00 511.5244.555.56x/ni0-7.5-10-7.504048.85558.860用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法，由表中數(shù)據(jù)可作02 s和46 s時(shí)間內(nèi)的x 圖.在24 s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)是作0 = 20【ms"的勻速直線運(yùn)動(dòng)，其x圖是 斜率A=20的一段直線圖(c) .1 -8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，=21 + (2-尸)/,式中r的單位為的單 位為s .求：(1)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；2 2) t =0及t =2 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位矢；(3)由1 =0到2=2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移Ar和徑向增量*(4) 2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過(guò)的路程s.分析 質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y =f(x),可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)分量式

11、 和火力中消去t即可得到.對(duì)于廠Ar、卜人As來(lái)說(shuō)，物理含義不同， 可根據(jù)其定義計(jì)算.其中對(duì)s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微 元?jiǎng)tds = J(cU)2+(dy)2 ,最后用s = Jds積分求S .解(1)由和y&)中消去t后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖(a)所示. 將1 =0 5和1 =2 S分別代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分別為7 = 2/ , r2 =4/-2j圖(a)中的P、Q兩點(diǎn)，即為才=0s和1=2 S時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置.(3)由位移表達(dá)式，得Ar =一八=(x2 - xji +(y2 - y0)j = 4i -2；其中位移大小 |Ar| = /(Ax

12、)，+()，)： = 5.66 m而徑向增量/=等=bI - WI = M + y； - M + y； = 2.47 m*(4)如圖(B)所示，所求As即為圖中段長(zhǎng)度，先在其間任意處取微元,則由=J(dr)2+(dy)2 ,由軌道方程可得,代入,則2 s內(nèi)路程為題1 -8圖1 -9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x = -10r + 30ry = 5t-20r式中的單位為 的單位為S.試求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向.分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量，再由運(yùn) 動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向.解(1)速度的分量式為當(dāng)t =0時(shí)，=-10 m - s -1 , =15

13、 m-s ,則初速度大小為.=18.0 m 7設(shè)及x軸的夾角為Q,則。=123° 41'（2）加速度的分量式為則加速度的大小為a = Ja； +4j =72.1 m s-2 設(shè)a及x軸的夾角為B,則£=-33° 41'（或326° 19,）1-10 一升降機(jī)以加速度1.22m-S-2上升，當(dāng)上升速度為2.44m-S 一時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板及升降機(jī)的底面相距2. 74 m.計(jì)算：（1）螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；（2）螺絲相對(duì)升降機(jī) 外固定柱子的下降距離.分析在升降機(jī)及螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下，一種處理方法是取

14、 地面為參考系，分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的 螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng)，列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程% = 必（力和必=%（力，并考慮它們相遇，即位矢相同這一條件，問(wèn)題即可解；另 一種方法是取升降機(jī)（或螺絲）為參考系，這時(shí)，螺絲（或升降機(jī)）相對(duì)它作 勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度.升降機(jī)廂的高度就是螺絲 （或升降機(jī)）運(yùn)動(dòng)的路程.解1 （1）以地面為參考系，取如圖所示的坐標(biāo)系，升降機(jī)及螺絲的運(yùn) 動(dòng)方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時(shí)，有必=JA，即1 . 7 1 2（2）螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為d = h- y2 = 一 qj + ；= 0716 m解2

15、（1）以升降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度大小，=g +&螺絲落至底面時(shí),有8/24（2）由于升降機(jī)在2時(shí)間內(nèi)上升的高度為" = /? " = 0.716 m14 / 24題1 - 10圖1 -11 一質(zhì)點(diǎn)P沿半徑R =3.0 m的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周所 需時(shí)間為20. 0s,設(shè)才=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于。點(diǎn).按圖中所示 坐標(biāo)系，求 （1）質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位矢；（2）5 s時(shí)的速度和加速度.分析 該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類(lèi)問(wèn)題，即已知運(yùn)動(dòng)方程r =2（力求質(zhì) 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息（如位置矢量、位移、速度、加速度）.在確定運(yùn)動(dòng)方程 時(shí)，若取以點(diǎn)（0,3）為原點(diǎn)的。

16、9;x'y'坐標(biāo)系，并采用參數(shù)方程x'= x'（力和p，=p'（力來(lái)表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的.然后,運(yùn)用坐標(biāo)變換 x =M +x'和p =W +_/ ,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至坐標(biāo)系中，即得 坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位矢.采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度.坐標(biāo)系中，因,則質(zhì)點(diǎn)P的參數(shù)方程為坐標(biāo)變換后，在坐標(biāo)系中有27r，y = y'+= -Reos,，+r則質(zhì)點(diǎn)p的位矢方程為r = Rsin-ti + - Rcos-t + R j= 3sin(0.1 m)i + 3l-cos(0. Ef)y(2) 5 s時(shí)的速度和加速度分別為v =

17、 = Rcos-ti + /?sin tj = (0.3k m-s-1 )j5 T T T T J1a = -4- = -/?()2sinri + /?()2cos/ = (-0.03jt2 m-s-2)i1 -12 地面d 廠T T T T上垂直豎立一高20.0 m的旗桿，已知正午時(shí)分太陽(yáng)在旗桿的正上方，求在下午2： 00時(shí)，桿頂在地面上的影子的速度的大小.在何時(shí)刻桿影伸展至 20. 0 m?分析為求桿頂在地面上影子速度的大小，必須建立影長(zhǎng)及時(shí)間的函 數(shù)關(guān)系，即影子端點(diǎn)的位矢方程.根據(jù)幾何關(guān)系,影長(zhǎng)可通過(guò)太陽(yáng)光線對(duì)地 轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得.由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就 是地球自

18、轉(zhuǎn)的角速度.這樣，影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得.解 設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為M從正午時(shí)分開(kāi)始計(jì)時(shí)，則桿 的影長(zhǎng)為s= 3 1,下午2 : 00時(shí)，桿頂在地面上影子的速度大小為. = =1.94x10-3 m.s-idr cos-皿當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí)，即s =九則S 兀t = arc tan=3x60x60 s3 h 4co即為下午3 ： 00時(shí).1 -13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a=4 1式中a的單位為ms 7的單 位為S .如果當(dāng)t =3 S時(shí)=9 m =2 ms t ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題，即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程, 必須在給定條件下用積分方法解決.由和可

19、得加=。s和心=。出.如a=a(力或p =/(力，則可兩邊直接積分.如果a或。不是時(shí)間2的顯函數(shù)，則應(yīng)經(jīng) 過(guò)諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分.解由分析知，應(yīng)有由J dv = £ vdt得工=2/一右，4+%/ +入0(2)將 1=3 S 時(shí)=9 = 2 m S 1 代入(1)(2)得的 = -1 m s Xo= 0. 75m.于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為1 -14 一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力，石子并非作自由落 體運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)得其加速度a=A，式中A、B為正恒量,求石子下落的速度和 運(yùn)動(dòng)方程.分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題，及上題不同之處在于加速度是 速度用勺函數(shù)，因此，需

20、將式=a(p)分離變量為后再兩邊積分.解 選取石子下落方向?yàn)閜軸正向，下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)由題意知(1)用分離變量法把式改寫(xiě)為(2)將式兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度由此可知當(dāng)一8時(shí),為一常量,通常稱(chēng)為極限速度或收尾速度.(2)再由并考慮初始條件有得石子運(yùn)動(dòng)方程1 -15 一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度，=6j +4J,式中a的單位為由s Y .在2=0時(shí)，其速度為零，位置矢量公=10 m2.求：(1)在任意時(shí)刻的 速度和位置矢量；(2)質(zhì)點(diǎn)在平面上的軌跡方程，并畫(huà)出軌跡的示意圖.題1 -15圖分析 及上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)疊加原理，求 解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量 和分別積

21、分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分 量式x(Z)和y(t).由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn) 動(dòng)方程為固定形式,即和，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng).讀者不妨自己 驗(yàn)證一下.解 由加速度定義式，根據(jù)初始條件友=0時(shí)% =0,積分可得 | dp = ("dr = £ (6/ + 4j)drv = 6ti + 4(/又由及初始條件2=0時(shí)。=(10 m)力積分可得"=卜” ="6 +4m由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式，即x =io + 3ry =2r消去參數(shù)下,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程3y =2x -20 m這是一個(gè)直線方程.直線斜率，。=33

22、76; 41'.軌跡如圖所示.1 -16 一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)由位置A 運(yùn)動(dòng)到位置 和 所對(duì)的圓心角為A 0 . (1)試證位置A和B之間的平均加 速度為不=而二而畫(huà)。2/(RM); (2)當(dāng)A。分別等于90°、30°、10° 和1。時(shí)，平均加速度各為多少？并對(duì)結(jié)果加以討論.(b)gj 1 -16 圖分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同，它們分別表示為 和.在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中，它們的大小分別為，式中I AvI可由圖(B)中 的幾何關(guān)系得到，而1可由轉(zhuǎn)過(guò)的角度 0求出.由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系，即瞬時(shí)加速度是平均加速

23、 度在At0時(shí)的極限值.解(1)由圖(b)可看到A p =匕一故Ap = Jo； + 0； - 2 VcosM=0J2(1 - cosM)所以 /a =- = J2(l-cosA)tV-R6(2)將A 6=90° ,30° ,10° ,1°分別代入上式, 得以上結(jié)果表明，當(dāng)A 一0時(shí)，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速度趨近于一極限值，該值即為法向加速度1 -17質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為r=2.0 +（19.0 -2. Or ）j, 式中r的單位為的單位為s.求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；（2）在力= LOs到 tz =2. 0s時(shí)間內(nèi)的平均速度；（3）心=1.

24、0 s時(shí)的速度及切向和法向加 速度；（4） t =1.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑。.分析 根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可直接寫(xiě)出其分量式x =x1）和y =火力，從中 消去參數(shù)L即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程.平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置 的變化率，即，它及時(shí)間間隔A t的大小有關(guān)，當(dāng) 0時(shí),平均速度的極 限即瞬時(shí)速度.切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量小 和，前 者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率，即，后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方 向的變化，它可由總加速度a和小得到.在求得右時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向 加速度的大小后，可由公式求P .解（1）由參數(shù)方程x =2. Of, y =19. 0-2. Or消去得質(zhì)點(diǎn)的軌

25、跡方程：y =19. 0 -0. 50r（2）在乙=1.00s到右=2.0 s時(shí)間內(nèi)的平均速度加速度之間的夾角”或由圖可知，在特定時(shí)刻玄物體的切向加速度和 水平線之間的夾角心可由此時(shí)刻的兩速度分量、求出，這樣，也就可將重 力加速度g的切向和法向分量求得.解(1)取如圖所示的坐標(biāo)，物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方 程分別為x =、 y =1/2 :飛機(jī)水平飛行速度=100 m飛機(jī)離地面的高度尸100 m,由上述 兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離(2)視線和水平線的夾角為(3)在任意時(shí)刻物品的速度及水平軸的夾角為2gfa = arc tan = arc tan%o取自然坐標(biāo)，物品在拋出2s時(shí)，重

26、力加速度的切向分量及法向分量分 別為a, = gsin a = gsin arctan = 1.88 ni - s-2( )a = geos a = cos| arctan j = 9.62 ni - s-21 -19如圖(a)所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端0處，已知斜 坡傾角為心炮身及斜坡的夾角為£,炮彈的出口速度為電忽略空氣阻 力.求：(1)炮彈落地點(diǎn)P及點(diǎn)0的距離；(2)欲使炮彈能垂直擊中坡面.證 明。和£必須滿(mǎn)足并及無(wú)關(guān).分析 這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單，但針對(duì)題目所問(wèn)，如不能靈活 運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話(huà),求解起來(lái)并不容 易.現(xiàn)建

27、立如圖(a)所示坐標(biāo)系，則炮彈在x和p兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻 減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為£和%£,其加速度分別為。和。.在此 坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí)，應(yīng)有y =0,則x =.如欲使炮彈垂直擊中坡面，則應(yīng)16 / 24滿(mǎn)足=0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程，即可求解.由于本題中加速 度g為恒矢量.故第一問(wèn)也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算，即，做出炮彈落地 時(shí)的矢量圖如圖(B)所示，由圖中所示兒何關(guān)系也可求得而(即圖中 的r矢量).(1)解1由分析知，炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為x = VJc os- rsina(1)2y = vtsin p- - grcosa(2)2

28、令y =0求得時(shí)間方后再代入式得八門(mén) 2q；sin"Q.八 2q；sin 夕 /4OP = x = -(cos a cos p - sin a sin p) = -cos(a + p)gcosagcos.a解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖，如圖(b)所示,并利用正弦定理,有從中消去方后也可得到同樣結(jié)果.(2)由分析知，如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿(mǎn)足y =0和=0,則vx = q)cos 0 - gfsin a = 0(3)由(2) (3)兩式消去2后得由此可知.只要角和£滿(mǎn)足上式，炮彈就能垂直擊中坡面,而及死的 大小無(wú)關(guān).討論 如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比 較困

29、難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下.1 -20 一直立的雨傘，張開(kāi)后其邊緣圓周的半徑為兄離地面的高度為 A (1)當(dāng)傘尤姆”角速出旋轉(zhuǎn)時(shí)，求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上 半徑為r = Ra + 2h療/g的圓周上;(2)讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上 或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？題1 - 2()圖分析 選定傘邊緣。處的雨滴為研究對(duì)象，當(dāng)傘以角速度3旋轉(zhuǎn)時(shí)， 雨滴將以速度。沿切線方向飛此并作平拋運(yùn)動(dòng).建立如圖(a)所示坐標(biāo)系, 列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系，即可求證.由此可以想像 如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出，從不同小孔中飛出的水 滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上，為保證均

30、勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布還要 給予精心的考慮.解 如圖(a)所示坐標(biāo)系中，雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為x = vt = Roji(1)(2)由式(1)(2)可得由圖(a)所示兒何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為r = G + R=(2)常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(*=45° )其上 有大量小孔.噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí)，水滴以初速度的從各個(gè)小孔中噴此并作斜上拋 運(yùn)動(dòng),通常噴頭表面基本上及草坪處在同一水平面上.則以。角噴射的水 柱射程為為使噴頭周?chē)牟萜耗鼙痪鶆驀姙?，噴頭上的小孔數(shù)不但很多，而且 還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.1 -21 一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門(mén)前25.0 m處以2

31、0.0 m - s的初速率罰任意球，已知球門(mén)高為3. 44 m.若要在垂直于球門(mén)的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門(mén)，問(wèn)他應(yīng)在及地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？（足球可視為質(zhì)點(diǎn)）分析 被踢出后的足球，在空中作斜拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在 豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到.由于水平距離x已知,球門(mén)高度又限定了在y 方向的范圍，故只需將x、y值代入即可求出.解取圖示坐標(biāo)系，由運(yùn)動(dòng)方程X = vtcosO,消去t得軌跡方程y = Alan 0 片（1 + tan2）x2以x =25.0 =20.0 m s -1 及3. 44代入后，可解得71. 11° 2 夕 1 N69. 92°27. 9

32、2° 2 夕2 N18. 89°如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門(mén)底線或 球門(mén)上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角（如圖所示）.如果以 71. 11°或夕18.890踢出足球，都將因射程不足而不能直接射入球門(mén)； 由于球門(mén)高度的限制，0角也并非能取71. 11°及18. 89°之間的任何 值.當(dāng)傾角取值為27. 920 < 0 <69. 92°時(shí)，踢出的足球?qū)⒃竭^(guò)門(mén)緣而 離去,這時(shí)球也不能射入球門(mén).因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果.1-22 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為斤的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng)。、b都是常量.(1)求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)

33、的總加速度；(2) t為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b? (3)當(dāng)加速度達(dá)到b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析 在自然坐標(biāo)中表示圓周上從某一點(diǎn)開(kāi)始的曲線坐標(biāo).由給定 的運(yùn)動(dòng)方程s =s1),對(duì)時(shí)間求一階、二階導(dǎo)數(shù)，即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度 v和加速度的切向分量外，而加速度的法向分量為=匕.這樣，總加速度為 a =ae+.至于質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程，即為曲線坐標(biāo)的改變量/ s =因圓周長(zhǎng)為2冗R,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得.解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為故加速度的大小為其方向及切線之間的夾角為6 = arc tan = arctaiJ- a, _ Rb(2)要使 I

34、 a I =5,由一次)4 =，可得 R(3)從1=0開(kāi)始到匕=%時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為1 -23 一半徑為0.50 m的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi)，其角速度及時(shí) 間的平方成正比,在1=2. 0 s時(shí)測(cè)得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0m-s求: (1)該輪在戶(hù)=0.5 s的角速度，輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；(2) 該點(diǎn)在2. 0 s內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度.分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系3=，.依據(jù)角量及線量的關(guān)系 由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)4，3 = 3（力確定后，注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述及線量描述的相應(yīng)關(guān)系，由運(yùn)動(dòng)學(xué)中 兩類(lèi)問(wèn)題求解的方法（微分法和積分法）

35、，即可得到特定時(shí)刻的角加速度、 切向加速度和角位移.解 因3斤=匕由題意3 8寸得比例系數(shù)k = ： = 2 rad -s-3r Rr所以co = co（t） = 2r則/ =0.5s時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為co = 2產(chǎn)=0.5 rad -s-1a =上 = 4 = 2,0 rad s- dra, = a/? = 1.0 m s-2總加速度a =al +ai. = a.Re, +co2Rena =+（3 吹）=1.01 m - s-2在2. Os內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度6 緣=j codt = £ 2t2dt = r' J = 5.33 rad1 -24 一質(zhì)點(diǎn)在半

36、徑為0.10 m的圓周上運(yùn)動(dòng)，其角位置為6 = 2 + 4/， 式中的單位為 的單位為s. （1）求在才=2. 0 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度 和切向加速度.（2）當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半 時(shí)，0值為多少？（3）才為多少時(shí)，法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量及線量、角位移方程及位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用運(yùn) 動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到.解（1）由于6 = 2 + 4汽則角速度.在方=2 s時(shí)，法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為=rar = 2.30 in - s-2,=r- = 4.80 m-s-27 sdr（2）當(dāng)時(shí)，有34=心即3（24/7）2 =r2（12r2y得此時(shí)刻的角位置為6 = 2 + 4/ =3.15 rad(3)要使冊(cè)=則有3(24。=/(122 yt =0. 55 s1 -25 一無(wú)風(fēng)的下雨天,一列火車(chē)以 = 20.0 m- s-1的速度勻速前 進(jìn)，在車(chē)內(nèi)的旅客看見(jiàn)玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降.求雨滴下落 的速度也.(設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))題I -25圖分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參 考系S,火車(chē)為動(dòng)參考系S'.匕為S'相對(duì)S的速度2為雨滴相對(duì)S的 速度,利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解.解 以地