《區(qū)間估計(jì) 》ppt課件

1、第第2.42.4節(jié)節(jié) 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的概念一、區(qū)間估計(jì)的概念二、正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間二、正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)四、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)四、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì) 五、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)五、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)六、單側(cè)置信區(qū)間六、單側(cè)置信區(qū)間七、非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)七、非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)根本概念一、區(qū)間估計(jì)根本概念1. 問題的提出問題的提出點(diǎn)估計(jì)法：點(diǎn)估計(jì)法：，來來估估計(jì)計(jì)參參數(shù)數(shù)找找一一個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量 )(0的觀察值的觀察值 缺乏之處：缺乏之處：.0度度的的誤誤差

2、差及及估估計(jì)計(jì)的的可可靠靠程程與與參參數(shù)數(shù)真真值值未未給給出出估估計(jì)計(jì)值值量量 例如例如， )(XE樣樣本本均均值值的的觀觀察察值值x 問：問：多多大大？誤誤差差 x的可靠程度如何？的可靠程度如何？估計(jì)估計(jì)用用 X10 ：給給定定即即很小很小 1 XP使使較大較大？中中的的 區(qū)間估計(jì)處理了上述問題，從而抑制了點(diǎn)估區(qū)間估計(jì)處理了上述問題，從而抑制了點(diǎn)估計(jì)的缺乏之處計(jì)的缺乏之處.121112221212 ( ; ), (01), ,(,)(,) 1,nnnXF xXXXXXXXXXP 設(shè)設(shè)總總體體的的分分布布函函數(shù)數(shù)含含有有一一個(gè)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于給給定定值值若若由由樣樣本本確確定定的的兩

3、兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量和和滿滿足足1212, 1, 1, 1. 則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間是是 的的置置信信度度為為的的置置信信區(qū)區(qū)間間和和分分別別稱稱為為置置信信度度為為的的雙雙側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限為為置置信信度度2. 置信區(qū)間與置信度置信區(qū)間與置信度定義定義2.11關(guān)于定義的闡明關(guān)于定義的闡明. , , , , 21是是隨隨機(jī)機(jī)的的而而區(qū)區(qū)間間沒沒有有隨隨機(jī)機(jī)性性但但它它是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)雖雖然然未未知知被被估估計(jì)計(jì)的的參參數(shù)數(shù) : 1的本質(zhì)是的本質(zhì)是因此定義中下表達(dá)式因此定義中下表達(dá)式 21P ,1 ,21的的真真值值的的概概率率包包含含著著參參數(shù)數(shù)以

4、以隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間 . ,1 21 的的概概率率落落入入隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間以以而而不不能能說說參參數(shù)數(shù) : 1還還可可以以描描述述為為另另外外定定義義中中的的表表達(dá)達(dá)式式 21P假設(shè)反復(fù)抽樣多次假設(shè)反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等各次得到的樣本容量相等,都是都是n) , ,21間間每每個(gè)個(gè)樣樣本本值值確確定定一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)按貝努利大數(shù)定理按貝努利大數(shù)定理, 當(dāng)抽樣次數(shù)充分大時(shí)，在這些當(dāng)抽樣次數(shù)充分大時(shí)，在這些區(qū)間中包含區(qū)間中包含 真值的頻率接近置信度真值的頻率接近置信度 1 , 即即 .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的約約占占真真值值的的約約占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值

5、值或或不不包包含含每每個(gè)個(gè)這這樣樣的的區(qū)區(qū)間間或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反反復(fù)復(fù)抽抽樣樣若若 .10 1000 個(gè)個(gè)真真值值的的約約為為個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間中中不不包包含含則則得得到到的的 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間估計(jì)在區(qū)間 ,21 內(nèi)內(nèi). 這里有兩個(gè)要求這里有兩個(gè)要求:由定義可見，由定義可見， 對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量) )(21 11 (X1,Xn)22 (X1,Xn)2. 估計(jì)的精度要盡能夠的高估計(jì)的精度要盡能夠的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)

6、間12 長度長度 盡能夠短，或能表達(dá)該要求的其盡能夠短，或能表達(dá)該要求的其它準(zhǔn)那么它準(zhǔn)那么.,21 1. 要求要求 以很大的能夠被包含在區(qū)間以很大的能夠被包含在區(qū)間 21 P內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡能夠大要盡能夠大.即要求估計(jì)盡量可靠即要求估計(jì)盡量可靠. 可靠度與精度是一對(duì)矛盾，普通是在可靠度與精度是一對(duì)矛盾，普通是在保證可靠度的條件下盡能夠提高精度保證可靠度的條件下盡能夠提高精度.12121 ,:(,; ), ().nnXXXuu XXXu 尋尋求求一一個(gè)個(gè)樣樣本本的的函函數(shù)數(shù)其其中中僅僅包包含含待待估估參參數(shù)數(shù)并并且且 的的分分布布已已知知且且不不依依賴賴于于任任何何未未知知

7、參參數(shù)數(shù) 包包括括122 1, , (,; )1.nc dP cu XXXd 對(duì)對(duì)于于給給定定的的置置信信度度定定出出兩兩個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)使使3. 求置信區(qū)間的普通步驟求置信區(qū)間的普通步驟(共共3步步)121211122212 (,; ) , (,),(,)nnnau XXXbXXXXXX 其其中中. 1 , 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為就是就是那么那么 3 求解不等式求解不等式., ,12221修正樣本方差分別是樣本均值和的樣本總體為并設(shè)設(shè)給定置信度為*,),(,nnSXNXXX 二、正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間二、正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間 ,)1(2為為已已知知 的的置

8、置信信區(qū)區(qū)間間求求 2 ( ,),XXNn 選選取取 作作為為 的的估估計(jì)計(jì)，又又因因?yàn)闉?,1 , 0(/ 1NnXU 取取，要求：，要求：給定給定 2 ,12/ uUP ,1)()(22 uu ,11)(22 u ,21)(2 u.32 u查表可確定查表可確定 1 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為 .unX 2/4 作等價(jià)變形作等價(jià)變形2 uU 2/ unX 2 unX 22 unXunX ，, 22 unXunX 簡寫成簡寫成其置信區(qū)間的長度為其置信區(qū)間的長度為. 22/un 注注置信區(qū)間不獨(dú)一，但上述結(jié)論區(qū)間長度最小置信區(qū)間不獨(dú)一，但上述結(jié)論區(qū)間長度最小例例1 1 包糖

9、機(jī)某日開工包了包糖機(jī)某日開工包了12 包糖包糖,稱得分量稱得分量(單位單位:克克)分別為分別為506, 500, 495, 488, 504, 486, 505,513, 521, 520, 512, 485. 假設(shè)分量服從正態(tài)分布假設(shè)分量服從正態(tài)分布,解解,12,10 n ,92.502 x計(jì)計(jì)算算得得,10. 0)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 05. 02/ uu 查表得查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分別取分別取置信區(qū)間置信區(qū)間的的試求糖包的平均重量試求糖包的平均重量且標(biāo)準(zhǔn)差為且標(biāo)準(zhǔn)差為附表附表2-1,95. 021 ,645. 1 2/unx645. 1121092.502 ,67.

10、507 2/unx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為即即 .67.507,17.498,05. 0)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,975. 021 02502./uu 95% 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信度度為為同同理理可可得得 .58.508,26.497.,1 ;,1 ,置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較小小較較小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)置置信信度度置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較大大較較大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)置置信信度度從從此此例例可可以以看看出出 附表附表2-22-2,96. 1查表得查表得 ,)2(2為為未未知知 的置信區(qū)間的置信區(qū)間求求 ),1(/ 1 ntnS

11、XTn 取取，要求：，要求：給定給定 2 ,1)1(2 ntTP).1(32 nt 查表可確定查表可確定) 1(2 nt ) 1(2 nt 4 作等價(jià)變形作等價(jià)變形)1(2 ntT )1(/2 ntnSXn )1(/2 ntnSXn )1()1(22 ntnSXntnSXnn 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 ，)1()1(22 ntnSXntnSXnn 簡寫成簡寫成.)(/*12ntnSXn例例2 2解解 有一大批糖果有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋袋, 稱得分稱得分量量(克克)如下如下: 4965095025064964935055145124975105045

12、03499508506設(shè)袋裝糖果的分量服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的分量服從正態(tài)分布, 試求總體均值試求總體均值,151 0.05, n : )1( 分分布布表表可可知知查查 nt )15()15(025. 02tt ,2022. 6,75.503 nsx計(jì)計(jì)算算得得 . 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 附表附表3-13-1,1315. 2 5%9 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為得得 1315. 2162022. 675.503.1 .507, 4 .500即即 )15()15(025. 02tt ,1315. 2,2022. 6,75.503 nsx16)1(2/*

13、nntnSXn， 就是說估計(jì)袋裝糖果分量的均值在就是說估計(jì)袋裝糖果分量的均值在500.4克與克與507.1克之間克之間, 這個(gè)估計(jì)的可信程度為這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其其誤誤差差不不大大于于 , 的的近近似似值值為為若若依依此此區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)任任一一值值作作 這個(gè)誤差的可信度為這個(gè)誤差的可信度為95%.例例3 3 . 95% , ),(2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的的試求糖包重量試求糖包重量 N解解 ,12, n未知未知此時(shí)此時(shí) ,92.502 0.05, x ,.*3512 ns : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )11(02

14、5. 0t,.)(/*85720121235121 2 ntnsn于是 5%9 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為得得 .,.7751007495,201. 2附表附表3-23-2(續(xù)例續(xù)例1)假設(shè)只假設(shè)糖包的分量服從正態(tài)分布假設(shè)只假設(shè)糖包的分量服從正態(tài)分布.)(/*12ntnSXn三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: , S 22n的無偏估計(jì)是因?yàn)?),()(*11222 nSnn根據(jù)第根據(jù)第1章第三節(jié)定理章第三節(jié)定理1.12可知可知 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為方差方差 nSnnSnnn.)()(,)()(/*/* 1111

15、2212222 . ,未知的情況未知的情況只介紹只介紹根據(jù)實(shí)際需要根據(jù)實(shí)際需要 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 nSnnP n,)()()(/*/ 11112222221則 nSnnSnP nn,)()()()(/*/* 1111122122222即 nSnnSnnn.)()(,)()(/*/* 11112212222 1 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差 .)(,)(/*/* 111122122nSnnSnnn進(jìn)一步可得進(jìn)一步可得:留意留意: 在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí)在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí), , 2分分布布分分布布和和如如F 習(xí)慣上仍取對(duì)

16、稱的分位點(diǎn)習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間來確定置信區(qū)間(如圖如圖).注注 此置信區(qū)間長度并非最短此置信區(qū)間長度并非最短例例4 4 (續(xù)例續(xù)例2) 求例求例2中總體規(guī)范差中總體規(guī)范差的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,.*20226 ns 計(jì)算得 )15(2975. 0 代入公式得規(guī)范差的置信區(qū)間代入公式得規(guī)范差的置信區(qū)間.,.609584附表附表4-14-1,488.27,262. 6附表附表4-24-2.)(,)(/*/* 111122122nSnnS

17、nnn四、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)四、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)., , ,),(,),( , ,*的修正樣本方差的修正樣本方差分別是第一、二個(gè)總體分別是第一、二個(gè)總體總體的樣本均值總體的樣本均值分別是第一、二個(gè)分別是第一、二個(gè)的樣本的樣本個(gè)總體個(gè)總體為第二為第二的樣本的樣本第一個(gè)總體第一個(gè)總體為為并設(shè)并設(shè)設(shè)給定置信度為設(shè)給定置信度為22212222121121211SSYXNYYYNXXXnn 本章將討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題本章將討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題.22112( ) ,和和均均為為已已知知 1 21的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為 .nnu

18、YX 2221212/ , , , 21的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)分分別別是是因因?yàn)闉?YX推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: , 21的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)是是所所以以 YX , 的的獨(dú)獨(dú)立立性性及及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY , 22212121 nnNYX 可可知知 ,1, 0 22212121NnnYXU 或或 1 21的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為于于是是得得 .nnuYX 2221212/ ,)2(2221均為未知均為未知和和 ),50(21則則有有即即可可實(shí)實(shí)用用上上都都很很大大和和只只要要 nn 1 21的的近近似似置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度

19、為為 .nSnSuYX 2221212*/ , ,)3(222221為未知為未知但但 1 21的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為 .11)2(21212/ nnSnntYXw 122211222212112*()() ,.nnwwwnSnSSSSnn 其其中中),2(11)()(212121 nntnnSYXTw 取取為比較為比較, 兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取隨機(jī)地取型子彈型子彈10發(fā)發(fā), 得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為),/(5001smx 111 10 .(/ ),nsm s 修修正正標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差隨機(jī)隨機(jī)地取地取型子彈型子彈2

20、0發(fā)發(fā), 得槍口速度平均值為得槍口速度平均值為),/(4962smx 221 20 .(/ ),nsm s 修修正正標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差假設(shè)兩總體都可以為近似地服從正態(tài)分布假設(shè)兩總體都可以為近似地服從正態(tài)分布, 且由且由消費(fèi)過程可以為它們的方差相等消費(fèi)過程可以為它們的方差相等, 求兩總體均值求兩總體均值差差 .950 21的的置置的的置置信信度度為為 信區(qū)間信區(qū)間.解解 由題意由題意, 兩總體樣本獨(dú)立且方差相等兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知但未知),例例5 5 0.025,2 ,20,1021 nn,28221 nn : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt,0484. 2)28(025. 0 t

21、,2820. 11910. 19 222 wS,1688. 12 wwSS2)1()1( 212*222*112 nnSnSnSw),/(5001smx ),/(4962smx ),/(10. 11sms )/(20. 1 2sms .11)2(21212/ nnSnntYXw .950 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 201101)28(025. 021tSxxw),93. 04( .,. 934073即即所所求求置置信信區(qū)區(qū)間間為為五、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)五、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì) . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體

22、均值 1 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .),(,),(/*/* 111111212122212122221nnFSSnnFSS推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下:1211212111*() (), nnSn 由由于于2222222211*()(), nnSn 122211222111*22()() , nnnSnS 且且由由假假設(shè)設(shè)知知與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立根據(jù)根據(jù)F分布的構(gòu)造分布的構(gòu)造, 知知12221112222211*(,), nnSF nnS 1122112222* nnSFS即即122111212222221111*()() ()()nnnSnnSn ),1, 1(

23、21 nnF1222111212212222211111*/*(,)(,) ,nnSP FnnFnnS 112222211122222122212121111111*/(,)(,), nnnnSSPSFnnSFnn 1 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 1122221122221221212111111*/,. (,)(,)nnnnSSSFnnSFnn 例例6(p696(p69例例2.30)2.30) 為了調(diào)查溫度對(duì)某物體斷裂強(qiáng)為了調(diào)查溫度對(duì)某物體斷裂強(qiáng)力的影響，在力的影響，在70度和度和80度分別反復(fù)做了度分別反復(fù)做了8次實(shí)驗(yàn)，次實(shí)驗(yàn)，測得的斷裂強(qiáng)力的數(shù)據(jù)

24、如下測得的斷裂強(qiáng)力的數(shù)據(jù)如下(單位單位Pa): 70度：度：20.5, 18.8, 19.8, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2 80度：度： 17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.2, 19.1021102222122708090(,),(,),%.CXNCYN 假假定定下下的的斷斷裂裂強(qiáng)強(qiáng)力力用用 表表示示，且且服服從從下下的的斷斷裂裂強(qiáng)強(qiáng)力力用用 表表示示，且且服服從從試試求求方方差差比比的的置置信信度度為為的的置置信信區(qū)區(qū)間間解解12221120 40 885719 40 8286*. , .,. , .,nnxsys2120 051

25、17 7/.(,)( , )FnnF120 950 05117 77 70 2637 73 79/.( , )( , ).( , ).FFF .900 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 0 88570 88570 26393 790 2821 4 05120 82860 8286.,.( ., . ） . 1,22212221兩兩者者沒沒有有顯顯著著差差別別和和為為在在實(shí)實(shí)際際中中我我們們認(rèn)認(rèn)的的置置信信區(qū)區(qū)間間中中包包含含由由于于在在 3 79. 附表附表5-15-1六、單側(cè)置信區(qū)間六、單側(cè)置信區(qū)間22 , , , (, ).1 11 1在在以以上上各各節(jié)

26、節(jié)的的討討論論中中對(duì)對(duì)于于未未知知參參數(shù)數(shù)我我們們給給出出兩兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量得得到到 的的雙雙側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間 但在某些實(shí)踐問題中但在某些實(shí)踐問題中, 例如例如, 對(duì)于設(shè)備、元件的對(duì)于設(shè)備、元件的壽命來說壽命來說, 平均壽命長是我們希望的平均壽命長是我們希望的, 我們關(guān)懷的是我們關(guān)懷的是平均壽命平均壽命 的的“下限下限; 與之相反與之相反, 在思索產(chǎn)品的廢在思索產(chǎn)品的廢品率品率 p時(shí)時(shí), 我們常關(guān)懷參數(shù)我們常關(guān)懷參數(shù) p的的“上限上限, 這就引出了這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念單側(cè)置信區(qū)間的概念. 1. 單側(cè)置信區(qū)間的定義單側(cè)置信區(qū)間的定義1211112 (01), ,(,) ,1,nnX

27、XXXXXP 對(duì)對(duì)于于給給定定值值若若由由樣樣本本確確定定的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量對(duì)對(duì)于于任任意意滿滿足足11(, )1, 1 . 則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間是是 的的置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間稱稱為為的的置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信下下限限22122 (,), 1,nXXXP 又又如如果果統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量對(duì)對(duì)于于任任意意滿滿足足22( ,) 1 , 1. 則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間是是 的的置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間稱稱為為的的置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信上上限限2. 正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間 )(

28、, , 2均為未知均為未知方差是方差是的均值是的均值是設(shè)正態(tài)總體設(shè)正態(tài)總體 X , , 21是一個(gè)樣本是一個(gè)樣本nXXX1* (),/nXt nSn 由由11* (),/nXPtnSn 有有11* (),nSPXtnn 即即1*(),nSXtnn 1 的置信下限的置信下限的置信度為的置信度為 1*().nSXtnn 22211*() (),nnSn 又又根根據(jù)據(jù)2212111*() (),nnSPn 有有 1 的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 1 2的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 221101*(),()nnSn 1 2

29、的的單單側(cè)側(cè)置置信信上上限限的的置置信信度度為為 222111*().()nnSn 2221111*() ,()nnSPn 即即注注 其他結(jié)果可以參見其他結(jié)果可以參見p70表表2.3. 設(shè)從一批燈泡中設(shè)從一批燈泡中, 隨機(jī)地取隨機(jī)地取10只作壽只作壽命實(shí)驗(yàn)命實(shí)驗(yàn),測得樣本壽命均值測得樣本壽命均值(以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì))為為1500h ,樣本樣本的修正均方差為的修正均方差為 20h, 設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布, 求求燈泡壽命平均值的置信度為燈泡壽命平均值的置信度為0.95的單側(cè)置信下限的單側(cè)置信下限.解解, 5 n1500,x ,95. 01 0 05151 833.()( ).

30、tnt20*,ns .950 的的置置信信下下限限的的置置信信度度為為 11488*().nsxtnn 例例7(p717(p71例例2.31)2.31).1 ,),( ,)0(, 021上上限限的的置置信信下下限限和和置置信信的的置置信信度度為為求求給給定定的的樣樣本本是是來來自自總總體體未未知知其其中中上上服服從從均均勻勻分分布布在在設(shè)設(shè)總總體體 XXXXXn解解12( ) max,nnXXXX 令令使使找找對(duì)對(duì)于于給給定定的的, 10 , ( )1,nXP,d1 01nnznz 即即,1 n 于于是是1( ) 1,nnXP 所所以以例例8 8* *1( ).nnX 的的置置信信下下限限的的

31、置置信信度度為為 1 使使找找對(duì)于給定的對(duì)于給定的, 10 , ( )1,nXP,1d1 11nnznz 即即, n 于于是是( ) 1,nnXP所所以以( ).nnX 的的置置信信上上限限的的置置信信度度為為 1 七、非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)七、非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1、利用漸近正態(tài)性取代準(zhǔn)確分布、利用漸近正態(tài)性取代準(zhǔn)確分布 由于統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確抽樣分布很難計(jì)算，因此由于統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確抽樣分布很難計(jì)算，因此通常可以利用近似分布取代準(zhǔn)確分布。通?？梢岳媒品植既〈鷾?zhǔn)確分布。普通總體均值的置信區(qū)間：普通總體均值的置信區(qū)間：首先回想定理首先回想定理1.18定理定理1.182120,nXXXXn 設(shè)設(shè)

32、總總體體 的的分分布布是是任任意意的的，其其均均值值為為，且且有有有有限限方方差差，來來自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，有有20 1( , )LnXYNSn 由定理可得：由定理可得：21|/nXPuSn 22(,)nnSSXuXunn 由此可得總體期望由此可得總體期望置信度為置信度為1-置信區(qū)間為置信區(qū)間為置置信信區(qū)區(qū)間間是是的的的的置置信信度度為為則則為為未未知知參參數(shù)數(shù)其其中中的的分分布布律律為為的的總總體體分分布布它它來來自自的的大大樣樣本本設(shè)設(shè)有有一一容容量量 1 , 1, 0,)1();( ,)10(,501ppxpppxfXXnxx221111(),()mmmmmm

33、uunn nnnn nn 這是由于這是由于110 1,(, )niiimXXXnn 因因?yàn)闉槿∪≈抵禐闉?222110 1() ,(, )nniiimmSXXXnnn 因因?yàn)闉槿∪≈抵禐闉?將這個(gè)結(jié)果代入置信區(qū)間公式即得參數(shù)將這個(gè)結(jié)果代入置信區(qū)間公式即得參數(shù)p的置信的置信區(qū)間區(qū)間 例例9(p72例例2.32)在實(shí)驗(yàn)的在實(shí)驗(yàn)的1000個(gè)電子元件中，共個(gè)電子元件中，共100個(gè)失效，試以個(gè)失效，試以99%的概率估計(jì)整批產(chǎn)品的實(shí)效率的概率估計(jì)整批產(chǎn)品的實(shí)效率.解解由題意可知，每個(gè)元件服從兩點(diǎn)分布由題意可知，每個(gè)元件服從兩點(diǎn)分布B(1,p),其中，其中，n=1000,m=100,1-=0.95,因此實(shí)效

34、率因此實(shí)效率p的置信的置信區(qū)間為區(qū)間為2211110 0914 0 1186(),()( ., .)mmmmmmuunn nnnn nn 例例10(p72例例2.33)設(shè)總體設(shè)總體X的分布密度的分布密度為為10000, ()( ), ,xexf xx 12(,)TnXXXX為為總總體體 的的樣樣本本，求求參參數(shù)數(shù) 的的置置信信度度為為1 1- - 的的置置信信區(qū)區(qū)間間. .解解此分布為指數(shù)分布，容易證明此分布為指數(shù)分布，容易證明:11.niiXXn 的的最最小小方方差差無無偏偏估估計(jì)計(jì)為為1111 ( ,),( ,).niiiXnXXn 由由于于因因而而 但是，伽瑪分布的上側(cè)分位數(shù)很難找，因此

35、需求但是，伽瑪分布的上側(cè)分位數(shù)很難找，因此需求做一定的變換才可以，不難證明做一定的變換才可以，不難證明:222 (nXYn 利利用用隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的密密度度函函數(shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算公公式式可可以以得得到到）服服從從自自由由度度為為的的分分布布，即即22()Yn那么有那么有221222221()()nXPnn 因因而而， 的的置置信信度度為為1 1- - 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為221222222(,()()nXnXnn 例例11(p73例例2.34)設(shè)總體設(shè)總體X服從服從(0,)上的均勻分布，上的均勻分布，12( )( )(,)(,)TnnnXXXXaXbX為為總總體體 的的樣樣本本，求求

36、參參數(shù)數(shù) 型型如如的的置置信信度度為為1-1- 的的平平均均區(qū)區(qū)間間長長度度最最短短的的置置信信區(qū)區(qū)間間. .解解( )( )(),.nnLE bXaXa bL 設(shè)設(shè)求求使使得得 最最小小又由于又由于1( )( )nnP aXbX 1,ba 所所以以選選取取這這樣樣就就有有111( )( )( )nnnXP aXbXPba 同時(shí)我們知道同時(shí)我們知道100(), ( ), nnnXnxxfx 其其他他1010()(), ( )()|() |, nnnXXnyyfyfyy 其其他他11111111( )( )( ) dnnnnannbXP aXbXPbanyyab 1( )() ()()nnLba

37、 E Xban 同同時(shí)時(shí)又又因因?yàn)闉槟悄敲疵?11,min()a bnnbaab 11,.nab 其其解解為為( )( )(,)nnaXbX則則參參數(shù)數(shù) 型型如如的的置置信信度度為為1 1- - 的的平平均均區(qū)區(qū)間間長長度度最最短短的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為( )( )(,)nnnXX區(qū)區(qū)間間的的平平均均長長度度為為1101()nnnLn 由此可見：由此可見：越小，準(zhǔn)確度越高，越小，準(zhǔn)確度越高，n越大，準(zhǔn)確度越大，準(zhǔn)確度越越大。大。再再 見見附表附表2-12-1規(guī)范正態(tài)分布表規(guī)范正態(tài)分布表z01234567890.01.01

38、.0000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92

39、220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91

40、150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89

41、970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表附表2-2規(guī)范正態(tài)分布表規(guī)范正態(tài)分布表z0123456781.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.9987

42、0.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.9793

43、0.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.9949

44、0.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表附表3-13-1 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070

45、.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2

46、.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n

47、t分布表分布表2.1315附表附表3-2 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321

48、.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.

49、8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表2.2021附表附表4-24-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714

50、.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715

51、.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n2 分布表分布表6.262附表附表4-14-1=50.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.84

52、15.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表27.488附表附表5-1 123456789101520243040601201234567891011