高等數(shù)學(xué)：3-2洛必達(dá)法則

1、1小結(jié)小結(jié)型未定式型未定式 ,0型未定式型未定式00,1 ,0 第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則洛必達(dá)洛必達(dá) ( ) 法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家(1661-1705)型型未未定定式式型型 ,00HospitalL,2,)(時時或或如果當(dāng)如果當(dāng) xax其極限都不能直接利用極限運算其極限都不能直接利用極限運算在第一章中看到在第一章中看到,無窮大之商無窮大之商,法則來求法則來求.稱為稱為)()(lim)(xFxfxax 那末極限那末極限定義定義00 型未定式型未定式.或或如如, ,xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnlim0)00()( 意味著關(guān)于它的極限不能確定出一般的意味著關(guān)于它的極限

2、不能確定出一般的 未定未定 不能確定不能確定.而并不是在確定的情況下關(guān)于它的極限而并不是在確定的情況下關(guān)于它的極限結(jié)論結(jié)論,兩個無窮小之商或兩個兩個無窮小之商或兩個洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則兩個函數(shù)兩個函數(shù) f (x)與與F(x)都趨于零或趨于無窮大都趨于零或趨于無窮大,3 這一節(jié)介紹一個求未定式極限的有效方法這一節(jié)介紹一個求未定式極限的有效方法, 此方法的關(guān)鍵是將此方法的關(guān)鍵是將)()(lim)(xFxfxax 的計算問題轉(zhuǎn)化為的計算問題轉(zhuǎn)化為)()(lim)(xFxfxax 的計算的計算. 其基本思想是由微積分著名其基本思想是由微積分著名先驅(qū)先驅(qū), 從而產(chǎn)生了簡從而產(chǎn)生了簡洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則.

3、 .后人對他的思想作了推廣后人對他的思想作了推廣,提出的提出的,17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)洛必達(dá) ( )便而重要的便而重要的洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則HospitalL,4滿足條件滿足條件及及設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()(xFxf定理定理型型未未定定式式型型一一、 ,00);()()(lim)3( 或或AxFxfax,)(),()2(的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)在點在點axFxf),(0)(lim) 1 (或或xfax);(0)(lim或或xFax; 0)( xF且且 )()(limxFxfax則則).()()(lim 或或AxFxfax洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則5證證,)(),(連續(xù)連續(xù)在點在

4、點若若axFxf. 0)()( aFaf, 0)(lim)1( xfax; 0)(lim xFax則由條件則由條件(1),必有必有,)(),(不連續(xù)不連續(xù)在點在點若若axFxf, 0)(lim xFax. 0)()( aFaf.)(),(點點連連續(xù)續(xù)在在使使axxFxf , 0)(lim xfax由于由于可補充定義可補充定義,x任任取取點點).(axaxa 不不妨妨設(shè)設(shè) 滿滿足足)(),(xFxf. 0)(,),()2 xFxa且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則;,)1上連續(xù)上連續(xù)在在xa6 )()(xFxf)()( Ff )(之間之間與與在在ax ,時時當(dāng)當(dāng)ax AxFxfax )()

5、(lim)3( )()(limxFxfax 柯西定理柯西定理使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在點點在在,),( xa )()(limxFxfax)()(xFxf, a )()(lim Ffa .A)(aF )(af 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則#7注注 00)()(lim)1(xFxfax(多次用法則多次用法則).,)2(xxxaxax 00)()(limxFxfax.法法則則成成立立 00)()(limxFxfax再求極限來確定未定式的值的方法稱為再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)洛必達(dá)法則法則. .這種在一定條件下這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)通過分子分母分別求導(dǎo)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則#8例例解解

6、.2coslim2 xxx求求)2()(coslim2 xxx原式原式1sinlim2xx . 1 例例解解.1coslim30 xxxx 求求203121sinlimxxxx 原式原式)00()00(2sin . 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則9例例解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00(例例解解.1sinarctan2limxxx 求求xxxx1cos111lim22 原式原式)00(1 10例例解解2lnlim.lnxxxxx 求求1ln1lim12xxxx 原原式式121lim12xxx 0. () 例例解解lnl

7、imlim(Z).nnxxxxxnxe 求求和和() 略略.11用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的事項用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的事項,00)1(才可能用法則才可能用法則的未定式的未定式或或只有只有 ,00 或或只要是只要是則可一直用下去則可一直用下去;(3) 每用完一次法則每用完一次法則,要將式子整理化簡要將式子整理化簡;(4) 為簡化運算經(jīng)常將法則與等價無窮小及極限為簡化運算經(jīng)常將法則與等價無窮小及極限的其它性質(zhì)結(jié)合使用的其它性質(zhì)結(jié)合使用.(2) 在用法則之前在用法則之前,式子是否能先化簡式子是否能先化簡;洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則12例例.)(arcsin1sinlim20 xxexx 求求)00(解解)0(arc

8、sinxxx201sinlimxxexx 原式原式xxexx2coslim0 )00()00(2sinlim0 xexx .21 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則13例例解解.3tantanlim2xxx 求求xxxxx3sincos3cossinlim2 原式原式xxxsin3sin3lim2 . 3 )( )00( xxxcos3coslim2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則14例例解解.tantanlim22220 xxxxx 求求4220tanlimxxxx 原式原式300tanlimtanlimxxxxxxxx 220031seclim)tan1(limxxxxxx 2203tanlim2xxx .32

9、15例例解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效洛必達(dá)法則失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件.注注用法則求極限有兩方面的局限性用法則求極限有兩方面的局限性 當(dāng)導(dǎo)數(shù)比的極限不存在時當(dāng)導(dǎo)數(shù)比的極限不存在時,不能斷定函數(shù)不能斷定函數(shù)比的極限不存在比的極限不存在,其一其一,這時不能使用洛必達(dá)法則這時不能使用洛必達(dá)法則.)( 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則16可能永遠(yuǎn)得不到結(jié)果可能永遠(yuǎn)得不到結(jié)果! 分子，分母有單項無理式時分子，分母有單項無理式時,不能簡化不能簡化.如如xxx21

10、lim 1122lim2xxx )( 21limxxx 211limxxx )( xxx21lim 其實其實: . 11lim2 xxx其二其二用法則求極限有兩方面的局限性用法則求極限有兩方面的局限性洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則17型未定式型未定式二、二、 ,0例例解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . ,00. 型型 0. 1步驟步驟: 0010 2limxexx 原式原式)( )( 關(guān)鍵關(guān)鍵 1或或 000 將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型解決的類型洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則18例例).arctan2(limxxx 求求)0(

11、解解xxx1arctan2lim 原式原式)00(22111limxxx 221limxxx 1 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則19例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:)00()00(xxxxxxsincoscossinlim0 0101 00洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則20步驟步驟: 0例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 原式原式e e 0e . 1 e 00 1 00 0exxlnxxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0ln0 e1ln e

12、ln0e)0( )( 0limx00,1 ,0 三、三、型未定式型未定式洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則21例例解解.)cossin2(lim10 xxxx 求求)1( yxxxyxxyxxlnlim)cossin2ln(1ln)cossin2(01 取對數(shù)得，取對數(shù)得，令令2cossin2sincos2lim)cossin2ln(lim00 xxxxxxxxx.)cossin2(lim210exxxx 22例例解解)(cotlim0 xx 求求)(0 xxxx1sin1cot1lim20 .1 exln1 原原式式 0limxxxxln)ln(cotlim0 e )( e )ln(cotln1xx ex

13、xln)ln(cote注注或?qū)懗苫驅(qū)懗?lncotlnexp xx其中其中expx是指數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)xe的一種表示方式的一種表示方式.exponent洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則#23例例解解nnne2lim 求求數(shù)列的極限數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的未定式的極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的未定式的極限!由于由于xxe2lim )0( xxex2lim )( xxe221lim 0 n又又是是x中的一種中的一種特殊情況特殊情況,所以有所以有nnne2lim 0 不能用洛必達(dá)法則不能用洛必達(dá)法則x洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則#24四、小結(jié)四、小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 25 (1) 存在極限為存在極限為非零的因子非零的因子,可根據(jù)積的極限運可根據(jù)積的極限運算法則先求出其極限算法則先求出其極限.洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 (2) 凡乘積或商的凡乘積或商的非零無窮小因式非零無窮小因式, 可先用簡單可先用簡單形式的等