《計算方法》實驗大綱2014

1、計算方法實驗大綱數(shù)學與統(tǒng)計學學院信息與計算科學教研室2014修訂 內(nèi)容提要本書內(nèi)容包括：一元非線性方程的解法、線性代數(shù)方程組的直接解法、線性方程組的迭代解法、插值法和曲線擬合等主要方法簡介，給出了上機實驗的目的、內(nèi)容，并設(shè)計了一些實驗習題，最后給出了幾個綜合型案例供有興趣的學生進一步研究選用。前 言隨著計算機的廣泛應(yīng)用和迅猛發(fā)展，在各門自然科學和工程、技術(shù)科學的發(fā)展中，“數(shù)值計算”已經(jīng)成為平行于理論分析和科學實驗的第三種科學手段?，F(xiàn)在，不管是在高科技領(lǐng)域還是在一些傳統(tǒng)領(lǐng)域，數(shù)值計算都是一個不可或缺的環(huán)節(jié)。而計算方法介紹了一些基礎(chǔ)性和應(yīng)用較廣的數(shù)值計算方法，使學生對計算數(shù)學的特點和計算

2、機如何解題有一個初步的了解；同時，本課程又是一門實踐性較強的課程，必須通過實驗課使學生對于算法如何在計算機上實現(xiàn)有一個感性的認識，要求學生運用matlab語言結(jié)合上機實踐，掌握編寫數(shù)值計算程序的基本方法，通過做一些實驗性練習，強化已經(jīng)學到的知識，逐步完成從學到用的過程。適用專業(yè)：信息與計算科學專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學專業(yè)四年制本科生。實驗要求：1用matlab語言或你熟悉的其他算法語言遍程序，使之盡量具有通用性。2上機前充分準備，復(fù)習有關(guān)算法，寫出并反復(fù)查對程序，列出上機步驟。3根據(jù)老師要求選做實驗習題。4完成計算后根據(jù)要求寫出計算實驗報告，內(nèi)容包括：實驗?zāi)康?，實驗?nèi)容，算法步驟描述，變量說明，程序清單

3、，輸出計算結(jié)果，結(jié)果分析、小結(jié)及心得體會、備注等。大綱說明1課程名稱：即 計算方法2課程類型：專業(yè)課3適用專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學、信息與計算科學4課程學時與學分：8 學時數(shù)值計算的應(yīng)用范圍已十分廣泛，作為用計算機解決實際問題的基礎(chǔ)、橋梁和紐帶，是架設(shè)在數(shù)學與計算機之間的一條通道。本大綱是計算方法的配套上機實驗，旨在引導(dǎo)學生使用計算機開展數(shù)值試驗，掌握數(shù)值算法和程序設(shè)計的基本原理和技能。學生通過選擇算法，編寫程序，分析數(shù)值結(jié)果，寫數(shù)值實驗報告，課堂討論等環(huán)節(jié)的綜合訓(xùn)練，從而逐步掌握數(shù)值試驗的方法和技巧，獲得多方面的計算經(jīng)驗。通過實驗，加深學生對一些重要算法的理解，提高學生的編程能力與解決實際問題的能力，

4、培養(yǎng)學生應(yīng)用計算方法解決工工程計算的能力，以期達到初步的科學計算和研究的目的。實驗內(nèi)容實驗一 計算機算術(shù)的若干問題實驗?zāi)康模?更深刻地理解計算機中的數(shù)的基本運算，體會誤差對算法的計算結(jié)果的影響2體會算法的穩(wěn)定性在選擇算法中的地位實驗內(nèi)容：一、考慮matlab程序format longx=4/3-1y=3*xz=1-y如果是精確計算z應(yīng)當是多少？實際的計算輸出是？-請思考！eps,realmin,realmax是多少？二、解釋下面Matlab程序的輸出結(jié)果t=0.1n=1:10e=n/10-n*te的精確值應(yīng)當是多少？實際的計算輸出是？-請思考！三、考慮matlab程序x=0.988:0.000

5、1:1.012;y=x.7-7*x.6+21*x.5-35*x.4+35*x.3-21*x.2+7*x-1;plot(x,y)畫出的是什么？與你想像中的曲線一樣嗎？所看到的現(xiàn)象是什么在起作用？-請思考！四、解釋下面Matlab程序的輸出結(jié)果t=0.1n=1:10e=n/10-n*te的精確值應(yīng)當是多少？實際的計算輸出是？-請思考！五、已知這些恒等式在計算機中還恒等嗎？Matlab中運行：a=sym('sqrt(2)')a1=(a-1)6,(3-2*a)3,99-70*a;1/(1+a)6,1/(3+2*a)3,1/(99+70*a)vpa(a1,10)六、（課外練習）浮點數(shù)的加

6、法利用matlab中的rand(1,n)分別生成（0，1）區(qū)間上兩組各為n個的隨機數(shù)，分別存放于一維數(shù)組A和B中，記A= B=考慮如下兩個和： 其中>>1，顯然理論上，請通過計算看結(jié)論如何，兩者是否有優(yōu)劣？ 理論上S3=S4,計算結(jié)果又如何？實驗要求：取n充分大（如104），mk與n同樣量級，多次上述實驗并記錄實驗結(jié)果，實驗的結(jié)論是什么？七、算法的穩(wěn)定性考慮積分序列，得 （1）又 （2）算法一：由（1）得 （以前數(shù)學分析中的遞推公式）算法二：由（1）變形，結(jié)合（2）得到實驗要求：分別用算法一、算法二計算，請判斷哪種算法能給出更精確的結(jié)果。實驗二 非線性方程求根實驗一、方程求根方法回

7、顧(一)二分法 (二） 簡單迭代法(三）牛頓法(四）弦截法二、實驗?zāi)康牧私獾?、不動點的基本概念。了解牛頓迭代法的基本概念，了解牛頓迭代法的收斂性和收斂速度。了解邏輯斯諦迭代中的分叉和混沌現(xiàn)象。三、實驗方法與步驟：（一）利用迭代法求解方程：x3-x-1=0先畫出函數(shù)f(x)= x3-x-1的圖形，觀察函數(shù)的圖形可以看出，在區(qū)間1，2方程有唯一正根。迭代格式1：方程變形為先用for語句，初值設(shè)為1.5clearx=1.5;for i=1:10 x=(x+1)(1/3)end可得迭代數(shù)列的前10項，可見此迭代格式是收斂的，方程的根約為1.3247。進一步，如果要控制計算誤差，如要使得計算誤差小于1

8、0-5，可用while語句:n=0;e=1.0e-5;x=1.5;while abs(x-(x+1)(1/3)>e x=(x+1)(1/3); n=n+1;endx,n迭代格式2：方程變形為迭代格式3：方程變形為以上三種迭代格式收斂嗎？迭代格式是否收斂的關(guān)鍵是什么？（二）計算平方根的迭代算法根是，構(gòu)造不動點方程，來計算1做迭代函數(shù)的圖形：clear;x=1.2:0.01:2;y1=x;y2=0.5*(x+2./x);plot(x,y1,x,y2)2分析迭代的收斂性。3觀察迭代的收斂過程（用while語句，取迭代精度為10-10，初值為2），迭代了幾次？一般，利用，(其中 a>0，

9、x0>0)來計算。4使用迭代格式計算，并比較迭代結(jié)果。（三）用牛頓法求解方程在x=0.5附近的近似根，誤差不超過10-3。（四）分叉與混沌邏輯斯諦方程可寫為標準形式：對于不同的r，觀察數(shù)列的收斂情況：(1) 對于r=0.6,x0=0.3，n=30相應(yīng)的matlab代碼為：function x=luo(x0,r,n)x=zeros(1,30);x(1)=x0;for i=2:30x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1);endplot(x,k-o)迭代收斂于多少？(2) 對于r=2.8,x0=0.3，n=30，從圖中可知，迭代數(shù)列上下震蕩，收斂于不動點(3) 對于r=3.2,x0=0

10、.3，n=40，迭代數(shù)列有什么特點？-2-循環(huán)(4) 對于r=3.46,x0=0.3，n=40呢？(5) 對于r=3.55,x0=0.3，n=100呢？(6) 對于r=3.80,x0=0.3，n=100呢？注意，當參數(shù)r的值變化時，從收斂到唯一不動點到2-循環(huán)，再從2-循環(huán)到4-循環(huán),8-循環(huán)，這樣的分裂行為成為分叉（bifurcation），對于r=3.80,x0=0.3，迭代數(shù)列不再呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性，也不具有任何可預(yù)測的模式，迭代數(shù)列在（0，1）內(nèi)跳來跳去，而且表現(xiàn)出對初始條件非常敏感的依賴性，稱這種狀態(tài)為混沌（chaos）。實驗三 線性方程組數(shù)值解法實驗一、主要算法回顧（一）高斯順序消去

11、法（二）高斯列主元消去法（三）三對角方程組的追趕法。（四）系數(shù)矩陣為對稱正定陣的平方根法。（五）雅可比迭代法(簡單迭代法)（六）高斯¾¾賽德爾迭代法（七）超松弛迭代法二、實驗?zāi)康模阂髮W生掌握求線性方程組求解的高斯順序消去法、矩陣分解法、列主元法等，掌握線性方程組的迭代解法，對迭代法的收斂性作初步分析能用matlab語言編制程序，上機調(diào)試,進行數(shù)值實驗,通過實驗理解問題的病態(tài)與良態(tài)以及對算法的比較三、實驗內(nèi)容：（一）編寫doolittle分解法程序并用書上的例題P79例3.7，進行數(shù)值實驗。（二) 上機習題：給定方程組：（I） 方程組(II)是:將（I）中系數(shù)矩陣中3.01

12、該為3.00,0.987該為0.990,其他元素不變,或者自己改變原始數(shù)據(jù),進行實驗.要求：（1）用doolittle分解和列主元消去法分別求解上述方程組。（2）輸出中的矩陣A及向量B，分解的L及U，解向量X。（3）輸出列主元法行交換次序及解向量，并比較方程組（1）與（2）的結(jié)果。（三）編寫Jacobi迭代法和G-S迭代法的程序，并利用 P92中的例3.11做數(shù)值實驗。（四）考慮方程組，其中H為Hilbert矩陣， ( Matlab中H=hilb(n) )適當選擇方程組的維數(shù)，并通過首先給定解再求出右端的辦法確定方程組，再用列主元消去法求解，其結(jié)果如何？計算的結(jié)果說明了什么？分別構(gòu)造求解該問題

13、的Jacobi迭代法和G-S迭代法，看它們是否收斂。（五）利用編寫的Jacobi迭代法和G-S迭代法的程序，計算P109習題10和11題，并理論分析Jacobi迭代法和G-S迭代法的計算結(jié)果。四、完成計算后寫出計算實驗報告（包括實驗?zāi)康?、實驗?nèi)容、程序清單、結(jié)果分析、心得體會）。實驗四 插值實驗一、主要內(nèi)容回顧：（一）函數(shù)插值（二） 拉格朗日多項式（三） 均差與牛頓插值多項式（四） 分段線性插值（五） 三次樣條插值函數(shù) 二、實驗?zāi)康募耙饬x 1. 了解插值的基本原理 2. 了解拉格朗日插值、線性插值、樣條插值的基本思想； 3. 掌握用MATLAB計算三種插值的方法； 4. 掌握求解實際問題的初步

14、建模過程； 三、實驗內(nèi)容 1編寫拉格朗日插值方法的函數(shù)M文件， 并用 P149例5.1 進行數(shù)值實驗。2觀察龍格現(xiàn)象：P166例5.63采用適當?shù)姆椒ㄇ蠼庀铝袉栴}： （1）火車行駛的路程、速度數(shù)據(jù)如下，計算從靜止開始20 分鐘內(nèi)走過的路程。t(分)2468101214161820v(km/h)10182529322011520（2） 確定地球與金星之間的距離天文學家在1914年8月份的7次觀測中，測得地球與金星之間距離（單位：米），并取其常用對數(shù)值，與日期的一組歷史數(shù)據(jù)如下表：日期（號）18202224262830距離對數(shù)9.96177249.95436459.94680699.9390950

15、9.93122459.92319159.9149925由此推斷何時金星與地球的距離（米）的對數(shù)值為9.9351799？(3)日照時間分布 下表的氣象資料是某一地區(qū)1985-1998年間不同月份的平均日照時間的觀測數(shù)據(jù)（單位：小時/月），試分析日照時間的變化規(guī)律。月份123456789101112日照80.967.267.150.532.033.636.646.852.362.064.171.24畫自己的左手，并在圖中注明你的班級、姓名、畫圖的日期，輸出圖形為bmp格式，以你的姓名保存文件，單獨將此圖提交。運行figureset(gcf,'menubar','none&#

16、39;)axes('position',0 0 1 1)x,y=ginput; %將你的手放在計算機屏幕上，用鼠標取點n=length(x); %插值計算s=(1:n)'t=(1:0.05:n)'u=spline(s,x,t); % 將spline改為interp1再畫一遍圖形，比較效果v=spline(s,y,t);clf resetplot(x,y,'.',u,v,'-')實驗報告格式一個完整的實驗，應(yīng)包括數(shù)據(jù)準備、理論基礎(chǔ)、實驗內(nèi)容及方法，最終對實驗結(jié)果進行分析，以期達到對理論知識的感性認識，進一步加深對相關(guān)算法的理解，數(shù)值

17、實驗以實驗報告形式完成，要求實驗報告格式如下：1）實驗?zāi)康氖紫纫竺恳粋€做實驗者明確，為什么要做某個實驗，實驗?zāi)康氖鞘裁矗鐾暝搶嶒瀾?yīng)達到什么結(jié)果，在實驗過程中的注意事項，實驗方法對結(jié)果的影響也可以以實驗?zāi)康牡男问搅谐觥?）實驗題目實驗者可根據(jù)報告形式需要適當改寫或重述。3）實驗原理與理論基礎(chǔ)數(shù)值實驗本身就是為了加深對基礎(chǔ)理論及方法的理解而設(shè)置的，所以要求將實驗涉及到的理論基礎(chǔ)，算法原理詳盡列出。4）實驗內(nèi)容實驗內(nèi)容主要包括實驗的實施方案、步驟、實驗數(shù)據(jù)準備、實驗的算法流程圖以及可能用到的儀器設(shè)備。5）實驗結(jié)果實驗結(jié)果應(yīng)包括實驗的原始數(shù)據(jù)、中間結(jié)果及實驗的最終結(jié)果，復(fù)雜的結(jié)果可以用表格形式實現(xiàn)

18、，較為簡單的結(jié)果可以與實驗結(jié)果分析合并出現(xiàn)。6）實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果分析是數(shù)值實驗的重要環(huán)節(jié)，只有對實驗結(jié)果認真分析，才能對實驗?zāi)康?、實驗方法進一步理解對實驗的重要性充分認識，明確數(shù)值計算方法的實用范圍及其優(yōu)缺點。每個實驗都應(yīng)在計算機上實現(xiàn)或演示，由實驗者編程實現(xiàn)。選做實驗一、實驗?zāi)康模簳盟鶎W知識解決實際問題二、實驗習題：1 湖水中氯和磷的濃度之間有一定的關(guān)系，下面是一組不同湖水中的測量值。湖泊磷濃度（p）mg/m3氯濃度（c）mg/m314.50.828.02.035.51.2439.011.0519.54.4617.53.8721.05.51) 試建立用磷濃度預(yù)報氯濃度的經(jīng)驗公式。2) 當磷的濃度為15 mg/m3時，氯的濃度是多少？22000年悉尼奧運會上第一次列入女子舉重項目。各級別冠軍的成績?nèi)缦拢杭墑ekg運動員國籍體重kg抓舉kg挺舉kg總成績kg48德拉諾娃保加利亞47.48 82.5102.518553楊霞中國52.4610012522558門丁維爾墨西哥56.9295127.5222.563陳曉敏中國62.82112.5130242.569李偉寧中國66.7411013224275烏魯?shù)賮喐鐐惐葋?3.28110135245>75丁美媛中國103.56135165300試利用這些數(shù)據(jù)組建立模型,描述運動員舉重