【公務員】公務員考前培訓第二章數(shù)學應用

1、夜風非常冷整理第二章  數(shù)學應用一、解答技巧1、學習和掌握新題型2、重點掌握新變化和基本理論知識3、在掌握方程法的基礎上加強思維訓練4、學會使用代入法和排除法5、反復練習，提高做題速度二、基本解題思路1、方程的思路2、代入與排除的思路3、猜證結合的思路三、常見題型和基本理論知識1、數(shù)字計算(1)直接補數(shù)法概念：如果兩個數(shù)的和正好可以湊成整十、        整百、整千，稱這兩個數(shù)互為補數(shù)。例題：計算274+135+326+265解：原式=(274+326)+(135+265)    &

2、#160;   =600+400=1000(2)間接補數(shù)法例題：計算1986+2381解：原式=2000-14+2381            =2000+2381-14            =6381-14            =6367

3、60;           (湊整去補法)(3)相近的若干數(shù)求和例題：計算1997+2002+1999+2003+1991+2005解：把2000作為基準數(shù)，原式=2000x6+(-3+2-1+3-9+5)      =12000-3      =11997(4)乘法運算中的湊整法基本的湊整算式：5x2=10，25x4=100，      

4、;        125x4=500，625x4=2500例題：計算(8.4x2.5+9.7)/(1.05/1.5+8.4/0.28)解：原式=(2.1x4x2.5+9.7)/(0.7+30)            =30.7/30.7            =1練習：計算0.0495x2500+49.5x2

5、.4+51x4.95解：原式     =0.0495x100x25+4.95x10x2.4+51x4.95     =4.95x25+4.95x24+4.95x51     =4.95x(25-24+51)     =4.95x100     =495(5)尾數(shù)計算法概念：當四個答案完全不同時，可以采用為數(shù)計算法選擇出正確答案。例題：99+1919+9999的個位數(shù)是()  &

6、#160;      A.1    B.2    C.3    D.7解析：答案各不相同，所以可采用尾數(shù)法。            9+9+9=27答案：7，選D練習：計算(1.1)2+ (1.2)2+(1.3)2+(1.4)2的值是：A.5.04     B.5.49    

7、C.6.06     D.6.30解析：(1.1)2的尾數(shù)為1，(1.2)2的尾數(shù)為4，(1.3)2的尾數(shù)為9，(1.4)2的尾數(shù)為6，所以最后和的尾數(shù)為1+3+9+6的和的尾數(shù)，即0答案：D(6)自然數(shù)n次方的尾數(shù)變化情況例題：19991998的末位數(shù)字是()解析：9n的尾數(shù)是以2為周期進行變化的，         分別為9，1，9，1，答案：12n的尾數(shù)變化是以4為周期變化的，    分別為2，4，8，63n的尾數(shù)變化是以4為周期變化的，&#

8、160;   分別為3，9，7，17n的尾數(shù)變化是以4為周期變化的，    分別為7，9，3，18n的尾數(shù)變化是以4為周期變化的，    分別為8，4，2，64n的尾數(shù)變化是以2為周期變化的，分別為4，69n的尾數(shù)變化是以2為周期變化的，分別為9，15n、6n尾數(shù)不變練習：19881989+19891988的個位數(shù)是解析：19881989的尾數(shù)是由81989的尾數(shù)確定的，1989/4=497余1，所以81989的尾數(shù)和81的尾數(shù)是相同的，即為8；      

9、;  19891988的尾數(shù)是由91988的尾數(shù)確定的，1988/2=994余0，所以91988的尾數(shù)和92的尾數(shù)是相同的，即為1。答案：8+1=9(7)提取公因式法例題：計算1235x6788-1234x6789解：原式=1235x6788-1234x6788-1234      =6788x(1235-1234)-1234      =6788-1234      =5554練習：計算999999x777778+333333x666

10、666解一：原式=333333x3x777778+333333x666666=333333x(3x777778+666666)=333333x(2333334+666666)=333333x3000000=999999000000解二：原式        =999999x777778+333333x3x222222        =999999x777778+999999x222222      

11、  =999999x(777778+222222)        =999999x1000000        =999999000000解一和解二在公因式的選擇上有所不同，導致計算的簡便程度不相同(8)因式分解例題：計算2002x20032003-2003x20022002解析：20032003=2003x10001；         20022002=2002x1

12、0001原式=2002x2003x10001-        2003x2002x10001(9)代換的方法例題：計算(1+0.23+0.34)x(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)x(0.23+0.34)解：設A=0.23+0.34，         B=0.23+0.34+0.65原式=(1+A)xB-(1+B)xA=B-A=0.65練習：已知X=1/49，Y=1/7，計算7X-3(2Y2/3+X/5)-(Y

13、2+2X/5)+2Y2解：根據(jù)已知條件X=1/49，Y=1/7，      可進行X=Y2的代換原式=7X-3(2X/3+X/5)-(X+2X/5)+2X      =7X-2X-3X/5-X-2X/5+2X      =5X      =5/49(10)利用公式法計算例題：計算782+222+2x78x22解：核心公式：      完全平方公式(

14、a+b)2=a2+2ab+b2      原式=(78+22)2                  =10000其它核心公式：平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)立方和公式：a3+b3=a2-ab+b2立方差公式：a3-b3=a2+ab+b2完全立方公式：      (a±b)3=a3±3a2b+3a

15、b2±b32、比較大小(1)作差法：對任意兩數(shù)a、b，如果a-b0則ab；如果a-b0則ab；如果a-b=0則a=b。(2)作比法：當a、b為任意兩正數(shù)時，如果a/b1則ab；如果a/b1則ab；如果a/b=1則a=b。當a、b為任意兩負數(shù)時，如果a/b1則ab；如果a/b1則ab；如果a/b=1則a=b。 (3)中間值法：對任意兩數(shù)a、b，當很難直接用作差法和作比法比較大小時，通常選取中間值c，如果ac而cb，則ab。例題：分數(shù)             

16、  中最大的一個是解析：取中間值  和原式的各個分數(shù)         進行比較，可以發(fā)現(xiàn)         除了    比  大，其余分數(shù)都比  小答案：    最大3、比例問題(1)和誰比(2)增加或減少多少(3)運用方程法或代入法例題：b比增加了20%，則b是a的多少？     

17、0;   a又是b的多少？解析：列方程a(1+20%)=b，         所以b是a的1.2倍                     ，         所以a是b的練習：魚塘里養(yǎng)了一批魚，第一次捕上來 

18、        200條，做好標記后放回魚塘，數(shù)日         后再捕上100條，發(fā)現(xiàn)有標記的魚有         5條，問魚塘里大約有多少條魚？解析：方程法，設魚塘里有x條魚，        100/5=x/200，x=4000答案：魚塘里大約有4000條魚。4、工程問題(1)關鍵概念：工作量

19、、工作效率、工作效率的單位(2)關鍵關系式：工作量=工作效率x工作時間總工作量=各分工作量之和例題：一項工作，甲單獨做10天完成，乙單         獨做15天完成，問兩人合作3天完成         工作的幾分之幾？解析：設工作量為1，甲的工作效率為1/10，         乙的工作效率為1/15，兩人一天完成   

20、60;     工作量為1/10+1/15=1/6，3天完         成工作量為1/6x3答案：1/2練習：鋪設一條自來水管道，甲隊單獨鋪設         8天可以完成，乙隊每天可鋪設50米。         如果甲乙兩隊同時鋪設，4天可以完成     

21、0;   全長的2/3，這條管道全長是多少米？解析：設乙需要X天完成這項工程，         由題意可得             ，解得X=24         又乙隊每天可鋪設50米，         所以50x24

22、=1200米答案：這條管道全長是1200米5、行程問題(1)相遇問題   甲從A地到B地，乙從B地到A地，兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A、B之間這段路程，如果兩人同時出發(fā)，那么   A、B之間的路程=甲走的路程+乙走的路程                  =（甲的速度+乙的速度）x相遇時間       &#

23、160;          =速度和x相遇時間   相遇問題的核心是“速度和”問題。例題：兩列對開的列車相遇，第一列車的車速為10米秒，第二列車的車速為 12.5米秒，第二列車上的旅客發(fā)現(xiàn)第一列車在旁邊開過時共用了6秒，則第一列車的長 度為多少米?  解析：兩列火車的速度和為10+12.5=22.5米秒，兩列火車這樣的速度共同行駛了6秒，行駛的距離是第一列火車的長度，即22.5x6=135米答案：第一列車的長度為135米。 (2)追及問題 

24、60;      兩人同時行走，甲走得快，乙走得慢，當乙在前，甲過一段時間能追上乙，這就產(chǎn)生了“追及問題”。實質上，要計算甲在某一段時間內比乙多走的路程。   追及路程=甲走的路程-乙走的路程              =（甲的速度-乙的速度）x追及時間            &

25、#160; =速度差x追及時間   追及問題的核心是“速度差”問題。例題：甲乙兩船同時從兩個碼頭出發(fā)，方向相同，乙船在前面，每小時行24千米，甲船在后，每小時行28千米，4小時后甲船追上乙船，求兩個碼頭相距多少千米？解析：甲對乙的追及速度差=28-24=4千米/時，追及時間為4小時，則追及的距離為4x4=16千米，即兩碼頭之間的距離答案：兩個碼頭相距16千米。(3)流水問題        船順水航行時，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進，同時整個水面又按水的流動速度在前進，因此船順水航行的實際速度（

26、簡稱順水速度）就等于船速與水速的和，即：        順水速度=船速+水速        同理：逆水速度=船速-水速        可推知：船速=（順水速度+逆水速度）/2；                  

27、; 水速=（順水速度-逆水速度）/2例題：小王從甲地到乙地，以為有風，去時用了2小時，回來用了3小時。已知甲乙兩地的距離是60公里，求風速是多少？解析：設風速為X，小王的速度為Y，         根據(jù)題意得X+Y=30，Y-X=20。         則X=5，Y=25答案：風速是5公里/時。6、方陣問題核心公式：(1)方陣總人數(shù)=最外層每邊人數(shù)的平方       

28、             （方陣問題的核心）(2)方陣最外層每邊人數(shù)=方陣最外層總人數(shù)/4+1(3)方陣外層比內層一行、一列的總人數(shù)多2(4)一行、一列的總人數(shù)=每邊人數(shù)x2-1例題：小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣 ，則小紅所有五分硬幣的總價值是多少元？解析：設圍成一個正方形時，每邊有硬幣X枚，    此時硬幣總數(shù)為4(X-

29、1)，當變成三角形時，    硬幣總數(shù)為3(X+5-1)，由此可得4(X-1)=    3(X+5-1)，解得X=16，硬幣總數(shù)為60枚答案：小紅所有五分硬幣的總價值是3元。7、和、差倍問題已知不同大小兩個數(shù)的和（或差）與它們的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)的值。    （和+差）/2=較大數(shù)；    （和-差）/2=較小數(shù)；     較大數(shù)-差=較小數(shù)。例題：甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和為549，如果甲加上2，乙減去2，丙乘以2，丁除以2以后，4個

30、數(shù)相等，求這4個數(shù)各是多少？解析：設相等的數(shù)為x，    則甲=x-2，乙=x+2，丙=2x，丁=x/2，    由題意可得x-2+x+2+2x+x/2=549，x=122答案：甲、乙、丙、丁這4個數(shù)分別是        120、124、244、61。8、年齡問題一般方法：      幾年后年齡=大小年齡差/倍數(shù)差-小年齡      幾年前年齡=小年齡-大小年齡差/倍

31、數(shù)差年齡問題的核心是大小年齡差是各不變的量，而年齡的倍數(shù)卻年年不同。例題：甲對乙說：當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時，你才4歲。乙對甲說：當我的歲數(shù)到你現(xiàn)在歲數(shù)時，你將有67歲。甲乙現(xiàn)在各有：         A.45歲，26歲    B.46歲，25歲         C.47歲，24歲    D.48歲，23歲解析：設甲的年齡為X，乙的年齡為Y，   

32、     由題意可得Y-(X-Y)=4，X+(X-Y)=67        解得X=46，Y=25        此題應直接用代入法答案：B9、利潤問題核心公式(1)利潤=銷售價（賣出價）-成本(3)銷售價=成本x（1+利潤率）例題：某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，每件都以135元出售，若按成本計算，其中一件盈利25，另一件虧本25，   則他在這次買賣中  A不賠不賺

33、0; B賺9元  C賠18元 D賺18元解析：根據(jù)利潤問題的核心公式，            第一件上衣成本             第二件上衣的成本               （虧損即利潤率為負），由此可得總成本為2

34、88元，而總銷售額為270元，所以賠了18元答案：C10、面積問題(1)基本公式三角形的面積長方形面積S=axb正方形面積S=a2梯形面積圓的面積(2)基本性質等底等高的兩個三角形面積相同等底的兩個三角形面積之比等于高之比等高的兩個三角形面積之比等于底之比(3)核心問題        解決面積問題的核心是“割、補”思  維，通過引入新的輔助線將圖形分割或者補全，得到規(guī)則的圖形，從而快速求  得面積，即“輔助線法”。 例題：求下面空白部分的面積是正方形面積的幾分之幾？解析：將陰影部分面積“切割平移添補”，從

35、而變成正方形的1/2答案：空白部分的面積是正方形面積的1/211、周長問題(1)基本公式長方形的周長C=2(a+b)正方形的周長C=4a圓的周長C=2 r= d(2)核心問題      掌握轉化的思考方法，把某個圖形轉變成標準的長方形、正方形、圓形或其他規(guī)則圖形，以便計算它們的周長。例題：如圖所示，以大圓的一條直徑上的七個點為圓心，畫出七個緊密相連的小圓。請問，大圓的周長與大圓內部七個小圓的周長之和相比較，結果是：  A大圓的周長大于小圓的周長之和  B小圓的周長之和大于大圓的周長  C一樣長  D無法判

36、斷解析：設小圓的直徑從上到下依次為      d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7      則小圓的周長分別為c1= d1，c2= d2，c7= d7      c1+c2+c7= (d1+d2+d7)= D（大圓直徑）      =C（大圓周長）答案：C12、體積問題基本公式長方形的體積V=abc正方形的體積V=a3圓柱的體積V=sh= r2h，s為圓柱底面積圓錐的體積 

37、0;        s為圓錐底面積例題：一個邊長為8的正立方體，由若干個邊長為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體表面涂漆，請問一共有多少個小立方體被涂上了顏色? 解析：要求多少小立方體被染了色，只要求有多少沒有被染色即可。正方體的總個數(shù)為正方體的體積即512，而沒有被染色的體積（小立方體個數(shù)）為216，所以為染色的小立方體個數(shù)為512-216=296答案：一共有296個小立方體被涂上了顏色。13、數(shù)列問題核心公式(1)等差數(shù)列通項公式：(2)等差數(shù)列求和公式：(3)等差數(shù)列中項公式：當n為奇數(shù)時，等差中項為1項即：

38、當n為偶數(shù)時，等差中項為2項即：  和   ，而(4)等比數(shù)列通項公式：an=a1qn-1=amqn-m例題：如果某一年的7月份有5個星期四，   它們的日期之和為80，那這個月的3日   是星期幾？解析：設這5天分別為a1、a2、a3、a4、a5，   顯然這是一個公差為7的等差數(shù)列，等差   中項         ，所以a2=2，   即第一個星期四為2號答案：這個月的3日是星期五。

39、14、最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)(1)最小公倍數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。上一頁  1 2 3  下一頁公倍數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)，稱為這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。(2) 最大公約數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最達的一個公約數(shù)，稱為這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 例題：甲每5天進城一次，乙每9天進城一次，丙每12天進城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要多

40、少天？解析：求5、9、12的最小公倍數(shù)，5x9x12=180答案：下次相遇至少要180天。15、容斥原理（難點，作圖求解）核心公式(1)兩個集合的容斥關系公式：(2)三個集合的容斥關系公式：例題：某大學某班學生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少？解析：設A=第一次考試中及格的人數(shù)(26)，           B=第二次考試中及格的人數(shù)(24)    

41、60; A+B=26+24=50，   則答案：兩次考試都及格的人數(shù)是22人。 16、排列、組合問題(1)乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n個步驟，做第一步有m1種不同方法，做第二步有m2種不同方法做第n步有mn種不同方法，那么完成這件事一共有N=m1xm2xxmn種不同的方法。(2)加法原理：一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法第k類方法中有mk種不同做法，那么完成這件事一共有N=m1+m2+mk種不同的方法。(3)排列問題：從n個不同元素中任取出m個(mn)元素，按照一定的順序排成一列。  排列數(shù)公式

42、pnm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)(4)組合問題：從n個不同元素中任取出m個(mn)元素，組成一個不計組內各元素順序的組合。  組合數(shù)公式Cnm=例題：林輝在自助餐店就餐，他準備挑選三種肉類中的一種肉類，四種蔬菜中的二種不同蔬菜，以及四種點心中的一種點心。若不考慮食物的挑選次序，則他可以有多少不同選擇方法? 解析：挑選三種肉類中的一種有C31種方法，挑選四種蔬菜中的兩種不同蔬菜有C42種方法，挑選四種點心中的一種有C41種方法。   根據(jù)乘法原理，不考慮食物的挑選順次，   C31 C42 C41 =3x6x4=72答案：他可以有72種不同選擇方法。補充練習  1、若干學生住若干房間，如果每間住4人，則有20人沒地方住，如果每間住8人，則有一間只有4人住，問共有多少學生?  A30人  B34人  C40人  D44人  使用代入法  答案：D2、三角形的內角和為180°，問六邊形的內角和是多少度?    A720°