高數(shù)洛必達法則-課件PPT

1、2021/8/261三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第二節(jié)第二節(jié)洛必達法則洛必達法則 2021/8/262)()(limxgxf微分中值定理微分中值定理函數(shù)的性態(tài)函數(shù)的性態(tài)導數(shù)的性態(tài)導數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限函數(shù)之商的極限導數(shù)之商的極限導數(shù)之商的極限 轉化轉化00( 或或 型型)()(limxgxf本節(jié)研究本節(jié)研究:2021/8/263一、一、0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在存在 (或為或為 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2內可導在與aUxFxf0)( xF且

2、定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必達法則洛必達法則) 【定義】【定義】這種在一定條件下通過分子分母分別求導這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. .2021/8/264( 在在 x , a 之間之間)證證: 無妨假設無妨假設, 0)()(aFaf在指出的鄰域內任取在指出的鄰域內任取,ax 則則)(, )(xFxf在以在以 x, a 為端點的區(qū)間上滿足柯為端點的區(qū)間上滿足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfa

3、x)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理條件定理條件: 西定理條件西定理條件,)()(lim)3xFxfax存在存在 (或為或為 ),)()()()2內可導在與aUxFxf0)( xF且2021/8/265推論推論1. 定理定理 1 中中ax 換為下列過程之一換為下列過程之一:, ax,ax,xx推論推論 2. 若若)()(limxFxf滿足定且型仍屬)(, )(,00 xFxf理理1條件條件, 則則)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 條件條件 2) 作相應的修改作相應的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x)()(lim)()(lim

4、xFxfxFxfaxax洛必達法則洛必達法則2021/8/266例例1. 求求.123lim2331xxxxxx解解: 原式原式型0023注意注意: 不是未定式不能用洛必達法則不是未定式不能用洛必達法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛2021/8/267例例2. 求求.arctanlim12xxx解解: 原式原式 xlim型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考: 如何求如何求 nnn12arctanlim( n 為正整數(shù)為正整數(shù)) ?型洛洛2021/8/268二、二、型未定式型未定式)(lim)(

5、lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在存在 (或為或為)()(limxFxfax定理定理 2.)()(limxFxfax(洛必達法則洛必達法則),)()()()2內可導在與aUxFxf0)( xF且2021/8/2691)0)()(limxFxfax的情形的情形)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf limax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax

6、從而從而型00證證: 僅就極限僅就極限)()(limxFxfax存在的情形加以證明存在的情形加以證明 .2021/8/26102)0)()(limxFxfax的情形的情形. 取常數(shù)取常數(shù),0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用可用 1) 中結論中結論3)()(limxFxfax時時, 結論仍然成立結論仍然成立. ( 證明略證明略 )2021/8/2611說明說明: 定理中定理中ax 換為換為之一之一,

7、條件條件 2) 作相應的修改作相應的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立., ax, ax,xx,x2021/8/2612例例3. 求求. )0(lnlimnxxnx解解:原式原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 為正整數(shù)的情形為正整數(shù)的情形.原式原式0 xnxxnelim1xnxxnne) 1(lim22. )0(elim, 0nxxnx型型洛洛xnxne!lim洛洛洛洛2021/8/2613例例4. 求求. )0(elim, 0nxxnx(2) n 不為正整數(shù)的情形不為正整數(shù)的情形.nx從而從而xnxexkxexkxe1由由(1)0elimelim1xk

8、xxkxxx0elimxnxx用夾逼準則用夾逼準則kx1kx存在正整數(shù)存在正整數(shù) k , 使當使當 x 1 時時,2021/8/2614例例4. )0(0elim, 0nxxnx. )0(0lnlimnxxnx例例3. 說明說明:1) 例例3 , 例例4 表明表明x時時,lnx后者比前者趨于后者比前者趨于更快更快 .例如例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim事實上事實上xxx21lim11lim2xx1)0(ex, )0( nxn用洛必達法則用洛必達法則2) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決 計算問題計算問題 . 2021

9、/8/26153) 若若,)()()(lim時不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1 (limxxx1極限不存在極限不存在不能用洛必達法則不能用洛必達法則 ! 即即 2021/8/2616三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分通分轉化轉化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)取對數(shù)轉化轉化例例5. 求求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛2021/8/2617型. )tan(seclim2xxx解

10、解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6. 求求通分通分轉化轉化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)取對數(shù)轉化轉化洛洛2021/8/2618例例7. 求求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1通分通分轉化轉化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉化轉化0010取對數(shù)取對數(shù)轉化轉化2021/8/2619例例8. 求求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到注意到xx sin原式原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00洛

11、洛2021/8/2620nn1nnln1e1例例9. 求求. ) 1(limnnnn2111limxxxx原式法法1. 直接用洛必達法則直接用洛必達法則.型0下一步計算很繁下一步計算很繁 ! 21 limnn法法2. 利用例利用例3結果結果.) 1(lim121nnnn1eln1nn21limnnnnln121lnlimnnn0uu1e 原式原式2021/8/2621內容小結內容小結洛必達法則洛必達法則型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne2021/8/2622思考與練習思考與練習1. 設設)()(limxgxf是未定式極限是未定式極限 , 如果如果)()(

12、xgxf是否是否)()(xgxf的極限也不存在的極限也不存在 ? 舉例說明舉例說明 .極限不存在極限不存在 , )1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx說明說明3) 3) 原式原式xxxxx120cossin3lim21xxx)1ln(0時，)03(2123分析分析:2cos1x2021/8/2623分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛洛2021/8/2624,1xt

13、則則2011221limtttt4. 求求xxxxx122lim23解解: 令令原式原式tt2lim0 21)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41洛洛洛洛2021/8/2625作業(yè)作業(yè) P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), *4第三節(jié) 2021/8/2626洛必達洛必達(1661 1704)法國數(shù)學家法國數(shù)學家, 他著有他著有無窮小分析無窮小分析(1696), 并在該書中提出了求未定式極并在該書中提出了求未定式極限的方法限的方法, 后人將其命名為后人將其命名為“ 洛必達法洛必達法的擺線難題的擺線難題 , 以后又解出了伯努利

14、提出的以后又解出了伯努利提出的“ 最速降最速降 線線 ” 問題問題 , 在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的關于圓年出版了他的關于圓錐曲線的書錐曲線的書 .則則 ”. 他在他在15歲時就解決了帕斯卡提出歲時就解決了帕斯卡提出2021/8/2627求下列極限求下列極限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;e1lim)2211000 xxx)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt備用題備用題ttt21lim11021)1(xt 令洛洛2021/8/2628,12xt 則則tttelim50原式原式 =50limettt0ttte50lim49211000e1lim)2xxx解解: 令令tte!50lim(用洛必達法則用洛必達法則