排列組合典型題解

1、排列組合典型題解“十法”一、特殊元素（位置）一“優(yōu)先法”把有限制條件的元素（位宜）稱為特殊元素（位置），對于這類問題一般采取特殊元素（位垃）優(yōu)先安排的方法。例1、6人站成一橫排，英中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？解法1：（元素分析法）：解法2：（位置分析法）：例2、用0, 1, 2, 3, 4這五個數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）a. 24 b. 30 c. 40 d. 60 例3、在由數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 _ 個. 例4、將4爼教師分派到3所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分派方案共有種？練習

2、：（1） 0,1,2, 3, 4,5這六個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)？（2）0, 1, 2, 3, 4, 5可組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)？（3）五個工程隊承建某項工程的5個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有_ 種。二、相鄰問題“捆綁法”對于要求某幾個元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”：可先將相鄰的元素“捆綁”在一起，看作一個 大”的元（組），與英它元素排列，然后再對相鄰的元素（組）內部進行排列。例5、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分別有多少種站法？例6、5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同

3、排法？練習：求不同的排法種數(shù)：（1）6男2女排成一排，2女相鄰；（2）4男4女排成一排，同性者相鄰；三、不相鄰問題一一“插空法”元素相離（即不相鄰）問題，可以先將英他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。例7、7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？引申：（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？例8、（熄燈問題）某城市新建的一條逍路上有12只路燈，為宵約用電而不影響照明，可以熄火英中三盞燈，但是兩端的燈不能熄火，也不能熄火相鄰的兩盞燈，熄燈方法共有種

4、。a. g：b. c； c. c ；d. c ；例9、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個. （用數(shù)字作答）練習：求不同的排法種數(shù)：（1）6男2女排成一排，2女不能相鄰：（2）4男4女排成一排，同性者不能相鄰. 四、定序問題一一“除法”對于在排列中，當某些元素次序一泄時，可用此法。解題方法是：先將n個元素進行全排列有4；種，/? ）個元素的全排列有a；種,由于要求m個元素次序一泄，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元a素次序一定，則有厶種排列方法。

5、a；：例10、有4名男生，3爼女生。3名女生高矮互不等，將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？例11、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個？例12、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲乙丙”順序排的排隊方法有多少種？例13、某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單, 開演前有增加了2個新節(jié)目，如果將這兩節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_ ?點評：排列與組合的根本區(qū)別是元素之間有否順序?若元素之間交換次序后是兩種不同的情形，則是排列問題； 若元素之間交換次序后是相同的情形，則是組合問題； 另外若元素之間已經(jīng)規(guī)

6、泄了順序，則仍是組合問題。練習：三個男生，四個女生排成一排，英中甲、乙、丙三人的順序不變，有幾種不同排法？五、指標問題“隔板法”解決指標分配、相同的元素分割、不定方程的正整數(shù)解的個數(shù)等. 如n個相同小球放入m（mwn）個盒子里，要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串從n-1 個間隙里選m-1個結點剪成m段（或者看作插入m 1塊隔板），有種方法. 例14、有10個三好學生名額，分配到6個班，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？例15、方程x+y + z + w=12有多少組正整數(shù)解 ? 引申：（1）求不等式x+y + zvlo的正整數(shù)解的個數(shù)。（2）方程山 +吃+勺

7、+兀=8的非負整數(shù)解的組數(shù)是多少？例16、把9個相同小球放入其編號為1、2、3的三個箱子里，要求每個箱子放球的個數(shù)不小于其編號數(shù)，則不同的放球方法共有_ 種. 例17、某校準備參加2005年高中數(shù)學聯(lián)賽， 把10個選手名額分配到高三年級的8個教學班 , 每班至少一個需額，則不同的分配方案共有種. 練習：（1）將10個學生干部的培訓指標分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有_ 種。（2）不泄方程為 +兀2+勺+一 + 勺=1的正整數(shù)解共有_ 組六、分排問題“直排法”對于把幾個元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求， 可采取統(tǒng)一成一排的方法求解。例17、9個人坐成三排

8、，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？例18、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？七、重復問題“求幕法”解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復， 另一類不能重復， 把 不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例19、七劃學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（）a. 75 b. 57 c. ay d. c, 練習：在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有（）種 . （a） a：（b） 43（c） 34（d）八、復雜問題一

9、一“排除法”對于某些比較復雜的或抽象的排列問題，可以采用轉化思想， 從問題的反面去考慮，先求岀 無限制條件的方法種數(shù)，然后去掉不符合條件的方法種數(shù)。在應用此法時要注意做到不重不漏。例20、某班里有43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種？例21、四而體的頂點和各棱中點共有10個點，取其中4個不共而的點，則不同的取法共有a. 150 種b. 147 種c. 144 種d. 141 種點評：為求完成某件事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時, 會出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確左或計數(shù)有重復， 就要考慮用分類法， 分類法是解決復雜問題的有效手段，而當正面分類情況種數(shù)較多時，則

10、就考慮用間接法計數(shù). 例22、將a、b、c、d、e、f六個不同的電子元件在線路上排成一排組成一個電路, 如果元件a不排在始端，元件b不排在末端，那么這六個電子元件組成不同的電路的種數(shù)是_ ?練習：（1）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個位巻，那么不同的站法有 _ （2） 6個同學和2個老師排成一排照相，2個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？九.分配問題一一“分組法”關于將n個元素分成m個組的分法種數(shù)，我們有下面的結論: （1）若k、+ ks+ k3+ . +kxfii 且k“ k：, k ” . k?互不相等 ,則將n個元素分成m個組（英中第一個

11、組応個元素，第二個組応個元素，第n個組ka個元（2）若將n個元素平均分成m個組，每組k個元素（n二mk）,則所有不同的分法種數(shù)為例23.將6本不同的書分別按下而的方式分配，共有多少種不同的分配方法? 分給學生甲3本，學生乙2本，學生丙1本：分給甲、乙、丙3人，每人2本: 分成3堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本: 分成3堆，每堆2本。分給分給甲 . 乙、丙3人，英中一人4本，另兩人每人1本: 分成3堆，其中一堆4本，另兩堆每堆1本。十、探尋規(guī)律一一“枚舉法”題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。把符合條件的安排不重復、不遺漏的一一列舉出來，是最簡單、最原始但也是最基本的計數(shù)方法. 教材中多次應用到，髙考中也常用枚舉法解決問題. 例24、某電腦用戶訃劃使用不超過500元的資金購買單價分別60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方法有（）a. 5不中b. 6不中c. 7*中d. 8豐中例25、將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標號為1, 2, 3, 4的四個方格內