數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)通信與電子信息當(dāng)中，在對信號作分析與處理時(shí)，常會用到有用信號疊加無用噪聲的問題。這些噪聲信號有的是與信號同時(shí)產(chǎn)生的，有的是在傳輸過程中混入的， 在接收的信號中，必須消除或減弱噪聲干擾，這是信號處理中十分重要的問題。根 據(jù)有用信號與噪聲的不同特性，消除或減弱噪聲，提取有用信號的過程就稱為濾波。濾波器的種類很多，實(shí)現(xiàn)方法也多種多樣，本章利用matlab 來進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。數(shù)字濾波器是一離散時(shí)間系統(tǒng)，它對輸入序列x(n) 進(jìn)行加工處理后，輸出序列y(n) ，并使 y(n) 的頻譜與 x(n) 的頻譜相比發(fā)生某種變化。由 dsp理論得知，無限長沖激響應(yīng)(iir) 需要遞歸模型來實(shí)現(xiàn)

2、，有限長沖激響應(yīng)(fir) 濾波器可以采用遞歸的方式也可采用非遞歸的方式實(shí)現(xiàn)。本章把fir 與iir 濾波器分別用 matlab 進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)。數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)參看數(shù)字信號處理一書。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般經(jīng)過三個(gè)步驟: 1( 給出所需濾波器的技術(shù)指標(biāo)。2( 設(shè)計(jì)一個(gè) h(z)，使其逼近所需要的技術(shù)指標(biāo)。3( 實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的 h(z)。4.1 iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì) iir 數(shù)字濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)因果、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)h(z) ，j 使它的頻響 h(e)滿足所希望得到的低通頻域指標(biāo)，即通帶衰減a、阻帶衰減 a、 pr 通帶截頻 、阻帶截頻 。而其它形式的濾波器由低通的變化得到。pr 采

3、用間接法設(shè)計(jì) iir 數(shù)字濾波器就是按給定的指標(biāo)，先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，進(jìn)而通過模擬域與數(shù)字域的變換，求得物理可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字濾波器。從模擬濾波器變換到數(shù)字濾波器常用的有: 脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。iir 濾波器的設(shè)計(jì)過程如下, 數(shù)字頻域指標(biāo)模擬頻域指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器h(s) 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 h(z) 1. 模擬濾波器簡介模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)發(fā)展得十分成熟，常用的高性能模擬低通濾波器有巴特沃斯型、切比雪夫型和橢圓型，而高通、帶通、帶阻濾波器則可以通過對低通進(jìn)行頻率變換來求得。必須指出，這三種濾波器都是非線性的相頻特性。具體設(shè)計(jì)方法參見數(shù)字信號處理一書。(1) 巴特沃斯低通濾波器的特點(diǎn)是:

4、 通、阻帶均為單調(diào)下降。這種單調(diào)下降的特性使得系統(tǒng)的誤差分布不均勻。在設(shè)計(jì)中，如果在通帶滿足指標(biāo)，阻帶指標(biāo)就過于好了?；蛘哒f，在阻帶滿足指標(biāo)，通帶指標(biāo)也過于好了。這樣不利于以最小的階數(shù)來滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。(2) 切比雪夫模擬低通濾波器分成 型和 型: 型是通帶等波紋，阻帶單調(diào) 下降; 型濾波器是通帶單調(diào)下降，阻帶等波紋。切比雪夫的等波紋特性使得 可以用較小的階數(shù)設(shè)計(jì)出符合指標(biāo)的濾波器。(3) 橢圓濾波器特點(diǎn)是通、阻帶均為等波紋。橢圓濾波器的誤差均勻分布在通、 阻帶，比較上面幾種濾波器，在同樣衰耗指標(biāo)下，橢圓濾波器所要求的階數(shù)最小。 在同樣階數(shù)情況下，橢圓濾波器的通帶到阻帶的變化最陡峭、性能最好。2

5、( 模擬濾波器映射到數(shù)字濾波器從模擬濾波器變換到數(shù)字濾波器常用的有: 沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。(1) 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法的基本思路為: 設(shè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)為h(t) ，數(shù) a 字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n) ，是對 h(t) 的均勻取樣，即 a 拉氏逆變換抽樣 z 變換, h(s)h(t) h(n)= h(nt) h(z) 沖激響應(yīng)不變法由于保持了模擬濾波器的沖激響應(yīng)在取樣時(shí)刻的取樣值，所以具有較好的時(shí)間特性。但由于從模擬域(s 域)變換到數(shù)字域 (z 域) 的映射關(guān)系不是一一對應(yīng)的關(guān)系，因而頻譜混疊難以避免, 所以在實(shí)際應(yīng)用中有它的局限性。3( matlab濾波器設(shè)計(jì)

6、函數(shù)簡介使用 matlab 信號處理工具箱中提供的函數(shù)可以很容易地實(shí)現(xiàn)iir 濾波器設(shè)計(jì)。 常用的 iir 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)有 : (1)iir濾波器階數(shù) (order) 選擇buttord - 巴特沃斯 (butterworth)濾波器階數(shù)選擇cheb1ord - 切比雪夫 (chebyshev)i 型濾波器階數(shù)選擇cheb2ord - 切比雪夫 (chebyshev)ii型濾波器階數(shù)選擇ellipord - 橢圓(elliptic)濾波器階數(shù)選擇buttord用來確定巴特沃斯濾波器的階數(shù): n,wc = buttord (wp,wr,ap,ar,options) ap,ar 為通帶最大衰

7、減和阻帶最小衰減，以db為單位 ; wp,wr為歸一化通帶截頻和阻帶截頻。options= low, high , bandpass, stop , s, 分別對應(yīng)低通、高通、帶通、帶阻、模擬濾波器，默認(rèn)情況下，為低通或帶通。對于帶通和帶阻濾波器 wp=wp1,wp2 ， wp1和 wp2為通帶的上、下截頻， wr=wr1,wr2，wr1和 wr2分別為阻帶的上、下截頻。若為模擬濾波器定階，令options = s, 則 wp和 wr以( 歸一或非歸一 ) 給出，因此可大于1。輸出參數(shù) n為濾波器的階數(shù)， wc為歸一化 3db截頻。若 ap=3db ，則 wc= wp 。其他濾波器的定階函數(shù)類

8、似buttord的格式 : 切比雪夫 i 型濾波器 n,wc = cheb1ord(wp, wr, ap, ar) 切比雪夫 ii型濾波器 n,wc = cheb2ord(wp, wr, ap, ar) 橢圓濾波器 n,wc = ellipord(wp, wr, ap, ar) (2) 完整的濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)，根據(jù)濾波器階數(shù)和通帶截頻設(shè)計(jì)出實(shí)際數(shù)字濾波器的 h(z) ( 模擬域到數(shù)字域的變換只采用雙線性變換法): butter - 巴特沃斯 (butterworth)濾波器設(shè)計(jì)cheby1 - 切比雪夫 (chebyshev)i 型濾波器設(shè)計(jì)cheby2 - -切比雪夫 (chebyshev)i

9、i型濾波器設(shè)計(jì)ellip - 橢圓(elliptic)濾波器設(shè)計(jì)maxflat - 通用的巴特沃斯 (butterworth)低通濾波器設(shè)計(jì)yulewalk - yule-walker濾波器設(shè)計(jì) (直接數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)法 ) butter的格式如下 : b,a = butter(n,wc,options) z,p,k = butter(n,wc,options) a,b,c,d = butter(n,wc,options) n為濾波器的階數(shù)， wc為頻率歸一化后的3db截頻:0 wc 衰耗曲線單調(diào)增加。 ,0 解:(1) 確定數(shù)字頻率指標(biāo)omega0=0.5*pi; % 通帶中心頻率omegac

10、1=0.45*pi ; omegac2=0.55*pi; apmax=3; %通帶截頻omegar2=0.6*pi; armin=10; t=5*pi*10(-6); %取樣間隔(2) 利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器1) 按給定數(shù)字頻率求得相應(yīng)的模擬角頻率wc1=omegac1/t; wc2=omegac2/t; w0=omega0/t; omegar1=omega0-(omegar2-omega0); wr1=omegar1/t; wr2=omegar2/t; b=wc2-wc1; 2) 將指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化模擬低通頻率指標(biāo)norm_wr1=(wr12)-(w02)/(b*wr1); nor

11、m_wr2=(wr22)-(w02)/(b*wr2); norm_wc1=(wc12)-(w02)/(b*wc1); norm_wc2=(wc22)-(w02)/(b*wc2); 3) 設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器確定歸一化截頻if (abs(norm_wr1)-abs(norm_wr2)0 norm_wr=abs(norm_wr2); else norm_wr=abs(norm_wr1); end norm_wc=1; 確定歸一化模擬低通濾波器階數(shù)n=buttord(norm_wc,norm_wr,apmax ,armin,s); 設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器b_lp,a_lp=butter(n,n

12、orm_wc,s); 4) 把歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器b_bp,a_bp=lp2bp(b_lp,a_lp,w0, b); 5) 利用脈沖響應(yīng)不變法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器fs=1/t; b,a=impinvar(b_bp,a_bp,fs); w=linspace(0,2*pi,500); h=freqz(b,a,w); plot(w,20*log10(abs(h); axis(0,2*pi,-50,20); grid xlabel(frequency (rad); ylabel(gain (db); sys=tf(b,a,t) (2) 雙線性變換法雙線性變換法克服了脈沖響應(yīng)

13、不變法存在頻譜混疊的缺點(diǎn), 但在設(shè)計(jì)過程中一定要注意，由于寬頻帶壓縮到較窄的頻率范圍，導(dǎo)致了頻率畸變。其基本思想是: 首先按給定的指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換方法將s 域映射到 z 域，把無限寬的頻帶變換成有限寬頻帶。由于在實(shí)現(xiàn)數(shù)字化以前已經(jīng)對頻帶進(jìn)行了壓縮，所以在數(shù)字化以后的頻響可以做到無頻譜混疊。該法可以用來設(shè)計(jì)各種不同頻帶要求的數(shù)字濾波器，所以獲得廣泛應(yīng)用。例 3: 按 例 2 的指標(biāo)使用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器。解: (1)給定數(shù)字頻率指標(biāo)omega0=0.5*pi; % 通帶中心頻率omegac1=0.45*pi; omegac2=0.55*pi; apmax

14、=3; %通帶截頻omegar2=0.6*pi; armin=10; t=5*pi*10(-6); %取樣間隔(2) 用雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器1) 按給定數(shù)字頻率求得相應(yīng)的模擬角頻率: 頻率預(yù)畸變omegar1=omega0-(omegar2 - omega0); wc1=(2/t)*tan(omegac1/2); wc2=(2/t)*tan(omegac2/2); wr1=(2/t)*tan(omegar1/2); wr2=(2/t)*tan(omegar2/2); w0=(2/t)*tan(omega0/2); b=wc2-wc1; 2) 將指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化模擬低通頻率指標(biāo)norm_wr1

15、=(wr12)-(w02)/(b*wr1); norm_wr2=(wr22)-(w02)/(b*wr2); norm_wc1=(wc12)-(w02)/(b*wc1); norm_wc2=(wc22)-(w02)/(b*wc2); 3) 設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器確定歸一化截頻 : if (abs(norm_wr1)-abs(norm_wr2)0 norm_wr=abs(norm_wr2); else norm_wr=abs(norm_wr1); end norm_wc=1; 確定歸一化模擬低通濾波器階數(shù): n=buttord(norm_wc,norm_wr,apmax,armin,s); 設(shè)計(jì)

16、歸一化模擬低通濾波器: b_lp,a_lp=butter(n,norm_wc,s); 4) 把歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器b_bp,a_bp=lp2bp(b_lp,a_lp,w0,b); 5) 轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器fs=1/t; b,a=bilinear(b_bp,a_bp,fs); w=linspace(0,2*pi,500); h=freqz(b,a,w); plot(w,20*log10(abs(h); axis(0,2*pi,-120,20); grid xlabel(frequency (rad); ylabel(gain (db); sys=tf(b,a,t) 例 4 :

17、若信號由 5hz、15hz和 30hz三個(gè)正弦頻率成分構(gòu)成。設(shè)計(jì)一個(gè)橢圓濾波器 濾除 5hz和 30hz頻率成分。解: 產(chǎn)生該信號fs=100; t=(0:99)/fs; s1=sin(2*pi*t*5); s2=sin(2*pi*t*15); s3=sin(2*pi*t*30); s=s1+s2+s3; 設(shè)計(jì)該帶通濾波器的通帶為10hz,20hz b,a=ellip(4,0.1,40,10 20*2/fs); h,w=freqz(b,a,512); 使用 fft得到濾波前后信號的頻譜s=fft(s,512); sf=filter(b,a,s); sf=fft(sf,512); 作圖subpl

18、ot(3,2,1); plot(t,s); title(time domain); grid ylabel(original signal); subplot(3,2,5); plot(t,sf); xlabel(time (s); ylabe(filted signal); w1=(0:255)/256*(fs/2); subplot(3,2,2); plot(w1,abs(s(1:256); title (frequency domain); grid ylabel(original spectrum); subplot(3,2,4); plot(w*fs/(2*pi),abs(h); y

19、label(filter); grid; subplot(3,2,6); plot(w1,abs(sf(1:256); xlabel(frequency (hz); ylabel(filted spectrum); grid 設(shè)計(jì)內(nèi)容 : 1( 利用雙線性變換法設(shè)計(jì)bw 型及 cb型數(shù)字低通濾波器，繪出其幅頻特性并進(jìn) 行比較，其指標(biāo)是 : (1) 通帶:apdb, hz ,0.70,1000 ,(2) 阻帶:ardb, =1200hz (bw 型) ,10r ,ardb, =1040hz (cb型) ,10r (3) 取樣間隔 t=100s , 2( 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，使之滿足以下指標(biāo):

20、 (1) 通帶 0.25,0.35, ,(2) =, =0.4 0.2,lu ,(3) =0.8db, 60db ,pr ,22( 設(shè)有一信號 x(n)=1+cosn+cosn ，設(shè)計(jì)各種 iir 數(shù)字濾波器以達(dá)到下面的43 目的: ,2, 低通濾波器，濾除cosn 的成分，保留的成分為1+cosn; 34 ,2 高通濾波器，濾除1+cosn 的成分，保留的成分為cosn; 43 ,2, 帶通濾波器，濾除1+ cosn 的成分，保留的成分為cosn; 34 ,2 帶阻濾波器，濾除cosn 的成分，保留的成分為1+cosn; 43(1) 用 matlab命令 butterord定出濾波器的階次

21、; 用 butter命令設(shè)計(jì)設(shè)個(gè)濾波器 ; 畫出濾波器的幅度和相位頻響; 取得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z) (2) 試根據(jù) iir 濾波器設(shè)計(jì)原理和步驟編寫出matlab 程序。 4( 四階歸一化低通巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 : 1 ha(s), 432ssss， 2.61313.41422.61311 用雙線性變換法從ha(s) 設(shè)計(jì)四階帶通巴特沃斯數(shù)字濾波器h(z) ，并畫出 bp ,0.65,0.35,其幅度譜。 ( 設(shè) t,1s ，) 2c1c 5( 采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，滿足下列指標(biāo): , 通帶邊緣頻率 :0.4 ，通帶衰減 :0.5db ; ,

22、 阻帶邊緣頻率 :06 ，阻帶衰減 :50db 6( 用切比雪夫型設(shè)計(jì)一個(gè)帶通iir 數(shù)字濾波器，滿足下列指標(biāo): , j,0.95|()|1.05,he0|0.25, ， ; j,0|()|0.01,he0.35|0.65, ， ; j,0.95|()|1.05,he0.75|, ，求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z) ，并畫出幅度響應(yīng)圖。 7( 采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器，滿足下列指標(biāo): f=8khz , 通帶邊緣頻率為 1.5khz，波動為 3db，阻帶邊緣頻率為 2khz ，衰減 s 為 40db,通帶等波紋但阻帶是單調(diào)的，求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z) ，并畫出幅度 響應(yīng)圖。8(

23、采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，滿足下列指標(biāo): f=1khz , 通帶邊緣頻率為 2khz ，波動為 3db，阻帶邊緣頻率為1.5khz，衰減 s 為 40db, 單調(diào)的通帶和阻帶，求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(z) ，并畫出幅度響應(yīng)圖。4.2 窗函數(shù)的特性分析在濾波器設(shè)計(jì)中和功率譜估計(jì)中，窗函數(shù)的選擇對設(shè)計(jì)和分析的結(jié)果都起著很重要的作用。截短無窮長的序列會造成吉布斯現(xiàn)象，恰當(dāng)選取窗函數(shù)，可以抑制吉布斯現(xiàn)象。下表給出幾種常用窗函數(shù)表示式和matlab 實(shí)現(xiàn)方法。常用窗函數(shù) matlab 實(shí)現(xiàn)方法函數(shù)名稱 matlab 實(shí)現(xiàn) 矩形窗 (rectangular) w=boxcar(n) 或 w

24、=ones(n,1) 漢寧窗 (hanning) w=hanning(n) 或 n=0:n-1 w=1/2*(1-cos(2*pi*n/(n-1) 哈明窗 (hamming) w=hamming(n) 或 n=0:n-1 w=0.54-0.46*cos(2*pi*n/(n-1) 布萊克曼窗 (blackman) w=blackman(n) 或n=0:n-1; w=0.42-0.5*cos(2*pi*n/(n-1)+0.08*cos(4 *pi*n/(n-1) bartlett窗( 三角形窗的一種 ) w=bartlett(n) 或 n=0:n-1; w=1-abs(2*(n-(n-1)/2)/

25、(n-1) w=kaiser(n,beta) 凱塞窗(kaiser) 表中前五種窗函數(shù)的形狀是固定的，因而一但選擇了某種窗函數(shù)，用它進(jìn)行譜分析得到的頻譜紋波或設(shè)計(jì)出的濾波器的阻帶衰減就確定了。凱澤窗是一種可調(diào)窗， 可以通過改變窗函數(shù)的形狀來控制頻譜紋波或阻帶衰減指標(biāo)，因而獲得廣泛的應(yīng)用。matlab 中也提供了許多常用的窗函數(shù)，調(diào)用格式為: w=boxcar(n) w= hanning(n) w = hamming(n) w = blackman(n) w =kaiser(n,beta)，n是窗函數(shù)的長度， beta 是控制 kaiser窗形狀的參數(shù)。例: 畫出布萊克曼窗 ; 解:n=22;

26、n=0:n-1; w=0.42-0.5*cos(2*pi*n/(n-1)+0.08*cos(4*pi*n/(n-1);% w = blackman(n); stem(n,w); 設(shè)計(jì)內(nèi)容 : 1( 分析并繪出各種窗函數(shù)的時(shí)域特性; 2( 使用 fft函數(shù)做出各窗函數(shù)的頻域特性, 并從主瓣寬度和旁瓣相對幅度兩個(gè)角 度進(jìn)行比較分析 ; 9,11nn3( 一個(gè)序列為 x(n)=cos+cos ，使用 fft分析其頻譜 : 2020 (1) 使用不同寬度的矩形窗截短該序列為m點(diǎn)長度 , 取 m分別為 : a)m=20; b)m=40; c)m=160 觀察不同長度的窗對譜分析結(jié)果的影響; (2 ) 使

27、用哈明窗重做 (1 ) ;對兩種窗的結(jié)果進(jìn)行比較和分析; 4( 總結(jié)窗的不同長度和不同窗對譜分析結(jié)果的影響。思考題 : (1) 在信號譜分析中，如何選擇窗函數(shù), (2) 在數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，如何選擇窗函數(shù), (3) 如何選擇不同特性的窗函數(shù), 4.3 fir 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)fir 數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)是具有線性相位。在數(shù)據(jù)通信、圖象處理、語音信號處理等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域，往往都要求線性相位特性，因而使用fir 數(shù)字濾波器。 fir濾波器的傳遞函數(shù)表示為: n,1- nh(z)=h(n) z ,n,0 其單位脈沖響應(yīng) h(n) 是有限長的，因此這種濾波器稱為有限長單位脈沖響應(yīng)(fir) 濾波器。其設(shè)計(jì)過程的

28、核心是求出有限的脈沖響應(yīng)來逼近給定的頻響。由于fir 濾波器脈沖響應(yīng)在滿足h(n)=?h(n-n-1)的對稱的條件下具有嚴(yán)格的線性相位，使所設(shè)計(jì) 的數(shù)字濾波器無相位失真，因此在設(shè)計(jì)中可以著重考慮幅頻特性如何符合指標(biāo)的要 求。常用的設(shè)計(jì)方法有窗口法與頻率取樣法。1( 窗口法設(shè)計(jì) fir 數(shù)字濾波器jw 窗口法的設(shè)計(jì)思想是基于把給定的頻響h(e)通過離散時(shí)間傅里葉逆變換 d (idtft) 求得脈沖響應(yīng) h(n) ，而后利用窗函數(shù)對它進(jìn)行截短和平滑，達(dá)到設(shè)計(jì)一個(gè) d 物理可實(shí)現(xiàn)且具有線性相位fir 數(shù)字濾波器的目的。窗口法設(shè)計(jì)過程為 : 加窗( ，,)idtftdtftjwjw h(e)h(n)

29、h(n)h(e) ,dd jwjwh(e) 是理想濾波器的頻域系統(tǒng)函數(shù)(頻響) ，h(e) 是設(shè)計(jì)出的實(shí)際濾波器的頻響。 d 加窗的作用是通過把理想濾波器的無限長脈沖響應(yīng)h(n) 乘以窗函數(shù)來產(chǎn)生一個(gè)被 d 截短的脈沖響應(yīng)h(n) ，即 h(n)= h (n) w (n)并對頻響進(jìn)行平滑。 d 例 1: 分別使用矩形窗函數(shù)和哈明窗函數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通濾波器: ,- j e | | ,cj h(e) = d, 0 | | , 其中 c=1rad,=12s. c,ccsinc(n,)解: 按 idtft求得其理想脈沖響應(yīng) :h(n) = d, , 該理想濾波器的脈沖響應(yīng)h(n) 以為中心對稱。

30、根據(jù)線性相位條件h(n)= h(n-n-1) ， d 故實(shí)際濾波器的脈沖響應(yīng)長度為n=25 。分別使用矩形窗函數(shù)和哈明窗函數(shù)對h(n) 進(jìn)行截短 : ,ccsinc(n,) , 0nn-1 , 1) 使用矩形窗函數(shù)得h(n)= 0 其它2) 使用哈明窗函數(shù)得 : ,nccsinc(n,),0.54-0.46cos(2) 0nn-1 ,n,1, h(n)= 0 其它 注意，濾波器階數(shù)m=n-1=24 。%rectangular window加矩形窗m=24;n=0:m;omegac=1; %m: order of the filter hd=omegac/pi.*sinc(omegac/pi*(

31、n-m/2); stem(0:m,hd); h1=hd; h1=fft(h1,512); h1_db=20*log10(abs(h1); %hamming window, 哈明窗w=0.54-0.46.*cos(2*pi*n./m); stem(0:m,w); 加哈明窗h2=hd.*w; h2=fft(h2,512); h2_db=20*log10(abs(h2); 做 fir 濾波器的幅頻特性曲線omega=0:pi/255:pi; c=plot(omega,h1_db(1:256),omega,h2_db(1:256),r); 上圖繪出了使用矩形窗、哈明窗設(shè)計(jì)的實(shí)際濾波器的幅頻特性。使用信

32、號處理工具箱中的fir1函數(shù)可以很容易地實(shí)現(xiàn)fir 濾波器窗口法設(shè)計(jì)。 它可設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻濾波器及多頻帶濾波器。格式如下: b = fir1(n,wc) b = fir1(n,wc,ftype ) b = fir1(n,wc,window) b = fir1(n,wc,ftype ,window) b = fir1(n,wc,ftype ,window, noscale ) n 為濾波器的階數(shù)， wc為 3db截頻:0 wc 1, 1對應(yīng)取樣頻率的一半。對帶通 和帶阻濾波器， wc=w1,w2，為通帶上下截頻。若wc=w1,w2 ，w3 wn, 表示濾波器具有 n 個(gè)頻帶:0ww1

33、, w2ww3,wnw1 。ftype 指定濾波器類型 : ftype= high , 指定一個(gè)截頻為wc的高通濾波器 ; ftype= stop 指定一個(gè)帶阻濾波器，其阻帶截止頻率為wc=w1,w2; ftype= dc - 0 在多頻帶濾波器中，使第一個(gè)頻帶0ww1 為阻帶; ftype=dc -1 在多頻帶濾波器中，使第一個(gè)頻帶0ww1 為通帶 ; window 為指定的窗向量，若不指定，默認(rèn)為哈明窗。使用信號處理工具箱中的fir1函數(shù)對本例題進(jìn)行設(shè)計(jì) : %rectangular window b1=fir1(24,1/pi,boxcar(25); h1,w=freqz(b1,1,51

34、2); h1_db=20*log10(abs(h1); %hamming window b2=fir1(24,1/pi,hamming(25); h2,w=freqz(b2,1,512); h2_db=20*log10(abs(h2); c=plot(w,h1_db,w,h2_db,r); 2. 頻率取樣法 fir 濾波器jw 頻率取樣法的設(shè)計(jì)思想是基于對給出的理想頻響h(e) 進(jìn)行取樣，通過離散d 傅里葉反變換 (idft) 從頻譜樣點(diǎn)直接求得有限脈沖響應(yīng)。頻率取樣法的過程如下 : 2, 頻域取樣 (,k),idftdtftjwjwn, h(e) h(k) h(n) h(e) ,d jwjw

35、 其中 h(e) 是理想濾波器的數(shù)字域系統(tǒng)函數(shù)( 頻響)，h(e) 是設(shè)計(jì)出來的實(shí)際 d 濾波器系統(tǒng)函數(shù)。頻域取樣法的關(guān)鍵是正確確定頻域取樣點(diǎn)，在?0 - 2內(nèi)的樣點(diǎn)有如下約束條件 : h(k)=h(n-k) (k)= - (n -k) 例 2: 采用頻率取樣法設(shè)計(jì)fir 濾波器 , 使之滿足- j e , |? cj h(e) = 0 , | |? 其中， c = 1rad, = 12s. dc解:n 為奇數(shù)且 h (n) 為偶對稱，故采用n為奇數(shù)的 i 型取樣。設(shè)計(jì)程序如下 : n=25; tao=(n-1)/2; omegac=1; m=fix(omegac/(2*pi/n)+1); o

36、mega=0:n-1*2*pi/n; abs_h =ones(1,m), zeros(1,n-2*m+1),ones(1,m-1); h=abs_h.*exp(-j*tao.*omega); h=ifft(h); figure(1) stem(omega,abs(h); title(fir filter) ylabel(mag of frequency response); xlabel(frequency (rad) hold on; i=0:511*2*pi/512; m1=fix(omegac/(2*pi/512)+1); abs_hd=ones(1,m1),zeros(1,512-2*

37、m1+1),ones(1,m1-1); c=plot(i,abs_hd,r); legend(c,ideal mag.,0); hold off; figure(2) stem(0:n-1,real(h); title(impulse response); xlabel(tume n); ylabel(hn); hh=fft(h, 512) hh_db=20*log10(abs(hh); figure(3) omega=0:255*pi/256; plot(omega,hh_db(1:256); grid set(gca, ytick, (-120:20:-20),-3,0); xlabel(

38、frequency (rad); ylabel(normalized magnitude (db); title(frequency response); 例,: 采用 i 型頻率取樣法設(shè)計(jì) fir 濾波器 , 滿足 例 2 所給的技術(shù)指標(biāo)。解: n=25;tao=(n-1)/2;omegac=1; m=fix(omegac/(2*pi/n)+1); omega=0:n-1*2*pi/n; abs_h=ones(1,m),zeros(1,n-2*m+1),ones(1,m-1); h=abs_h.*exp(-j*tao.*omega); stem(omega,abs(h); 圖示出理想 fir 低通濾波器的頻響和 25 個(gè)頻率取樣點(diǎn)。h=ifft(h); stem(0: