磁聚焦和磁發(fā)散

1、磁聚焦和磁發(fā)散一、帶電粒子的匯聚特點：磁場是圓形磁場磁場圓的半徑和軌跡圓的半徑相等大量帶正電的粒子平行入射。結(jié)論：這些粒子會匯聚一點射出磁場。幾何關(guān)系：磁場圓的兩條半徑，軌跡圓的兩條半徑組成的四邊形是菱形。因為00 是角平分線，所以/ 仁/ 2，因為0B=0B所以/ 2=7 3, 所以/仁/3，四邊形A0B0是菱形。如圖所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等即R= r,則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點 B點射出.平行四邊形 0A0 B為菱形，可得 B0為軌跡圓的半徑，可知從 A點 發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過 B點.1、如圖所示，x軸正方

2、向水平向右，y軸正方向豎直向上.在 xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在半徑為 R的圓內(nèi)還有與x0y平面垂直的勻強磁場.在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置,它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m 電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒發(fā)射時，這1#帶電微粒進入磁場后，將做圓周運動，且r=R，如圖甲所示，設(shè)磁感應(yīng)強度大小為B。由，得，方向垂直于紙面向外束帶電微粒分布在 0<y<2R的區(qū)間內(nèi).已知重力加速度大小為g.(1)從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區(qū)域，并從坐標原點 0沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應(yīng)強度的大小和方向.(2)請指出這束帶電微粒與 x軸相交的

3、區(qū)域，并說明理由.(1) 帶電粒子平行于 x軸從C點進入磁場，說明帶電微粒所受 重力和電場力平衡。設(shè)電場強度大小為E,由(2) 這束帶電微粒都通過坐標原點方法一：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動，其圓心位于其正下方的Q點，如圖乙所示，這束帶電微粒進入磁場后的圓心軌跡是如圖乙的虛線半圓，此圓的 圓心是坐標原點方法二：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動。如圖乙所示，高P點與0'點的連線與y軸的夾 角為0，其圓心Q的坐標為(-Rsin 0 , Rcos 0 )，圓周運動軌跡 方程為(:r+Rsincos乙0為圓心，一個電子以一定速

4、度v沿A0方向(水平)射入磁場，經(jīng)過時間t從0點正下方的C點射出磁場，另有一電得 x=0, y=0 或 x=-Rsin 0 , y=R(1+cos 0 ) 2、如圖所示，在一個半徑為 R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場,3子以相同速度從磁場邊界上的B點水平射入磁場，兩速度方向與圓周在一平面內(nèi)，且A、B兩點n間圓弧長度為；4農(nóng) 則第二個電子在磁場中運動的時間為(A )3A、 第二個電子在磁場中運動的時間為-t23B、 第二個電子在磁場中運動的時間為t8C第二個電子從 C點的左側(cè)圓弧 AC上某點射出1D第二個電子在磁場中運動軌跡所對應(yīng)的圓心角為0 = 二43、如圖所示，半徑為 R的半圓形區(qū)域

5、內(nèi)分布著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B,半圓的左邊垂直 X軸放置一粒子發(fā)射裝置，在 -RC y < R的區(qū)間內(nèi)各處均沿 x軸正方向同 時發(fā)射出一束帶正電粒子，粒子質(zhì)量均為m電荷量均為 q、初速度均為 v,重力及粒子間的相互作用均忽略不計，所有粒子都能到達y軸，其中最后到達 y軸的粒子比最先到達 y軸的粒子晚 t時間，則（ABD ）A.有些粒子可能到達y軸上相同的位置mvB.磁場區(qū)域半徑 R應(yīng)滿足R -qB兀m R tBq vD.：t-其中角度9的弧度值滿足sin v -qB vmvA、粒子射入磁場后做勻速圓周運動，其運動軌跡如圖所示,y=± R的粒子直接沿直線運動到達

6、y軸，其他粒子在磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)。由圖可知，發(fā)生偏轉(zhuǎn)的粒子也有可能直接打在y=R的位置上，所以粒子可能會到達y軸的同一位置，故 A正確;5#B、以沿x軸射入的粒子為例，若mv rR，則粒子不能到達 y軸就偏向上離開磁場區(qū)域，所qB以要求，所有粒子才能穿越磁場到達y軸，故B正確；qBD從x軸入射的粒子在磁場中對應(yīng)的弧長最長，所以該粒子最后到達y軸，丄 L -R 二 2 5 L -R 如,、一,t1,（其中9為從x軸入射粒子運動的圓心角，根據(jù)幾何關(guān)v 2兀 qB v qBR qBR系有a =9，則sinv -sin）;而y= 土 R的粒子沿直線勻速運動到y(tǒng)軸，時間最短,r mvL咖 R ,“t2，所

7、以： t=t i-t 2=，故 D 正確。vqB vm RC由于，所以“t, C錯誤。2qB v故選ABD4、如圖所示，半徑為 R= 2cm的圓形區(qū)域中有垂直紙面向外的勻強磁場（圖中未畫出），磁感應(yīng)強度B= 2T, 個比荷為2x 106C/kg的帶正電的粒子從圓形磁場邊界上的A點以vo= 8x 104m/s的速度垂直直徑 MN射入磁場，恰好從 N點射出，且/ AON= 120° .下列 選項正確的是（BCD ）A. 帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑為1cmB. 帶電粒子在磁場中運動軌跡的圓心一定在圓形磁場的邊界上C. 若帶電粒子改為從圓形磁場邊界上的C點以相同的速度入射，一定從N點射出

8、D. 若要實現(xiàn)帶電粒子從 A點入射，從N點出射，則該圓形磁場的最小面積為3n X 104卅根據(jù)洛倫茲力提供向心力：2qvB = m，可得：r =，代入數(shù)據(jù)解得：r=2cm,故A錯誤;rqB粒子運動軌跡如圖所示：由上可知四邊形AONP為菱形，又因為/ AON120O,根據(jù)幾何知識可得圓心 P一定在圓周上，故B正確; 從圓形磁場邊界上的 C點以相同的速度入射，軌跡如圖所示，易 知四邊形SCO!為菱形，根據(jù)幾何知識可知粒子一定N點射出，故C正確；當帶電粒子從 A點入射，從N點出射，以AN為直徑的圓的磁場， 此時有最小面積即/AN-2S =兀 1：=兀（Rcos30）2 =3兀 ><14m

9、2，故 D正確。I 2 丿'5、如圖所示，真空有一個半徑 r=0.5m的圓形磁場，與坐標原點相切，磁場的磁感應(yīng)強度大小 B=2 x 10-3T,方向垂直于紙面向里，在x=r處的虛線右側(cè)有一個方向豎直向上的寬度為L1=0.5m的勻強電場區(qū)域，電場強度E=1.5 X 103N/C.在x=2m處有一垂直x方向的足夠長的熒光屏，從0點處向£不同方向發(fā)射出速率相同的荷質(zhì)比 : =1 X 109C/kg帶正電的粒子，粒子的運動軌跡在紙面內(nèi)， 個速度方向沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能從磁場與電場的相切處進入電場。不計重力及阻 力的作用。求：(1) 粒子進入電場時的速度和粒子在磁場中的運動

10、的時間？(2) 速度方向與y軸正方向成30°(如圖中所示)射入磁場的粒子，最后打到熒光屏上，該發(fā) 光點的位置坐標。(1)由題意可知：粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑R=r=0.5m,有 Bqv=MiV1疋,可得粒子進入電場時的速度=lxltf* x 2xl<T3 X 05=lx IQ-wt/jv=(3分)在 磁t1=場 中 運 動 的 時 間12朋5說4 Bq?.P2 1x10"k2x103=7 85X1£> J（2 分）(2)粒子在磁場中轉(zhuǎn)過 120°角后從P點垂直電場線進入電場，如圖所示,Eq=1 5xlO?3<lxlOs在電場

11、中的加速度大小 a=（2 分）ax = UxlO11 X 0-5 6 = 075X1MJwZs粒子穿出電場時 Vy=at2=-（2 分）t中導(dǎo)論(1分)在磁場中 y1=1.5r=1.5 X 0.5=0.75m （1 分 ）J = 1在電場中側(cè)移y2=-(需嚴“一（1 分）9#飛出電場后粒子做勻速直線運動y3=L2tan a =（2-0.5-0.5） X 0.75=0.75m （1分）故 y=y1+y2+y3=0.75m+0.1875m+0.75m=1.6875m（1 分）#（1 分）則該發(fā)光點的坐標(2 , 1.6875)#技巧點撥 求解帶電粒子在勻強磁場中的運動的問題的關(guān)鍵是定圓心、求半徑、

12、畫軌跡。對帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)問題，一般采用類似于平拋運動的分析處理方法，應(yīng)用運動的合成和分解的進行計算.帶電粒子的發(fā)散如圖所示，有界圓形磁場磁感應(yīng)強度為B,圓心O從P點有大量質(zhì)量為m電量為q正離子，以大小相等的速度 v沿不同方向射入 有界磁場，不計粒子的重力，如果正離子軌跡圓半徑與有界圓形磁 場半徑相等，則所有的運動軌跡的圓心與有界圓圓心O入射點、出射點的連線為菱形，即出射速度方向相同.6、如圖所示，在半徑為/罰勺圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B圓形區(qū)域右側(cè)有一豎直感光板， 圓弧頂點P有一速度為V。的帶正電粒子平行于紙面進入磁場， 已知粒 子的質(zhì)量為 m電荷量為q,粒子重

13、力不計.(1) 若粒子對準圓心射入，求它在磁場中運動的時間；(2) 若粒子對準圓心射入，且速率為 I V0,求它打到感光板上時速度與 豎直感光板的夾角；(3) 若粒子以速度Vo從P點以任意角射入，試證明它離開磁場后均垂直 打在感光板上.設(shè)帶電粒子進入磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑為r，由牛頓第二定律得:#Bqvo=mRrtin軌跡對應(yīng)的圓心角為則1t=卄=(2)由(1)知，當v=丨Vo時，帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑為I R,11.V其運動軌跡如圖所示.由幾何關(guān)系可知/ PQO=/ OOA=30°, 所以帶電粒子離開磁場時偏轉(zhuǎn)角為60 °,粒子打到感光板上時速度與豎直感光

14、板的夾角為60°(3) 由(1)知，當帶電粒子以 V0射入時，粒子在磁場中的運動軌跡半徑為R,設(shè)粒子射入方向與 P0方向之間的夾角為0，帶電粒子從區(qū)域邊界 S射出,帶電粒子的運動軌跡如圖所示.因 PO=OS=PO=SO=R所以四邊形POSO為菱形，由幾何關(guān)系可知：PO/ C3S在S點的速度方向與 QS垂直，即粒子打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角為90°7、如圖所示，在坐標系 xOy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標為垂直紙面向里的勻強磁場。在直線y=a的上方和直線 x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E。一質(zhì)量為 mO ( a， 0)，圓內(nèi)分布有

15、電荷量為+q (q>0)的粒子以速度 v從O點垂直于磁場方向且速度方向沿x軸正方向射入第一象限，粒子恰好從0點正上方的A點射出磁場，不計粒子重力。(1) 求磁感應(yīng)強度B的大??；(2) 求粒子從0點進入磁場到最終離開磁場所通過的路程。(3) 若粒子以速度v從0點垂直于磁場方向且與 x軸正方向的夾角0 =30°射入第一象限，求粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間t。(1)設(shè)粒子在磁場中做圓運動的軌跡半徑為R粒子自A點射出，由幾何知識解得#(1) 經(jīng)分析粒子在磁場運動的路程Si=粒子在電場中的路程 S2E q=maS=S+S2=(3)粒子運動軌跡如圖所示粒子在磁場中做圓運動的周期粒子從

16、磁場中的 P點射出，因磁場圓和粒子的軌跡圓的半徑相等，00P0構(gòu)成菱形，故粒子從 P點的出射方向與y軸平行，粒子由 0到P所對應(yīng)的圓心角為=60°由幾何知識可知，粒子由P點到x軸的距離S=acos粒子在電場中做勻變速運動，在電場中運動的時間粒子由P點第2次進入磁場，由 Q點射出，P OQ 03構(gòu)成菱形，由幾何知識可知Q點在x軸上，粒子由P到Q的偏向角為=1200,貝U13粒子先后在磁場中運動的總時間 粒子在場區(qū)之間做勻速運動的時間解得粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間8如圖所示，在直角坐標系 xOy平面的第n象限內(nèi)有半徑為R的圓O分別與x軸、y軸相切于P(-r, 0)、Q( 0, r

17、)兩點，圓O內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B.與y軸負方向平行的勻強電場左邊界與y軸重合，右邊界交 x軸于M點,帶正電的粒子 A (重力不計)電荷量為q、質(zhì)量為m以某一速率垂直于 x 軸從C點射入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)恰好從D點進入電場，最后從G點以與x軸正向夾角為45°的方向射 出電場.求：(1) OM之間的距離；(2) 該勻強電場的電場強度 E;(3) 若另有一個與 A的質(zhì)量和電荷量相同、速率也 相同的粒子 A',從C點沿與x軸負方向成30°角 的方向射入磁場，貝炮子A'再次回到x軸上某點時， 該點的坐標值為多少？(1)設(shè)粒子A射入磁場時的

18、速率為 V。，其在磁場中做圓周運動的圓心必在x軸上，設(shè)其圓心為CA,連接OC CAD,則QC= CAD= r，所以Q與O點重合，故 A粒子在磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)半徑也是 r.(2 分)A粒子運動至D點時速度與y軸垂直，粒子 A從D至G作類平拋運動，設(shè)其加速度為a，在電場中運行的時間為t，由平拋運動的規(guī)律可得：OG =如由運動學(xué)知識可得:(1分)(1 分)由牛頓運動定律和電場力公式可得:（ 2 分）聯(lián)立解得：一工 J1分）（2）粒子A的軌跡圓半徑為r，由洛侖茲力和向心力公式可得:（2 分）聯(lián)立解得：二：爐（2分）（3）設(shè)粒子A'在磁場中圓周運動的圓心為 O ,因為/ O' CA =90

19、 °, O' C=r,以 O 為圓心、r為半徑做A'的軌跡圓交圓形磁場 O于H點，則四邊形 CO H O為菱形，故 O' H/ y 軸，粒子A' 從磁場中出來交y軸于I點，HI丄O' H,所以粒子A'也是垂直于y軸進入電場。（2分）設(shè)粒子A'從J點射出電場，交 x軸于K點，因與粒子 A在電場中的運動類似，由（1）式可得：OI - JG=r2 分）JG=rcos30又 Ol=r+rcos30 °（1 分）由式解得:根據(jù)圖中幾何知識可得：/ JKG=45°, GK=GJ所以粒子A'再次回到x軸上的坐標為（

20、1 分）三、磁發(fā)散問題中和數(shù)學(xué)相關(guān)的最值問題9、在如圖的xOy坐標系中.A （- L, 0）、C是x軸上的兩點，P點的坐標為（0, L）.在第二象限內(nèi)以D （- L, L）為圓心、L為半徑的寸圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場；在第一象限三角形 OP（之外的區(qū)域，分布著沿y軸負方向的勻強電場.現(xiàn) 有大量質(zhì)量為 m電荷量為+q的相同粒子，從 A點平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁場區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從 不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：（1）電場強度的大小；（2）x正半軸上有粒子穿越的區(qū)間.P點進入電場，經(jīng)電場后恰好通過 C點.已知a

21、=30JDPi4« i:B:t*«j1 *V/yh' J*7 J d fl怯rFF廠oCJI解：(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，設(shè)半徑為r，粒子初速度為vo,由幾何關(guān)系得：r=L ,沿AD方向的粒子由P點進入電場時，速度方向與 設(shè)在電場中運動的時間為 t o,電場強度為E,則 qE=may軸垂直,L _ 叱 ranfl1L=2q&2LI解得：E=(2)若粒子的速度方向與 X軸正方向的夾角為ADFO為菱形，O F 平行 AD, Vf 丄 O F,帶電粒子離開磁場時，速度方向沿X軸正方向，則有:yF=L (1-cos 0 ),粒子從F '通過PC,

22、則0，粒子從F點射出磁場，由于 r=L ,故四邊形-匸YF x F'tana粒子在電場中運動的時間為t，從C通過X軸離開電場，沿 X軸方向的位移為X,X=Vot ,粒子到達X軸的坐標為 Xc , Xc =Xf +XC = J3£-(cos0+ l-gj.010)(0v 0 <90°)當0 =90°時，xc的最小值時，Xc，的最大值UKLXCOS0 -17所以x正半袖上有粒子穿越的區(qū)間為#答：（1）電場強度的大小為3冊；（2）x正半袖上有粒子穿越的區(qū)間為變式1、在直角坐標系xoy中，A （-0.3 , 0）、C是x軸上兩點，P點的坐標為（0, 0.3

23、）。在第 二象限內(nèi)以D（-0.3,0.3 ）為圓心、0.3m為半徑的1/4圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直 xoy平面向 外、磁感應(yīng)強度大小為 B=0.1T的勻強磁場；在第一象限三角形 OPC之外的區(qū)域，分布著沿 y軸 負方向的勻強電場（如圖所示）。現(xiàn)有大量質(zhì)量為m=3 10kg、電荷量為q =1 104C的相同粒子，從A點平行xoy平面以相同速率v=103m/s沿不同方向射向磁場區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從 P點垂直y軸進入電場，恰好通過C點。已知a = 37。，不考慮粒子間的相互作用及其重力，求:（2）粒子穿越x正半軸的最大值。#,、 mv(1) r(2) 0.5mqB【解析】（1）帶電

24、粒子在磁場中做勻速圓周運動，設(shè)半徑為r,粒子的初速度為 vmvqB2_ mv qvBr#根據(jù)題意和幾何知識，可得:3r=DP=0.3mv=1 x 10 m/s#沿AD方向的粒子由P點進入電場時，速度方向與y軸垂直。所以，該粒子在電場中做類平拋運動，運動時間為tOC=vt1 20P= at2OP=OCtan aqE=maE=112.5V/m（2）若速度方向與x軸正方向的夾角為 B的入射粒子，從x正半軸穿過時距離 0點最遠。 粒子從F點離開磁場，其中 0 是粒子運動的圓心。由于粒子的運動半徑等于磁場的半徑，所以 四邊形ADFO 為菱形，OFjAD , vF _ O F，而AD又是豎直方向，所以 v

25、f垂直于y軸從F 點進入電場，仍做類平拋運動。1運動時間為tx=vyFat '22粒子到達x軸的坐標為xC x = x xFr - yFxF- yF 1 -costta na聯(lián)合接的 xC =0.4 1-cosr 0.4cosr設(shè)-,1 -COST - k，所以 Xc：=0.4k - 0.4 1 -k2 當 k=0.5 時 Xc 有最大值且為 0.5m10、如圖所示，在xOy平面內(nèi)，緊挨著的三個“柳葉”形有界區(qū)域內(nèi)（含邊界上）有磁感應(yīng)強度為 B的勻強磁場，它們的邊界都1 1是半徑為a的；圓，每個；圓的端點處的切線要么與x軸平行、要么與y軸平行區(qū)域的下端恰在O點，區(qū)域在 A點平滑連接、區(qū)

26、域在C點平滑連接.大量質(zhì)量均為m電荷量均為q的帶正電的粒子依次從坐標原點 O以相同的速率、各種不同的方向射入第 一象限內(nèi)（含沿x軸、y軸方向），它們只要在磁場中運動，軌道半徑就都為a.在yw a的區(qū)域，存在場強為E的沿一x方向的勻強電場整個裝置在真空中，不計粒子重力、不計粒子之間的相 互作用.求：(1) 粒子從0點射出時的速率V0; 這群粒子中，從 O點射出至運動到 x軸上的最長時間;(2) 這群粒子到達y軸上的區(qū)域范圍.四、磁場的最小區(qū)域問題11、電子質(zhì)量為 m電荷量為e,從坐標原點 O處沿xOy平面射入第一象限，射入時速度方向不 同，速度大小均為 vo，如圖所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B,若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求:(1) 熒光屏上光斑的長度；(2) 所加磁場范圍的最小面積。解：(1 )如圖所示，求光斑長度，關(guān)鍵是找到兩個邊界點，初速度方向沿x軸正方向的電子，沿弧OB運動到P;初速度方向沿y軸正方向的電子, 沿弧OC運動到Q由圖可知電子在磁場中的半徑(2)沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏MN上，所加最小面積的磁場的邊界是以 O'(0 , R)為圓心，R為半徑的圓的一部分，如圖中實線所示，所以磁場范圍的最 小面積為J戒