立體幾何中的向量方法完整版

1、3.2 JL何屮軻向量方筱法向量恩考/如何確定一個(gè)點(diǎn)、 在空間的位置？一條直線、一個(gè)平面0在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)0作為基點(diǎn)，那么空間中 任意一點(diǎn)P的位置就可以用向量OP來(lái)表示。我們把 向量0戸稱為點(diǎn)p的位置向量。上、直錢(qián)的確足:空間中任意一條直線z的位置可以由/上一 個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定.y直線1的方向向量y/0三、年而4&強(qiáng)更:空間中平面Q的位置可以由Q內(nèi)兩條相交直線來(lái)確定.平面的法向量：如果表示向量：的有向線段所在 直線垂直無(wú)平面則穩(wěn)這個(gè)向量垂直于巴 面匕記作丄a,如果丄a,那么向量 叫做平面Q的法向量.給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量碼那么過(guò)點(diǎn)A，以向量為法向量的平面是完全確定的.平面

2、的法向量:注意:1法向量一定是非零向量;2個(gè)平面的所有法向量都互相平行;例 1:已知A(0,2,3), B = (2,0,-1), C(3,-4,0) 求平面ABC的法向量.求法向量的步驟：（1）設(shè)出平面的法向量血=（x, y, z）（2）找出（求出）平面內(nèi)的丙個(gè)不共線的1 向量的坐標(biāo)2 = （ai，%Ci）,b = （°2厶心） 根據(jù)法向量的定義建茁I于兀,的 方程組丫廠。nb = O（4）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量。練習(xí)：在空間直角坐標(biāo)系中，已知4(3,0,0), 940) C(0,Q2),試求平面ABC的一去向量.3V = 一 X'437 = X2-3x+4j

3、 =0 -3x+2z =0 A 1解:設(shè)平面ABC的一型量為兀=(兀竺) 則1AC V AB = (-M0)，走亍(-里2).(x,y，z) (340) & 即(兀,y，z)(mQ2)&取 X = 4,則兀=(4,3,6)/ n = (436)是平面ABC的一去向量平面向量推廣到立體幾何問(wèn)題空間向量思考2：因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的 位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平 面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、 夾角等位置關(guān)系你能用直線的方向向量表示空間兩 直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角嗎? 你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的 位

4、置關(guān)系以及它們二面角的大小嗎？平行與垂直Illm oallb <a =AbIH a a丄五oQ五=0allpo u/vo 五=20/丄m<>a丄方oN方=02 丄 cr o a II u<>a= Aua丄0 o “丄v <u v=0設(shè)直線人加的方向向量分別為N方，平面巾0 的法向量分別為"川，則線線平行 I / ma /b <a-kb 二> 線面平行I / a <a丄uoaw = 0；二>a / /3 u / v <>餓泌隔（面茴乎竊鋰據(jù)面面重合./oU>Q 丄眈= 0U> (202 + b”2 +

5、cxc2 = 0;A._ _設(shè)直線人加的方向向量分別為N乙，平面羽戸 的法向量分別為”川，則線線垂直/丄moa丄乙oa 方=0 ；二線面垂直 /丄 a / u <>a=ku ；二面面垂直 &丄0 ou丄uo%卩=0匚J>A若a = （a“b“ cu = 2 嘰 c）貝 I鞏固性訓(xùn)練11 設(shè)a.b分別是直線沖2的方向向量，根據(jù)下列條件，判斷“2的位置關(guān)系(1)° = (2,-1,-2),乙=(6,3,6)平行(1,2,-2)g = (-2,3,2)垂直(3)： = (0,0,1)3 = (0,0,3)平行鞏固性訓(xùn)練21 設(shè)u.v分別是平面?zhèn)乌嗟姆ㄏ蛄浚鶕?jù)下列

6、條件，判斷為卩的位置關(guān)系.(1)7 = (-2,2,5), = (6,-4,4)垂直弘=(1,2,-2), v = (一2,-4,4) 平疔(3)w = (2,-3,5), v = (-3,1,-4)相交鞏固性訓(xùn)練31、設(shè)平面a的法向量為(1,2,2),平面卩的法向量為(-2,-4,k),若則k=；若 a 丄 0貝 H k=o2、已知/況，且/的方向向量為(2,m,1),平面*的法向量為(1,1/2,2)廁m=3、若/的方向向量為(2,1,m),平面*的法向量為(1,1 /2,2),且/丄 &,則m=例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD, P

7、D=DC, E是PC的 中點(diǎn)，作EF丄PB交PB于點(diǎn)F.(1) 求證：PA/平面EDB求證：PB"面EFD空間角復(fù)習(xí)引入1 異面直線所成角設(shè)直線人加的方向向量分別茹/若兩直線人加所成的角為則COS& =2.線面角設(shè)直線1的方向向量為a,平面a的法向量為：，且 直線/與平面a所成的角為&(OW0W扌人則3、二面角法向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角。 如圖，向量力丄仙帀丄0,則二面角0C 1 卩的大小0=仇五I 二ii注意法向量的方向：同進(jìn) 同出，二面角等于法向量1=11 夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出, 二面角等于法向量夾角若二面角& - - 0的大小為

8、9<0<加則COS&基礎(chǔ)訓(xùn)練:1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5, 3),則平面 ABC的一個(gè)法向量是 .2、如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射 影的方向向量分別是a二(1, 0, 1) , b= (0, 1,1),那么這條斜線與平面所成的角是 60°3、已知兩平面的法向量分別往(0,1,0),花(0,1,1), 則兩平面所成的鈍二面角為135° .【典例剖析】£ CA5/AADAn6x + 2y + 6z = Q4y+ 3z 二0例 1:在長(zhǎng)方體 ABCD - AXBXCXDX 中，AB = 6,AD = 8, 側(cè) =6,

9、 M為BC上的一點(diǎn),且=2,點(diǎn)N在線段上, AN = 5,求4。與平面ANM所成的角的正弦值.解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則 4(0,0,0), M (6,2,6)L 由£N = 5,可得 N(0,4,3) 血=(6,2,6),屈=(0,4,3).設(shè)平面a的法向量丘=(x, y, z),由 AM n = o-一 即Ian五=0例 1:在長(zhǎng)方體 ABCD - AXBXCXDX 中，AB = 6,AD = 8, 側(cè) =6, M為BC上的一點(diǎn),且=2,點(diǎn)N在線段上, AN = 5,求4。與平面ANM所成的角的正弦值.AD2 C得五=(1 丄一？)又 AD = (0,8,0),3.sin &

10、#176; |=輕劑3府8.Jl2+l2+(-|)234I0 + N8 + 0IADnAD與平面如VM所成角的正弦值是壬34【練習(xí)1】_如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四 邊形，側(cè)面SBC_底面ABCD。已知ZA慶BC= , S觸國(guó)B= 羽例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD, PD=DC, E是PC的 中點(diǎn)，作EF丄PB交PB于點(diǎn)F.(1) 求證：PA/平面EDB(2) 求證：PB丄平面EFD(3) 求二面角C-PB-D的大小。A例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD, PD=DC, E是PC

11、的 中點(diǎn)，作EF丄PB交PB于點(diǎn)F. (3)求二面角C-PB-D 的大小。解；空間直J平面PB2 2平面PBD的一個(gè)法向量為cos <DEyGC>=-1/2 X cos0 = l/2, & = 60。練習(xí)2瞬 S ABCD,ZABC= 90°,5A 丄預(yù) ABCDSAfBC 二 1,AD=-.Wffi SCD刖面S測(cè)所琳50 2rat.ADTx【典例剖析】例3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形， 側(cè)棱PA丄底面ABCD, PA=AB=l,AD/3,在線段BC 上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為45。? 若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)

12、明理由。CX解：以A為原點(diǎn)，AD. AB. &P所在的直線分 別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)BE=m,則 A(0,0,0),P(O,O,1),廠(餡,0,0),帥,1,0),麗=(0,0,1), DP = (-a/3,0,1), DE = (m-Al, 0) 設(shè)平面PDE的法向 量為兀=(乂, y, z),則方丄DP,n丄萬(wàn)瓦解得y =-m)x,f+ z = 0, (m y/3)x + y = 0,a/3j4+(JJ加于令兀=1,得 =Q，羽- m,巧)， PA與平面加E所成角的大小為45° sin45°二 解得m =書(shū)_忑或m二書(shū)+忑(舍)，因此，

13、當(dāng)BE =屯-®, PA與平面PDE所成角的大小為45?！眷柟叹毩?xí)】1 三棱錐P-ABC PA 丄 ABC，PA二AB二AC，ABAC = 90° ,E為PC甲點(diǎn)，則PA與BE所成角 的余弦值為2 直三棱柱中，AA=2, ZBAC = 90° AB=AC=1,則AG與截面BB1CG所成 角的余弦值為洱F3正方體中ABCDABiCiD沖E為的 中點(diǎn)，則二面角E-BC-A的大小是 45°【課后作業(yè)】1、如圖，已知：直角梯形OABC 中，OABC,ZAOC=90° ,SO丄面OABC,且OS=OC=BC=1, OA=2o 求：異面直線SA和OB所成的角的余a 弦值ZyOS與面SAB所成角的余弦值 二面角B-AS 一0的余弦值2、(2004,天津妝口圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD, PD=DC, E是PC的中點(diǎn)。(1) 證明：PA/平面