《函數(shù)的連續(xù)性》ppt課件

1、二、二、 函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)及其分類函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)及其分類 一、一、 函數(shù)延續(xù)性的概念函數(shù)延續(xù)性的概念 第六節(jié)函數(shù)的延續(xù)性 三、延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法那么三、延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法那么 四、四、 初等函數(shù)的延續(xù)性初等函數(shù)的延續(xù)性 第二章 一、函數(shù)延續(xù)性的概念第一類可去第一類可去延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn)第一類騰躍第一類騰躍延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn)第二類無窮第二類無窮延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)xyOxyOxyOxyO1 1定義定義2.9.)()(00內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)xUxxf1. 延續(xù)函數(shù)的定義存存在在；)(lim) 1 (0 xfxx假假設(shè)設(shè)且且)()(lim) 2(00 xfxfxx 那么稱函數(shù)那么

2、稱函數(shù).)(0處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)xxf注注1函數(shù)延續(xù)的增量定義函數(shù)延續(xù)的增量定義,0 xx x 那么稱那么稱為自變量的增量為自變量的增量(或改動(dòng)量或改動(dòng)量).假設(shè)相應(yīng)地函數(shù)假設(shè)相應(yīng)地函數(shù) y 從從)(0 xf),(0 xxf 變到變到稱稱)()(00 xfxxfy 為函數(shù)的增為函數(shù)的增量量(或改動(dòng)量或改動(dòng)量).定義定義2.10.)()(0內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在某某設(shè)設(shè)xUxf,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是.0lim0 yx處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)0)(xxf設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) y = f (x). 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 從從增量概念增量概念:0 x變到變到定定義義 .)

3、()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)2處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxf3).()(lim)3()(lim)2()() 1 (0000 xfxfxfxfxxxx 存存在在；有有意意義義；定義定義2.11f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處延續(xù)的三要素：處延續(xù)的三要素：.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 例12. 單側(cè)延續(xù)處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)0000)(),()0(,()(xxfxfx

4、fxaxf 左延續(xù)；左延續(xù)；處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)0000)(),()0(,),)(xxfxfxfbxxf 右延續(xù)右延續(xù). .定理定理處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在0)(xxf).()()(000 xfxfxf 例2解解 . 21,2, 1, 2, 10,)(2xxxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)x=1處的延續(xù)性處的延續(xù)性.由于由于 )(lim1xfx21lim xx , 1 )(lim1xfx)2(lim1xx , 1 1)(lim1 xfx, 2)1( f所以所以 f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x=1 處不延續(xù)處不延續(xù)

5、. 在區(qū)間上每一點(diǎn)都延續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都延續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)間上的延續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上延續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上延續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)端端點(diǎn)點(diǎn)并并且且在在左左內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 延續(xù)函數(shù)的圖形是一條延續(xù)而不延續(xù)的曲線延續(xù)函數(shù)的圖形是一條延續(xù)而不延續(xù)的曲線. .3. 函數(shù)在區(qū)間上的延續(xù)性. ,)(baCxf 記作記作例3 證明函數(shù)xysin 在在),( 內(nèi)延續(xù)內(nèi)延續(xù) .證證 ),( xxxxysin)sin( )cos

6、(sin222xxx )cos(sin222xxxy 122 xx 0 x即即0lim0 yx這闡明這闡明xysin 在在),( 內(nèi)延續(xù)內(nèi)延續(xù) .類似可證類似可證: 函數(shù)函數(shù)xycos 在在),( 內(nèi)延續(xù)內(nèi)延續(xù) .04. 知的延續(xù)函數(shù)), 0, xxyRxaxaxaynnn ,110多多項(xiàng)項(xiàng)式式：0)(,)()( xQRxxQxPynnm且且有有理理函函數(shù)數(shù)：Rxxy ,sinRxxy ,cos假設(shè)上述三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，那么稱假設(shè)上述三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，那么稱 f (x) 在在二、函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)及其分類:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個(gè)個(gè)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)(

7、)1(0處處有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn) xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 內(nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某去去心心鄰鄰域域在在設(shè)設(shè))()(00 xUxxf1. 定義定義(或延續(xù)點(diǎn)或延續(xù)點(diǎn)).點(diǎn)點(diǎn)x0 處不延續(xù)處不延續(xù)(或延續(xù)或延續(xù))，并稱點(diǎn)，并稱點(diǎn)x0為為 f (x)的不延續(xù)的不延續(xù)點(diǎn)點(diǎn)2. 延續(xù)點(diǎn)的分類.)()(00是是否否同同時(shí)時(shí)存存在在與與 xfxf)()(00 xfxf與與 延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn)0 x振蕩振蕩同同時(shí)時(shí)存存在在.)(0上上下下方方來來回回?cái)[擺動(dòng)動(dòng)直直線線在在某某時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)Ayxfyxx 但但),()(00 xfxf無無意意義義或或)(0 xf

8、)()(00 xfxf )(lim0 xfxx)()(lim0 不不存存在在xfxx可去可去騰躍騰躍無窮無窮其他其他類類 第一至少有一至少有一個(gè)不存在個(gè)不存在第第二二類類根據(jù)：根據(jù)：)()()(000 xfxfxf xytan)1( 2x為其第二類無窮延續(xù)點(diǎn)為其第二類無窮延續(xù)點(diǎn) .0 x為其第二類振蕩延續(xù)點(diǎn)為其第二類振蕩延續(xù)點(diǎn) .xy1sin)2( 1 x為其第一類可去延續(xù)點(diǎn)為其第一類可去延續(xù)點(diǎn) .11)3(2 xxyxoy1例4xytan2xyoxyxy1sin 0(4) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0( f1)0( f0 x為其第一類騰躍延續(xù)點(diǎn)為其第一類騰躍延續(xù)點(diǎn)

9、 . 例5 指出以下函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)及其類型：指出以下函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)及其類型：510510)()1(11 xxxf解解1 找找 f(x) 無定義的點(diǎn)無定義的點(diǎn)0 x間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)：2 判別延續(xù)點(diǎn)的類型判別延續(xù)點(diǎn)的類型510510lim)0(110 xxxf15050 0limlim1 xxxxaaa時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)510510lim)0(110 xxxfxxx11010511051lim 1 )0()0()0()0( ffff均均存存在在，但但與與.)(0的的第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是xfx 0limlim1 xxxxaaa時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0,110,2)()2(2xxxxxxf解解1找找 f(

10、x) 無定義的點(diǎn)無定義的點(diǎn)1 x間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)： 11lim)(lim11xxfxx.)(1的的第第二二類類無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是xfx 2 查分段點(diǎn)：查分段點(diǎn)： 0 x0)2(lim)0(20 xxfx，111lim)0(0 xfx .)(0的的第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是xfx ，xx cot,tan在各自定義域內(nèi)延續(xù)在各自定義域內(nèi)延續(xù).三、延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法那么定理定理2.14 在某點(diǎn)延續(xù)的有限個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)延續(xù)的有限個(gè)函數(shù)上連續(xù)，上連續(xù)，在在),(cos,sinxx積積 ,商商(分母分母0) 運(yùn)算運(yùn)算,結(jié)果仍是在該點(diǎn)延續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是在該點(diǎn)延續(xù)的函數(shù) .例如：例如：經(jīng)有限次和經(jīng)有限

11、次和 , 差差 , xx csc,sec1. 四那么運(yùn)算的延續(xù)性四那么運(yùn)算的延續(xù)性利用極限的四那么利用極限的四那么運(yùn)算法那么可以證運(yùn)算法那么可以證明：明：結(jié)論：三角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù)結(jié)論：三角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù).例6 設(shè)設(shè))()(xgxf與與均在均在,ba上延續(xù)上延續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù) )(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上延續(xù)上延續(xù).證證 21)( x )()(xgxf )()(xgxf )()()(21xgxfx )()(xgxf 根據(jù)延續(xù)函數(shù)運(yùn)算法那么根據(jù)延續(xù)函數(shù)運(yùn)算法那么 ,可知可知)(, )(xx 也在也在,ba上上延續(xù)延續(xù) . )(, )(min)(xgxfx 假

12、設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)例如：例如：xysin 在在2,2 上延續(xù)單調(diào)遞增，上延續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin (證明略證明略)在在1 , 1上也延續(xù)單調(diào)遞增上也延續(xù)單調(diào)遞增.且延續(xù)且延續(xù).(減少減少)那么其反函那么其反函數(shù)數(shù)),( xIxxfyy )(xfy 在區(qū)間在區(qū)間xI單調(diào)添加單調(diào)添加)(1yfx 在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間 yI(減少減少)上亦單調(diào)添加上亦單調(diào)添加且延續(xù)且延續(xù).類似地類似地,xyarccos 在區(qū)間在區(qū)間1,1 上延續(xù)單調(diào)遞減上延續(xù)單調(diào)遞減.2. 反函數(shù)的延續(xù)性定理2.15xyarctan xycotarc 及及在區(qū)間在區(qū)間 ( , +)上延續(xù)上延續(xù).結(jié)論：結(jié)論： 反三

13、角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù).), 0(log),()1, 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且在在證證明明： xyaaayax證證1)4(1lim已已證證第第三三節(jié)節(jié)例例 nna2. 1lim0 xxa需需證證：例7，0 x xn1令令,1xn 則則，nx10 )0(11 xnxn,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) anxnaaa11 nx則則有有，令令0由夾逼準(zhǔn)那么及由夾逼準(zhǔn)那么及1，可得，可得. 1lim0 xxa,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a. 111)1(1limlim00 xxxxaa3,0Rx xaxf )()()(00 xfxxfy 00 xxxaa )1(0 xxaa )1(limlim

14、000 xxxxaay000 xa.)(0處連續(xù)處連續(xù)在在xaxfx .), 0(log15.內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在易易知知，由由定定理理 xya2結(jié)論：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)皆延續(xù)結(jié)論：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)皆延續(xù).3. 復(fù)合函數(shù)的延續(xù)性定理2.16設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f u(x)由函數(shù)由函數(shù) y = f (u)與函數(shù)與函數(shù)u=u(x)復(fù)合而成復(fù)合而成,)(lim00uxuxx 若若而函數(shù)而函數(shù) y = f(u)處處連連續(xù)續(xù)，則則在在0uu )(lim0 xufxx)(lim0ufuu)(0uf )(lim0 xufxx),(lim0 xufxx )(0uf可以寫成可以寫成:定理

15、定理2.16的結(jié)論的結(jié)論1. 函數(shù)記號(hào)函數(shù)記號(hào)f 與極限記號(hào)可以交換次序與極限記號(hào)可以交換次序;意義意義: :.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例8).0(1)1(lim0 常常數(shù)數(shù)求求xxx解解xxxxx1elim1)1(lim00 xx0lim )0(1)1( xxx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0uuu1e )1ln(x )1ln(x 例9.), 0()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在為為常常數(shù)數(shù)證證明明： xy證證xxylne 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在), 0(ln)( xxu 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在而而),(e)( uxfy.), 0()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在為常數(shù)為常數(shù) xy可以證明：可以證明： xy 對于

16、對于取任何實(shí)數(shù)取任何實(shí)數(shù),均在其定義域內(nèi)延續(xù)均在其定義域內(nèi)延續(xù). .結(jié)論：冪函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù)結(jié)論：冪函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù).四、初等函數(shù)的延續(xù)性延續(xù)函數(shù)經(jīng)四那么運(yùn)算仍延續(xù)延續(xù)函數(shù)經(jīng)四那么運(yùn)算仍延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)延續(xù)定理定理 根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù)根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù).根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù)根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù)結(jié)論：一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)結(jié)論：一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù).定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例如例如,21xy 的延續(xù)區(qū)間為的延續(xù)區(qū)間為1,1 (端點(diǎn)為單側(cè)延續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)延續(xù))xysinln 的延續(xù)

17、區(qū)間為的延續(xù)區(qū)間為.Z, )12( ,2( nnn 注1 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間上延續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間上延續(xù), 在其在其 定義域內(nèi)不一定延續(xù)定義域內(nèi)不一定延續(xù);如：如：, 1cos)1( xy,4,2, 0 xxD在這些孤立點(diǎn)的去心鄰域在這些孤立點(diǎn)的去心鄰域 (鄰域半徑不超越鄰域半徑不超越2)內(nèi)沒內(nèi)沒有定義有定義,)1()2(32 xxy1, 0 xxxD及及在在O點(diǎn)的去心鄰域點(diǎn)的去心鄰域(鄰域半徑不超越鄰域半徑不超越1)內(nèi)沒有定義內(nèi)沒有定義,.), 1上上連連續(xù)續(xù)但但此此函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間 因此它無延續(xù)點(diǎn)因此它無延續(xù)點(diǎn).因此它在因此它在 x=0 處不延續(xù)，從而在其定義域內(nèi)

18、不延續(xù)處不延續(xù)，從而在其定義域內(nèi)不延續(xù).2 初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法.是是初初等等函函數(shù)數(shù)，則則設(shè)設(shè))(xf)()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx例10.1arcsinlim20 xxx 求求解解,1arcsin)(2為為初初等等函函數(shù)數(shù)xxxf x=0是它的定義是它的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)區(qū)間內(nèi)的點(diǎn), )0()(lim1arcsinlim020fxfxxxx . 0 1,41,)(xxxxx 例11 設(shè),1,21,)(2 xxxxxf解解討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xf 的延續(xù)性的延續(xù)性 . )(xf 1,2 xx1,2 xx1)(),(2 xx 1)(

19、, )(2 xx 故此時(shí)延續(xù)故此時(shí)延續(xù);而而)(lim1xfx 21lim xx 1 )(lim1xfx )2(lim1xx 3 故故 )(xf x = 1為第一類為第一類在點(diǎn)在點(diǎn) x = 1 不延續(xù)不延續(xù) , ,)(1為為初初等等函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)xfx 延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn) . )(xf 1,2 xx1,2 xx內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左延續(xù)左延續(xù)右延續(xù)右延續(xù). 20 x第一類延續(xù)點(diǎn)第一類延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn)左右極限都存在左右極限都存在 第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)無窮延續(xù)點(diǎn)無窮延續(xù)點(diǎn)振蕩延續(xù)點(diǎn)振

20、蕩延續(xù)點(diǎn)左右極限至少有一左右極限至少有一個(gè)不存在個(gè)不存在在點(diǎn)在點(diǎn)延續(xù)的類型延續(xù)的類型. 10 x在點(diǎn)在點(diǎn)延續(xù)的等價(jià)方式延續(xù)的等價(jià)方式其它延續(xù)點(diǎn)其它延續(xù)點(diǎn))(xf)(xf3. 根本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)根本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的四那么運(yùn)算的結(jié)果延續(xù)延續(xù)函數(shù)的四那么運(yùn)算的結(jié)果延續(xù)延續(xù)函數(shù)的反函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的反函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)延續(xù)初等函數(shù)在初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)延續(xù)闡明闡明: 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處能否延續(xù)需討論其分段函數(shù)在分段點(diǎn)處能否延續(xù)需討論其 左、右延續(xù)性左、右延續(xù)性.思索與練習(xí)1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22 xxxxfx = 2

21、是第二類是第二類(無窮無窮)延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn) .延續(xù)點(diǎn)的類型延續(xù)點(diǎn)的類型.2. 設(shè)設(shè) 0,0,sin)(21xxaxxxfx_, a時(shí)時(shí)提示提示:,0)0( f )0(f)0(fa 0)(xf為為延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類是第一類(可去可去)延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn) ,3.,)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若xxf是否連是否連在在問問02)(, )(xxfxf續(xù)續(xù)? 反之能否成立反之能否成立?解解)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxx

22、xxxx)(02xf 故故 | )(|xf、)(2xf在在 0 x都都連連續(xù)續(xù). 反例：反例： ,1,1)(xf x 為有理數(shù)為有理數(shù) x 為無理數(shù)為無理數(shù))(xf處處延續(xù)處處延續(xù),)(, )(2xfxf處處延續(xù)處處延續(xù) ，但，但“反之反之 不成立不成立 .4.試分別舉出,1,21, 2, 1, 0)1(nnx 是是 f (x) 的一切延續(xù)點(diǎn)的一切延續(xù)點(diǎn), 且它們都是無窮延續(xù)點(diǎn)；且它們都是無窮延續(xù)點(diǎn)；(2) f (x)在在R上處處不延續(xù)，但上處處不延續(xù)，但)(xf在在R上處處延續(xù)；上處處延續(xù)；(3) f (x)在在R上處處有定義，但僅在一點(diǎn)延續(xù)上處處有定義，但僅在一點(diǎn)延續(xù).xxxf sin1s

23、in1)()1( 解解具有以下性質(zhì)的函數(shù)具有以下性質(zhì)的函數(shù) f(x) 的例子：的例子： )()3(xf是有理數(shù)是有理數(shù)x,x是無理數(shù)是無理數(shù)x,x xyo )()2(xf是有理數(shù)是有理數(shù)x,1是無理數(shù)是無理數(shù)x,1 xyo11 5. 求. )1(lim2xxxx 方法方法1 原式原式 =xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim2 xx21 方法方法2 令令,1xt tttt1111lim20 21 那那么么原式原式 =22011limttt 111lim20 ttx)11()11)(11(lim22220 tttttxxxx 1lim2 0t時(shí)，時(shí)，6 試確定常數(shù) a 使.0

24、)1(lim33 xaxx解解 令令,1xt 那么那么 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf備用題例2-1)0()0( ff )0 ( f )0 ( f不不存存在在)(lim0 xfx例2-2.0,0,0, 20,sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxexxxxxfx解解1sinlim

25、)(lim)0(00 xxxffxx1lim)(lim)0(00 xxxexff2) 0 ()0 ()0 ( fff.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) xxf但但存存在在 ,)(lim0 xfx例2-3解解 , 0, 0,)(xxaxexfx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)該當(dāng)怎樣選擇該當(dāng)怎樣選擇a,使得使得 f (x) 在在 x=0 處延續(xù)處延續(xù). )0(fxxe 0lim, 1 )0(f)(lim0 xax ,a ,)0(af 由延續(xù)的充要條件由延續(xù)的充要條件)0()0()0(fff 得得 a=1.所以當(dāng)所以當(dāng)a=1時(shí)，時(shí)，f(x)在在x=0處延續(xù)處延續(xù).例2-4.0, 0, 0,)1()(,3處處連連續(xù)續(xù)在在

26、函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxaxxxxfax解解xxxxxff300)1 (lim)(lim)0( ,)0(af 33)(10)(1lim exxx)(lim)(lim)0(00 xaxffxx , a ),0()0()0(fff 處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)0)( xxf,3時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) ea.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf即即,3ae 例4-1解解.0sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在點(diǎn)點(diǎn) xxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)由于由于f(x)在在x=0處無定義處無定義, 所以所以x=0是是f(x)的延續(xù)點(diǎn)的延續(xù)點(diǎn),又又, 1sinlim0 xxx注注 故假設(shè)補(bǔ)充定義故假設(shè)補(bǔ)充定義f

27、(0)=1,那么函數(shù)那么函數(shù) 0,10,sin)(xxxxxf在在x=0處就延續(xù)了處就延續(xù)了,因此因此, 這類延續(xù)點(diǎn)被稱為可去延續(xù)點(diǎn)這類延續(xù)點(diǎn)被稱為可去延續(xù)點(diǎn).)(0的的第第一一類類可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是故故xfx 例5-1 討論函數(shù)xxexf 111)(解解 延續(xù)點(diǎn)延續(xù)點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx, 0 x為無窮延續(xù)點(diǎn)為無窮延續(xù)點(diǎn);,1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xx1, 0)(xf,1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xx1, 1)(xf故故1 x為騰躍延續(xù)點(diǎn)為騰躍延續(xù)點(diǎn). ,1,0處處在在 x.)(連續(xù)連續(xù)xf延續(xù)點(diǎn)的類型延續(xù)點(diǎn)的類型.例5-2解解討論函數(shù)討論函數(shù) 0,10,11)(1xxexfx在在 x=0

28、 處的延續(xù)性處的延續(xù)性., 111lim10 xxe, 011lim10 xxe, 1)0()0( ff雖雖然然 f (x) 在在 x=0 處左延續(xù)處左延續(xù),),0()0( ff但但由由于于 f (x)在在 x=0 處延續(xù)處延續(xù).函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖形在的圖形在 x=0 處有一個(gè)處有一個(gè)“躍度躍度,故稱騰躍延續(xù)點(diǎn)故稱騰躍延續(xù)點(diǎn).oxy1xey111 21例5-3解解.tan的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，并并判判斷斷類類型型求求函函數(shù)數(shù)xxy , 0tan x令令得得無無定定義義，在在又又 tan x故函數(shù)在這些點(diǎn)處延續(xù)故函數(shù)在這些點(diǎn)處延續(xù)., 1tanlim0 xxx故故x=0是第一類延續(xù)點(diǎn)是第一類延

29、續(xù)點(diǎn)., 0tanlim2 xxkx, 1, 0,2 kkx故故是第一類延續(xù)點(diǎn)是第一類延續(xù)點(diǎn)., 1, 0, kkx, 1, 0,2 kk時(shí)時(shí)，又又當(dāng)當(dāng), 2, 1 k,tanlim xxkx, 2, 1, 0, kkx故故是第二類延續(xù)點(diǎn)是第二類延續(xù)點(diǎn).例8-1 求求.1lim0 xaxx 解解 令令,1 xat那那么么,ln)1ln(atx 原式原式atttln)1ln(lim0 aln )1ln(limln0ttat axaxln1 1e x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x特別地，假設(shè)特別地，假設(shè) a = e，那么那么例8 求.)1(loglim0 xxax 解解原式原式xxax1)1(loglim0 eloga alneln 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)1ln(x xaln1 axxaln)1(log 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x特別地，假設(shè)特別地，假設(shè) a = e，那么那么例8-3bxgaxfxxxx )(lim, 0)(lim00若若證證明明：證證)()(xgxfy