正態(tài)分布教案

1、正態(tài)分布教案一、教材分析正態(tài)分布是高中新教材人教A版選修2-3的第二章“隨機(jī)變量及其分布”的最后一節(jié)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量之后，正態(tài)分布作為連續(xù)型隨機(jī)變量，在這里既是對(duì)前面內(nèi)容的一種補(bǔ)充，也是對(duì)前面知識(shí)的一種拓展，是必修三第三章概率知識(shí)的后續(xù)。該節(jié)內(nèi)容通過(guò)研究頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線，引出擬合的函數(shù)式，進(jìn)而得到正態(tài)分布的概念、分析正態(tài)曲線的特點(diǎn)，最后研究了它的應(yīng)用。舊教材采用直接給出正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式的方法，這使學(xué)生在很長(zhǎng)一段時(shí)間里不理解正態(tài)分布的來(lái)源。新教材利用高爾頓板引入正態(tài)分布的密度曲線更直觀，易于解釋曲線的來(lái)源。正態(tài)分布是描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種最常見(jiàn)的分布，在

2、現(xiàn)實(shí)生活中有非常廣泛的應(yīng)用。在這里學(xué)習(xí)正態(tài)分布，也有利于學(xué)生在大學(xué)階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能 通過(guò)高爾頓板試驗(yàn)，了解正態(tài)分布密度曲線的來(lái)源 通過(guò)借助幾何畫板，理解正態(tài)分布的概念及其曲線特點(diǎn)，掌握利用原則解決一些簡(jiǎn)單的與正態(tài)分布有關(guān)的概率計(jì)算問(wèn)題2過(guò)程與方法 通過(guò)試驗(yàn)、頻率分布直方圖、折線圖認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線，體驗(yàn)從有限到無(wú)限的思想方法 通過(guò)觀察正態(tài)曲線研究正態(tài)曲線的性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法，增強(qiáng)觀察、分析和歸納的能力3、情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)經(jīng)歷直觀動(dòng)態(tài)的高爾頓試驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 通過(guò)原則的學(xué)習(xí)，充分感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美三、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)，利用原則解決一些簡(jiǎn)

3、單的與正態(tài)分布有關(guān)的概率計(jì)算問(wèn)題難點(diǎn)：正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)四、教法與學(xué)法學(xué)情分析在必修三的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了統(tǒng)計(jì)等知識(shí)，這為學(xué)生理解利用頻率分布直方圖來(lái)研究小球的分布規(guī)律奠定了基礎(chǔ)。但正態(tài)分布的密度函數(shù)表達(dá)式較為復(fù)雜抽象，學(xué)生理解比較困難。根據(jù)以上學(xué)情，我采取了如下的教學(xué)方法：1、教法本節(jié)課是概念課教學(xué)，應(yīng)該有一個(gè)讓學(xué)生參與討論、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)特點(diǎn)的探索過(guò)程，所以在教學(xué)中我采取了直觀教學(xué)法、探究教學(xué)法和多媒體輔助教學(xué)法。通過(guò)“觀察探究再觀察再探究”等思維途徑完成整個(gè)教學(xué)過(guò)程。而多媒體的輔助教學(xué)，不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還有利于培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)向觀察、抽象概括、分析歸納的邏輯思維能力，提高了課堂

4、教學(xué)的有效性。2、學(xué)法縱觀整堂課的設(shè)計(jì)，我注重培養(yǎng)學(xué)生以下學(xué)習(xí)方法：1 觀察探究：觀察探究有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。（如利用高爾頓板探究正態(tài)曲線的來(lái)源）2 歸納分析：引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納，能縮短解決問(wèn)題的時(shí)間，鍛煉數(shù)學(xué)思維。（如通過(guò)幾何畫板的觀察，歸納分析參數(shù)、對(duì)圖像的影響） 理解應(yīng)用在應(yīng)用中體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。（如例題2及作業(yè)B組題的設(shè)置）五、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖 以境激情通過(guò)對(duì)高爾頓板試驗(yàn)進(jìn)行演示。教師創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備。學(xué)生感悟體驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行

5、定向思考。學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：下落的小球在槽中的分布是有規(guī)律的。教師利用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。研探論證1用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規(guī)律 將球槽編號(hào)，算出各個(gè)球槽內(nèi)的小球個(gè)數(shù)，做出頻率分布表。 以球槽的編號(hào)為橫坐標(biāo)，以小球落入各個(gè)球槽內(nèi)的頻率與組距的比值為縱坐標(biāo)，畫出頻率分布直方圖。連接各個(gè)長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)得到頻率分布折線圖。 將高爾頓板下面的球槽去掉，試驗(yàn)次數(shù)增多，頻率分布直方圖無(wú)限分割，于是折線圖就越來(lái)越接近于一條光滑的曲線。引導(dǎo)學(xué)生思考回顧，教師通過(guò)課件演示作圖過(guò)程。在這里引導(dǎo)學(xué)生回憶得到，此處的縱坐標(biāo)為頻率除以組距。教師提出問(wèn)題：這里

6、每個(gè)長(zhǎng)方形的面積的含義是什么？學(xué)生經(jīng)過(guò)回憶，容易得到：長(zhǎng)方形的面積代表的是相應(yīng)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率教師引導(dǎo)學(xué)生得到：此時(shí)小球與底部接觸時(shí)的橫坐標(biāo)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。教師通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示頻率分布直方圖無(wú)限分割的過(guò)程。通過(guò)把與新內(nèi)容有關(guān)的舊知識(shí)抽出來(lái)作為新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，為引入新知搭橋鋪路，形成正遷移。通過(guò)這里的思考回憶，加深了對(duì)頻率分布直方圖的理解。這個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)了由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)型隨機(jī)變量的過(guò)渡。通過(guò)幾何畫板讓學(xué)生直觀感受正態(tài)曲線的形成過(guò)程。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖研探論證2正態(tài)曲線：曲線中任意的一個(gè)均對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)值，經(jīng)過(guò)擬合，這條曲線是（或近似地是）下列函數(shù)的圖像： ,其中是

7、圓周率，是自然對(duì)數(shù)的底，實(shí)數(shù)和（0）為參數(shù)。我們稱的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。與分別反映的是均值與標(biāo)準(zhǔn)差。教師提出課題并板書：正態(tài)分布教師分析正態(tài)分布密度曲線表達(dá)式的特點(diǎn)，并指出兩個(gè)參數(shù)的實(shí)際意義。與舊教材不同的是，該處在學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識(shí)了正態(tài)曲線之后才給出曲線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，這樣處理能更直觀演示正態(tài)曲線來(lái)源。3正態(tài)曲線對(duì)應(yīng)的解析式中含有兩個(gè)參數(shù)和。下面結(jié)合函數(shù)解析式研究曲線特點(diǎn)，并分析參數(shù)和對(duì)曲線的影響： 固定的值，觀察對(duì)圖像的影響 學(xué)生研探新知，并進(jìn)行推理論證。其中教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，優(yōu)化學(xué)生思維。教師利用幾何畫板，先后固定參數(shù)和，通過(guò)變化參數(shù)和的值得到一系列正態(tài)曲線，

8、學(xué)生觀察圖像，分組討論并派代表發(fā)言。學(xué)生通過(guò)觀察得到：當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿軸平移；結(jié)合解析式分析知時(shí)它是個(gè)偶函數(shù)，于是參數(shù)決定了正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，時(shí)的圖像可由時(shí)的圖像平移得到。（教師板書：曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱）同時(shí)得到：曲線在時(shí)達(dá)到峰值（教師板書）。針對(duì)解析式中含有兩個(gè)參數(shù)，學(xué)生較難獨(dú)立分析，教師通過(guò)固定一個(gè)參數(shù)，討論另一個(gè)參數(shù)對(duì)圖像的影響，這樣的處理大大降低了難度。該環(huán)節(jié)教師利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生歸納正態(tài)曲線的特點(diǎn)，既加強(qiáng)了學(xué)生的直觀理解，也增強(qiáng)了學(xué)生觀察歸納的能力。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖研探論證 固定的值，觀察對(duì)圖像的影響 綜合以上圖像，你還能得到正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？

9、學(xué)生通過(guò)觀察并結(jié)合參數(shù)與的意義可以分析得到：當(dāng)一定時(shí)，影響了曲線的形狀。即：越小，偏離均值的程度越小，則曲線越瘦高；越大，偏離均值的程度越大，則曲線越矮胖（教師板書）。綜合以上的圖像并結(jié)合解析式分析得到：曲線位于軸上方，與軸不相交。（教師板書）。最后引導(dǎo)學(xué)生由概率知識(shí)知：曲線與軸之間的面積為1（教師板書）。該環(huán)節(jié)通過(guò)幾何畫板呈現(xiàn)了教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，很好地鍛煉了學(xué)生觀察歸納的能力，體現(xiàn)了歸納分類、化難為易、數(shù)形結(jié)合的思想。這樣的處理很好地突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。這為接下來(lái)提出問(wèn)題，引入正態(tài)分布的定義做鋪墊。4曲線與軸之間的面積為1。根據(jù)對(duì)稱性知，隨機(jī)變量落在對(duì)稱軸兩側(cè)的概率都是。請(qǐng)思考：

10、對(duì)于任意一個(gè)隨機(jī)變量，如何求出落在給定區(qū)間內(nèi)的概率？Oyx引導(dǎo)學(xué)生回憶得到：落在區(qū)間的概率的近似值其實(shí)就是在上的陰影部分即曲邊梯形的面積，曲邊梯形面積等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分。即：通過(guò)設(shè)疑，引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深入思考，通過(guò)復(fù)習(xí)、鞏固原有知識(shí)，以確保新內(nèi)容的自然引入，同時(shí)加深了對(duì)定積分幾何意義的理解。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖研探論證5 正態(tài)分布概念：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量滿足，則稱的分布為正態(tài)分布，常記作。如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記作。教師在前面分析的基礎(chǔ)上引出正態(tài)分布的概念，并說(shuō)明記法。引導(dǎo)學(xué)生分析得到，所落區(qū)間的端點(diǎn)是否能夠取值，均不影響變量落在該區(qū)間內(nèi)的概率。以舊引新

11、，雖然概念較抽象，但這樣的處理過(guò)程學(xué)生不會(huì)覺(jué)得太突兀，易于接受新知識(shí)。同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生把前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行思維的習(xí)慣。63原則幾何畫板演示3原則：引導(dǎo)學(xué)生分析，求定積分，通常需要求出原函數(shù)。根據(jù)現(xiàn)有知識(shí)，無(wú)法求原函數(shù)。得尋求別的方法求概率。教師通過(guò)利用幾何畫板演示隨機(jī)變量落在區(qū)間,與這三個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，引入3原則的內(nèi)容，并指出：在區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。所以，在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，簡(jiǎn)稱原則。我們可以利用3原則解決一些簡(jiǎn)單的與正態(tài)分布有關(guān)的概率計(jì)算問(wèn)題。 (教師板書3原則的內(nèi)容)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)無(wú)

12、法解決的問(wèn)題，從而引起了他們的疑問(wèn)，激發(fā)了他們要解決問(wèn)題的欲望，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。新知識(shí)的直接給出，學(xué)生接受或多或少會(huì)有點(diǎn)困難。教師利用幾何畫板，從數(shù)與形上體現(xiàn)了3原則的內(nèi)容，能很好加深學(xué)生的印象便于理解。這為后面3原則的應(yīng)用作了鋪墊。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖反饋矯正例題1 把一條正態(tài)曲線沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線，下列說(shuō)法不正確的是（ ）A曲線仍然是正態(tài)曲線B曲線和的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C以曲線為正態(tài)分布的總體的方差比以曲線為正態(tài)分布的總體的方差大2D以曲線為正態(tài)分布的總體的期望比以曲線為正態(tài)分布的總體的期望大2學(xué)生獨(dú)立分析，并學(xué)生間互問(wèn)互檢，質(zhì)疑答辯。教師

13、排難解惑，幫助學(xué)生鞏固深化所學(xué)知識(shí)。學(xué)生易分析知：正態(tài)曲線經(jīng)過(guò)平移仍是正態(tài)曲線，峰值不變。而曲線的左右平移與即均值（期望）有關(guān)。故C選項(xiàng)的說(shuō)法不正確。通過(guò)該例的設(shè)置，深化了學(xué)生對(duì)正態(tài)曲線的特點(diǎn)及正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)與的理解。例題2 某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如下圖： 20 40 60 80 100yxO 寫出的分布密度函數(shù)； 求成績(jī)位于區(qū)間的概率是多少？ 求成績(jī)位于區(qū)間的概率是多少？ 若該地區(qū)有10000名學(xué)生參加考試，從理論上講成績(jī)?cè)?6分以上的考生有多少人？學(xué)生相互討論，根據(jù)對(duì)稱軸可知，根據(jù)峰值可知，代入正態(tài)曲線表達(dá)式可得： 由知： 通過(guò)一個(gè)貼近生活的實(shí)例，學(xué)

14、生體會(huì)到了數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。本例是由課本74頁(yè)練習(xí)2進(jìn)行變式處理，做到了一題多用。該環(huán)節(jié)設(shè)置的這三個(gè)小問(wèn)，分別要求學(xué)生根據(jù)原則直接求出對(duì)稱區(qū)間概率，利用對(duì)稱性及結(jié)合概率為1，求不對(duì)稱區(qū)間的概率。體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)問(wèn)題的設(shè)置由易到難，形成坡度。例3 設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)的概率相等，落在區(qū)間內(nèi)的概率為，求該正態(tài)總體對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)。學(xué)生分析易知：落在和內(nèi)概率相等知,由區(qū)間概率為99.74%，知,即，代入正態(tài)分布密度函數(shù)解析式知最高點(diǎn)的坐標(biāo)為.要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出草圖，分析已有條件得到兩個(gè)參數(shù)的解，利用解析式求出結(jié)果

15、。再一次強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的解題思想。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖應(yīng)用評(píng)價(jià)1 正態(tài)曲線有哪些具體的特點(diǎn)？2原則是什么？它對(duì)、取任何數(shù)，數(shù)據(jù)落到相對(duì)區(qū)間內(nèi)的概率是不變的嗎？3思想方法：數(shù)形結(jié)合等。4生活中的正態(tài)分布教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，自我評(píng)價(jià)。學(xué)生可以展示自己的所悟所得，與同伴分享成功的喜悅；還可以提出自己的困惑，師生共同探討。將課堂小結(jié)作為自我評(píng)價(jià)的主陣地。教師結(jié)合例子對(duì)正態(tài)分布進(jìn)行介紹。通過(guò)學(xué)生提出學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容中的困惑和與同伴分享學(xué)習(xí)成果，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與自我評(píng)價(jià)。教師不僅引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)知識(shí)，還反思思想方法。通過(guò)教師的介紹，學(xué)生能夠體會(huì)到生活中處處有正態(tài)分布，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。

16、思維創(chuàng)新A組 課本75頁(yè) A組 第1題B組 第2題B組 在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有12名。試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約有多少人？課外思考：請(qǐng)嘗試從解析式角度分析正態(tài)曲線的對(duì)稱性與最值。 學(xué)生通過(guò)作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過(guò)思考發(fā)散思維，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新。教師通過(guò)布置作業(yè)，進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，更新教法。學(xué)生通過(guò)作業(yè)，及時(shí)反饋，鞏固所學(xué)知識(shí)；教師通過(guò)分層次布置作業(yè)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時(shí)能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)教學(xué)的不足。板書設(shè)計(jì) 正態(tài)分布1 解析式2 曲線性質(zhì) 33原則例1例2例3多媒體投影六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，本設(shè)計(jì)充分注意了新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣更容易使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中把前后所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行理解記憶，更容易體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。該教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)試驗(yàn)引入舊知