2013年第30屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題及參考答案

1、0第 30 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽考試試題（15 分）一半徑為 R、內(nèi)側(cè)光滑的半球面固定在地面上，開口水平且朝上一小滑塊在半球面內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)處獲得沿球面的水平速度，其大小為Vo（V。=0）.求滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中可能達(dá)到的最大速率重力加速度大小為g二、（20 分） 一長(zhǎng)為 2I 的輕質(zhì)剛性細(xì)桿位于水平的光滑桌面上，桿的兩端:分別固定一質(zhì)量為m 的小物塊 D 和一質(zhì)量為:m（ :為常數(shù)）的小物塊 B，桿可繞通過小物塊B所在端的豎直固定轉(zhuǎn)軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng) 一質(zhì)量為 m 的小環(huán) C 套在細(xì)桿上（C 與桿密接），可沿桿滑動(dòng)，環(huán) C 與桿之間的摩擦可忽略 一輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為 I，勁度系數(shù)為 k,兩端分別與小

2、環(huán) C 和物塊B 相連 一質(zhì)量為 m 的小滑塊 A 在桌面上以垂直于桿的速度飛向物塊D，并與之發(fā)生完全彈性正碰，碰撞時(shí)間極短碰撞時(shí)滑塊 C 恰好靜止在距軸為 r （r l）處1.若碰前滑塊 A 的速度為Vo，求碰撞過程中軸受到的作用力的沖量;2.若碰后物塊 D、C 和桿剛好做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求碰前滑塊A 的速度Vo應(yīng)滿足的條件三、（25 分）一質(zhì)量為 m、長(zhǎng)為 L 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺，匸 令表示細(xì)桿質(zhì)量線密度當(dāng)桿以角速度繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)L時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可表示為Ek=k 二 L式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù) 已

3、知在同一單位制下，兩物理量當(dāng)且僅當(dāng)其數(shù)值和單位都相 等時(shí)才相等由此求出:-、-和 的值2.已知系統(tǒng)的動(dòng)能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時(shí)隨質(zhì)心一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和系統(tǒng)在質(zhì)心系（隨 質(zhì)心平動(dòng)的參考系）中的動(dòng)能之和，求常數(shù)k的值速度大小為g提示：如果X（t）是t的函數(shù)，而Y（X（t）是X（t）的函數(shù)，貝U Y（X（t）對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為dY（X（t） _dY dXdt dX dt例如，函數(shù) cos（t）對(duì)自變量t的導(dǎo)數(shù)為dcos v（t） dcos v gvdtd v dt四、（20 分）圖中所示的靜電機(jī)由一個(gè)半徑為R、與環(huán)境絕緣的開口（朝上）金屬球殼形的容器和一個(gè)帶電液滴產(chǎn)生器G 組成.質(zhì)量為 m、帶電量為

4、q的球形3.試求當(dāng)桿擺至與水平方向成二角時(shí)在桿上距O點(diǎn)為 r 處的橫截面兩側(cè)部分的相互作用力.重力加液滴從 G 緩慢地自由掉下（所謂緩慢，意指在G 和容器口之間總是只有一滴液滴）液滴開始下落時(shí)相對(duì)于地面的高度為h.設(shè)液滴很小，容器足夠大，容器在達(dá)到最高電勢(shì)之前進(jìn)入容器的液體尚 未充滿容器忽略 G 的電荷對(duì)正在下落的液滴的影響 重力加速度大小為g.若容器初始電勢(shì)為零， 求容器可達(dá)到的最高電勢(shì)Vmax五、（25 分）平行板電容器兩極板分別位于z =d的平面2內(nèi)，電容器起初未被充電 整個(gè)裝置處于均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B，方向沿 x 軸負(fù)方向，如圖所示.1.在電容器參考系S中只存在磁場(chǎng)；而在以

5、沿y 軸正方向的恒定速度（0,v,0）（這里（0,v,0）表示為沿 x、y、z 軸正方向的速度分量分別為 0、v、0，以下類似）相對(duì)于電容器運(yùn)動(dòng)的 參考系S中,可能既有電場(chǎng)（Ex,E,Ez）又有磁場(chǎng)（Bx,B,Bz）.試在非相對(duì)論情形下，從伽利略速度 變換，求出在參考系S中電場(chǎng)（Ex, Ey,Ez）和磁場(chǎng)（Bx, By,Bz）的表達(dá)式已知電荷量和作用在物體上 的合力在伽利略變換下不變2 現(xiàn)在讓介電常數(shù)為:的電中性液體（絕緣體）在平行板電容器兩極板之間勻速流動(dòng)，流速大小為v，方向沿y軸正方向在相對(duì)液體靜止的參考系（即相對(duì)于電容器運(yùn)動(dòng)的參考系）S中，由于液體處在第 1 問所述的電場(chǎng)（Ex,Ey,E

6、z）中，其正負(fù)電荷會(huì)因電場(chǎng)力作用而發(fā)生相對(duì)移動(dòng)（即所謂極化 效應(yīng)），使得液體中出現(xiàn)附加的靜電感應(yīng)電場(chǎng)，因而液體中總電場(chǎng)強(qiáng)度不再是（Ex,Ey,Ez），而是（Ex,Ey,Ez），這里；o是真空的介電常數(shù)這將導(dǎo)致在電容器參考系S中電場(chǎng)不再為零.試求電容g器參考系S中電場(chǎng)的強(qiáng)度以及電容器上、下極板之間的電勢(shì)差（結(jié)果用；。、；、v、B 或（和）d表出）六、（15 分）溫度開關(guān)用厚度均為ONO mm的鋼片和青銅片作感溫元件；在溫度為20 C時(shí)，將它們緊貼，兩端焊接在一起，成為等長(zhǎng) 的平直雙金屬片若鋼和青銅的線膨脹系數(shù)分別為10 10/度和2.0 10*/度.當(dāng)溫度升高到120 C時(shí)，雙金屬片將自動(dòng)彎成圓

7、弧 形，如圖所示.試求雙金屬片彎曲的曲率半徑.（忽略加熱時(shí)金屬片厚度的變化.）七、（20 分）一斜劈形透明介質(zhì)劈尖，尖角為 r ,高為 h .今以尖角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系 如圖（a）所示；劈尖斜面實(shí)際上是由一系列微小臺(tái)階組成的，在圖（a）中看來，每一個(gè)小臺(tái)階的前側(cè)面與 xz 平面平行，上表面與 yz 平面平行.劈尖介質(zhì)的折射率 n 隨 x 而變化,b 0. 一束波長(zhǎng)為的單色平行光沿 x 軸正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透鏡，在劈尖與薄凸 透鏡之間放一檔板，在檔板上刻有一系列與z 方向平行、沿y方向排列的透光狹縫，如圖（b）所xdi 2XXXXOxKXX-aT-XXXxd：2JCyXn（

8、x） =1 bx，其中常數(shù)示.入射光的波面（即與平行入射光線垂直的平面）、劈尖底面、檔板平面都與 為x軸.要求通過各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點(diǎn)處得到加強(qiáng)而形成亮紋y= 0處；物和像之間各光線的光程相等1.求其余各狹縫的y坐標(biāo);2試說明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求% = 0.51T106eV/c2計(jì)算中有必要時(shí)可利用近似：如果x 門：1，有1- x?1-*x.x 軸垂直，透鏡主光軸.已知第一條狹縫位于現(xiàn)逆康普頓散射已知電子靜止質(zhì)量為me，真空中的光速為c.若能量為 Ee的電子與能量為 E 的光子相向?qū)ε?1. 求散射后光子2. 求逆康普頓散射能夠發(fā)生的條件;3. 如果入射光子電子能量為

9、1.00 109eV，求散射后光子的能量.已知A電子轉(zhuǎn)移到光子，則該散射被稱為逆康普頓散射.當(dāng)?shù)湍芄庾优c高能電子發(fā)生對(duì)頭碰撞時(shí)，就會(huì)出第 30 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽考試試題解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、(15 分)一半徑為 R、內(nèi)側(cè)光滑的半球面固定在地面上，開口水平且朝上 一小滑塊在半球面內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)處獲得沿球面的水平速度，其大小為vo(v=O).求滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中可能達(dá)到的最大速率重力加速度大小為g參考解答:以滑塊和地球?yàn)橄到y(tǒng)，它在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒滑塊沿半球面內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將其速度v分解成緯線切向(水平方向)分量 V：及經(jīng)線 切向分量v寸 設(shè)滑塊質(zhì)量為m，在某中間狀態(tài)時(shí)，滑塊位于半球面內(nèi)

10、側(cè) P 處，P和球心o的連線與水平方向的夾角為 二.由機(jī)械能守恒得121212mv0- -mgRsin- mvmv這里已取球心O處為重力勢(shì)能零點(diǎn)以過O的豎直線為軸球面對(duì)滑塊的支持力通過該軸，力矩為零；重力相對(duì)于該軸的力矩也為零所以在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，滑塊相對(duì)于軸的角動(dòng)量守恒，故mv0R = mv . Rcos .由(1)式，最大速率應(yīng)與 r 的最大值相對(duì)應(yīng)而由 式，q不可能達(dá)到 n2.由和式，q的最大值應(yīng)與v.相對(duì)應(yīng)，即VQmax)二(4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2)式得2gRsin v - vtan2v - v20.若sinv -0，由上式得實(shí)際上，sin =0也滿足上式。由上式可知

11、sin訟2gRCOsmaxv2由(3)式有Vjmax)2 gR s inmax v0tanma_0vmax二V (二max)cos2-:2gR_ 2v(4 )(1)將jLmax) =0代入式(1)，并與式(2)聯(lián)立，得2 2 2VoSinVmax2gRSinmax1 - sinVmax i；=0.（5）以sinmax為未知量，方程（5）的一個(gè)根是sinq= 0,即q= 0,這表示初態(tài)，其速率為最小值，不是所求的解.于是SinVmax= 0.約去Sin=max，方程變?yōu)? 22gRsinmaxvsinrmax2gR=0.其解為注意到本題中si nTX0，方程 的另一解不合題意，舍去將式代入 式得

12、，當(dāng)0= emax時(shí),評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 15 分.式 3 分，（2）式 3 分，（3）式 1 分，（4）式 3 分，（5）式 1 分，（6）式 1 分，式 1 分，（9）式 2 分.sin 氣4gR1+16啤-1.V0考慮到（4）式有v2=1(v2+ Jv0+16g2R2),Vmax=后=J*(v0 + Jv：+16g2R2).(8)(9)二、（20 分）一長(zhǎng)為 21 的輕質(zhì)剛性細(xì)桿位于水平的光滑桌面上，桿的兩端分別固定一質(zhì)量為m 的小物塊 D 和一質(zhì)量為:m（ :為常數(shù)）的小物塊 B，桿可繞通過小物塊 B 所在端的豎直固定轉(zhuǎn)軸 無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng) 一質(zhì)量為 m 的小環(huán) C 套在細(xì)桿上（C 與桿密接）

13、，可沿桿滑動(dòng)，環(huán)C 與桿之間的摩擦可忽略 一輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為 I，勁度系數(shù)為 k,兩端分別與小環(huán) C 和物塊 B 相連 一質(zhì)量為 m 的 小滑塊 A 在桌面上以垂直于桿的速度飛向物塊D，并與之發(fā)生完全彈性正碰，碰撞時(shí)間極短碰撞時(shí)滑塊 C 恰好靜止在距軸為 r （rl）處1. 若碰前滑塊 A 的速度為Vo，求碰撞過程中軸受到的作用力的沖量；2. 若碰后物塊 D、C 和桿剛好做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求碰前滑塊A 的速度Vo應(yīng)滿足的條件參考解答：1.由于碰撞時(shí)間t很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結(jié)束設(shè)碰后 A、C、D 的速度分別為VA、VC、VD，顯然有2IVD= VCr（|）以 A、B、C、D 為系統(tǒng)，在碰撞過程中，

14、系統(tǒng)相對(duì)于軸不受外力矩作用，其相對(duì)于軸的角動(dòng)量守恒方向與 Vo方向相同mvD2I mvCr mvA2I = mv02I 由于軸對(duì)系統(tǒng)的作用力不做功，系統(tǒng)內(nèi)僅有彈力起作用，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結(jié)束，所以不必考慮彈性勢(shì)能的變化1 mvD221212mvcmvA2 212mvo2由、（3）式解得4IrVC2Vo,8I rVD22Vo,8I +r2rVA22Vo8I +r代替（3）式，可利用彈性碰撞特點(diǎn)Vo=VD-VA 同樣可解出（4） .設(shè)碰撞過程中 D 對(duì) A 的作用力為Fi，對(duì) A 用動(dòng)量定理有2 2嘰41 十 rFt =mvAmvo2-2mvo,8I +r方向與 Vo方

15、向相反于曰 A 對(duì) D 的作用力為 F1的沖量為疋,2 2A4I 十 rF222 mvo8I +r(2).又由于碰撞時(shí)間 At(3)(4)(3 )(5)(6)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 20 分第 1 問 16 分，（1）式 1 分，（2）式 2 分，（3）式 2 分，式 2 分，（5）式 2 分，（6）式 1 分，（7）式 1分，（8）式 1 分，（9）式 2 分，（10）式 1 分，（11）式 1 分；以 B、C、D 為系統(tǒng)，設(shè)其質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸的距離為x，mr +m2lx =(黒亠2l r川2質(zhì)心在碰后瞬vc41(21 r)v x22vo r (a +2)(81 +r )(8)軸與桿的作用時(shí)間也為.t，設(shè)

16、軸對(duì)桿的作用力為 F2，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有x x41(21 +r)F2二 t Fr=t -2 mv22mvo.v/ 8l +r(9)由此得 r（2l r）F2 -1222mvo8l +r方向與 vo方向相同因而，軸受到桿的作用力的沖量為(10)(11)方向與 vo方向相反注意：因彈簧處在拉伸狀態(tài)，碰前軸已受到沿桿方向的作用力；在碰撞過程 中還有與向心力有關(guān)的力作用于軸但有限大小的力在無限小的碰撞時(shí)間內(nèi)的沖量趨于零，已忽略代替（7）-（9）式，可利用對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)量F2：t Fvt 二 mvCmvD.也可由對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理代替（7）-（9）2值得注意的是，（1）、（3）式是當(dāng)碰撞時(shí)間極短、以至于彈

17、簧來不及伸縮的條件下才成立.如果彈簧的彈力恰好提供滑塊 C 以速度VC4lr8vo繞過 B 的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即卜、vC16l2r2k r T二m2壬mvor (8l +r )(12)則彈簧總保持其長(zhǎng)度不變，（1）、（2）、（3）式是成立的.由（12）式得碰前滑塊 A 的速度 Vo應(yīng)滿足的條4l N mr(13)可見，為了使碰撞后系統(tǒng)能保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，碰前滑塊A 的速度大小 vo應(yīng)滿足（13）式.第 2 問 4 分，（12）式 2 分，（13）式 2 分(25 分)一質(zhì)量為 m、長(zhǎng)為 L 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過其一端的光滑水平軸0在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺，1.令，=m

18、表示細(xì)桿質(zhì)量線密度當(dāng)桿以角速度繞過其一端的光滑水平軸0在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)L時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可表示為Ek二 k；L式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù) 已知在同一單位制下，兩物理量當(dāng)且僅當(dāng)其數(shù)值和單位都相 等時(shí)才相等由此求出:-、-和 的值2.已知系統(tǒng)的動(dòng)能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時(shí)隨質(zhì)心一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和系統(tǒng)在質(zhì)心系(隨質(zhì)心平動(dòng)的參考系)中的動(dòng)能之和，求常數(shù)k的值3 試求當(dāng)桿擺至與水平方向成V 角時(shí)在桿上距O點(diǎn)為 r 處的橫截面兩側(cè)部分的相互作用力.重力加速度大小為提示：如果X(t)是 t 的函數(shù)， 而Y(X(t)是X(t)的函數(shù)，貝U Y(X(t)對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)為dY(X(t)dY dXdtdX

19、dt例如，函數(shù)cos(t)對(duì)自變量t的導(dǎo)數(shù)為dcos v(t)dcos v d vdtd 日 dt參考解答:1.當(dāng)桿以角速度 繞過其一端的光滑水平軸0在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)能是獨(dú)立變量，、：和L 的函數(shù)，按題意可表示為Ek= k L式中，k為待定常數(shù)(單位為 1)令長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的單位分別為 為相互獨(dú)立的基本單位)，則 、 、L 和 Ek的單位分別為=M L二T：L =L,2 2EkHML T在一般情形下，若q表示物理量q的單位，則物理量q可寫為q=(q)q式中，(q)表示物理量q在取單位q時(shí)的數(shù)值這樣，(1)式可寫為(Ek)Ek=k( )：( 廠(L) ： IL(1)L、M和T(它們可視

20、在由表示的同一單位制下，上式即(17)(Ek) =k( )：( J U)此=丁 JL將中第四式代入式得ML2T- =M-L -：Ti(2)式并未規(guī)定基本單位L、M 和T的絕對(duì)大小，因而(7)式對(duì)于任意大小的L、M 和T均成立，于是直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，因而，桿在質(zhì)心系中的動(dòng)能Ek,r為將(9)、(11)、(12)式代入(10)式得(13)由此解得(14)于是(15)3.以細(xì)桿與地球?yàn)橄到y(tǒng)，下擺過程中機(jī)械能守恒(16)由(15)、(16)式得所以2.由題意，桿的動(dòng)能為其中，Ek =Ek,cEk,rEk,c(8)(9)(10)(11)注意到，桿在質(zhì)心系中的運(yùn)動(dòng)可視為兩根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的桿過其公共端(即質(zhì)心)的光

21、滑水平軸在鉛2Ek,r(12)_ L、2=2Ek( ，2k，2(17)3gsinqL而 an為質(zhì)心的法向加速度的大小由(19)、(20)、(21)、(22)式解得評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 25 分.第 1 問 5 分，(2)式 1 分，(6)式 2 分，(7)式 1 分，(8)式 1 分;方法正確得出此問結(jié)果的，同樣給分;第 3 問 13 分，(16)式 1 分，(17)式 1 分，(18)式 1 分，(19)式 2 分, 式 2 分，(23)式 1 分，(24)式 1 分；不依賴第 1、2 問的結(jié)果，用其他方法正確得出此以在桿上距0點(diǎn)為 r 處的橫截面外側(cè)長(zhǎng)為 L_r 的那一段為研究對(duì)象，該段質(zhì)量為

22、L_r ,其質(zhì)心速度為(18)設(shè)另一段對(duì)該段的切向力為T (以二增大的方向?yàn)檎较?)，法向(即與截面相垂直的方向)力為N(以指向0點(diǎn)方向?yàn)門 - L r gCOST-，L r 色(19)式中，at為質(zhì)心的切向加速度的大小dtN - - L -r gsin v - L -r a.L rd，2 d?L r d d 3 L r g cos2 dr dt4L(20)(21)an2L r=to -23 L r gsin2L(22)T =1mgcosr4L(23)N+5L 3rI2Lmg sin v(24)第 2 問 7 分，(10)式 1 分，(11)式 2 分，(12)式 2 分，(14)式 2 分

23、;不依賴第1 問的結(jié)果，用其他(20)式 2 分,(21)式 2 分,(22)問結(jié)果的, 同樣給分四、（20 分）圖中所示的靜電機(jī)由一個(gè)半徑為R、與環(huán)境絕緣的開口（朝上）金屬球殼形的容器和一個(gè)帶電液滴產(chǎn)生器G 組成.質(zhì)量為 m、帶電量為q的球形液滴從 G 緩慢地自由掉下（所謂緩慢，意指在G 和容器口之間總是只有一滴液滴）液滴開始下落時(shí)相對(duì)于地面的高度為h.設(shè)液滴很小，容器足夠大，容器在達(dá)到最高電勢(shì)之前進(jìn)入容器的液體尚未充滿容器忽略G 的電荷對(duì)正在下落的液滴的影響 重力加速度大小為g.若容器初始電勢(shì)為 零，求容器可達(dá)到的最高電勢(shì) Vmax.參考解答：設(shè)在某一時(shí)刻球殼形容器的電量為Q.以液滴和容器

24、為體系，考慮從一滴液滴從帶電液滴產(chǎn)生器G出口自由下落到容器口的過程 根據(jù)能量守恒有mgh +k- Jmv2+2mgR + kQq.hR 2R式中，v 為液滴在容器口的速率，k是靜電力常量由此得液滴的動(dòng)能為由此得容器的最高電勢(shì)為由和（5）式得mg(h _R)(1)12mv2= mg(h _2R) -kQq(h -2R)(h R)R從上式可以看出，隨著容器電量Q 的增加，落下的液滴在容器口的速率口的速率為零時(shí)，不能進(jìn)入容器，容器的電量停止增加，容器達(dá)到最高電勢(shì)v 不斷變??；當(dāng)液滴在容器設(shè)容器的最大電量為Qmax，則有mg(h -2R) kQmaxq(h -2R)(h R)R=0.Qmaxmg (h

25、 - R)R-kqVmaxQmaxRVmax評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 20 分.（1）式 6 分，（2）式 2 分，（3）式 4 分，（4）式 2 分，（5）式 3 分，（6）式 3分五、（25 分）平行板電容器兩極板分別位于z=d的平面一 2內(nèi)，電容器起初未被充電整個(gè)裝置處于均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B，方向沿 x 軸負(fù)方向，如圖所示1. 在電容器參考系S中只存在磁場(chǎng)；而在以沿 y 軸正方向的恒定速度（0,v,0）（這里（0,v,0）表示為沿 x、y、z 軸正方向的速度分量分別為 0、 v、 0， 以下類似） 相對(duì)于電容器運(yùn)動(dòng)的 參考系S中,可能既有電場(chǎng)（Ex,E；,Ez）又有磁場(chǎng)（B；,B,Bz

26、）.試在非相對(duì)論情形下，從伽利略速度 變換，求出在參考系S中電場(chǎng)（Ex, Ey,Ez）和磁場(chǎng)（B；, By,Bz）的表達(dá)式已知電荷量和作用在物體上 的合力在伽利略變換下不變2. 現(xiàn)在讓介電常數(shù)為 ；的電中性液體（絕緣體）在平行板電容器兩極板之間勻速流動(dòng)，流速大小為v，方向沿y軸正方向在相對(duì)液體靜止的參考系（即相對(duì)于電容器運(yùn)動(dòng)的參考系）S中，由于液體處在第 1 問所述的電場(chǎng)（E；,Ey,Ez）中，其正負(fù)電荷會(huì)因電場(chǎng)力作用而發(fā)生相對(duì)移動(dòng)（即所謂極化 效應(yīng)），使得液體中出現(xiàn)附加的靜電感應(yīng)電場(chǎng)，因而液體中總電場(chǎng)強(qiáng)度不再是（Ex,Ey,Ez），而是（Ex, Ey,Ez），這里；o是真空的介電常數(shù)這將導(dǎo)致

27、在電容器參考系S中電場(chǎng)不再為零試求電容Z器參考系S中電場(chǎng)的強(qiáng)度以及電容器上、下極板之間的電勢(shì)差（結(jié)果用；0、 ；、v、B 或（和）d表出）參考解答:1. 一個(gè)帶電量為q的點(diǎn)電荷在電容器參考系S中的速度為（山，比,山），在運(yùn)動(dòng)的參考系S中的速度 為（山從山）在參考系S中只存在磁場(chǎng)（Bx,By,Bz） =（-B,0,0），因此這個(gè)點(diǎn)電荷在參考系S中所受 磁場(chǎng)的作用力為Fx=0,Fy二-qUzB,（1）Fz二 qUyB在參考系S中可能既有電場(chǎng)（Ex,Ey,Ez）又有磁場(chǎng)（Bx,By,Bz），因此點(diǎn)電荷q在S參考系中所受 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的作用力的合力為FF F | F Fr FFx=q （ExUyBz-U

28、zBy）,Fy=q （Ey-UxBzUzBx）,Fz_q （EzUxByUyBx）兩參考系中電荷、合力和速度的變換關(guān)系為(9)對(duì)于任意的(Ux,Uy,Uz)都成立，故(Ex,Ey,Ez) =(0,0,(-1)vB),(Bx,By,Bz) =(-B,0,0)可見，在電容器參考系S中的磁場(chǎng)仍為原來的磁場(chǎng)，現(xiàn)由于運(yùn)動(dòng)液體的極化，也存在電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度如(9)中第一式所示.q 二 q,(Fx；Fy；Fz) =(Fx,Fy,Fz),(Ux, Uy, Uz)= (Ux,Uy,uz)-(0, v,0)由(1)、(2)、(3)式可知電磁場(chǎng)在兩參考系中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足Ex(Uy-V)Bz-UzBy=0,

29、Ey_UxBzUzBx = -UzB,EzUxBy- (Uy- v) Bx= UyB它們對(duì)于任意的(Ux,Uy,Uz)都成立，故(Ex,Ey,Ez) =(0,0, vB),(Bx,By,Bz)=(-B,O,O)可見兩參考系中的磁場(chǎng)相同，但在運(yùn)動(dòng)的參考系S沖卻出現(xiàn)了沿 z 方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).2.現(xiàn)在，電中性液體在平行板電容器兩極板之間以速度(0, v,0)勻速運(yùn)動(dòng).電容器參考系S中的磁場(chǎng)會(huì)在液體參考系S中產(chǎn)生由 (5)式中第一個(gè)方程給出的電場(chǎng).這個(gè)電場(chǎng)會(huì)把液體極化，使得液體中的電場(chǎng)為(Ex,Ey,Ez-(0,0,vB).為了求出電容器參考系S中的電場(chǎng)，我們?cè)俅慰紤]電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度在兩個(gè)

30、參考系之間的變s中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)來確定電容器參考系S中的電場(chǎng)和磁場(chǎng).考慮一帶電量為q的點(diǎn)電荷在兩參考系中所受的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的作用力.在液體參考系S沖，這力(Fx,Fy, Fz)如(2)式所示.它在電容器參考系S中的形式為Fx= q(ExUyBzFy二 q(Ey_UxBzFz=q(EzUxBy_UzBy),UzBx),_UyBx)利用兩參考系中電荷、合力和速度的變換關(guān)系(3)以及式，可得ExUyBz-UzByEyEzUxBy_ Uy=0,二-UzB,；0vB(Uy-V)B(8)V - _Ezd .(10)注意到(9)式所示的電場(chǎng)為均勻電場(chǎng)，由它產(chǎn)生的電容器上、下極板之間的電勢(shì)差為V - _Ezd .

31、(10)由（9）式中第一式和（10）式得評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 25 分.第 1 問 12 分，式 1 分，（2）式 3 分，（3）式 3 分，式 3 分，（5）式 2 分；第 2 問 13 分，（6）式 1 分，（7）式 3 分，（8）式 3 分，（9）式 2 分，（10）式 2 分，（11）式 2 分.(11)六、（15 分）溫度開關(guān)用厚度均為0.20 mm的鋼片和青銅片作感溫元件；在溫度為20 C時(shí)，將它們緊貼，兩端焊接在一起，成為等長(zhǎng) 的平直雙金屬片.若鋼和青銅的線膨脹系數(shù)分別為1.0 10直/度和2.0 10/度.當(dāng)溫度升高到120 C時(shí)，雙金屬片將自動(dòng)彎成圓弧 形，如圖所示試求雙金屬片彎曲

32、的曲率半徑.（忽略加熱時(shí)金屬片厚度的變化.）參考解答：設(shè)彎成的圓弧半徑為r，金屬片原長(zhǎng)為I，圓弧所對(duì)的圓心角為，鋼和青銅的線膨脹系數(shù)分別為和：-2，鋼片和青銅片溫度由X =20 C升高到T2=120 C時(shí)的伸長(zhǎng)量分別為.斗和.：l2.對(duì)于鋼片（r弓），l耳（1）:|1 =1：1（T2- TJ式中，d -0.20 mm.對(duì)于青銅片（r弓）Tl2計(jì)2 =12（T2_T1）聯(lián)立以上各式得2（12）（T2-T1）2（：2-：1）仃2-邛評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 15 分.（1）式 3 分，（2）式 3 分，（3）式 3 分，（4）式 3 分，（5）式 3 分.d =2.0 102mm七、（20 分）一斜劈形透明

33、介質(zhì)劈尖，尖角為 二，高為 h .今以尖角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系 如圖所示；劈尖斜面實(shí)際上是由一系列微小臺(tái)階組成的，在圖（a）中看來，每一個(gè)小臺(tái)階的前側(cè)面與 xz 平面平行，上表面與 yz 平面平行.劈尖介質(zhì)的折射率 n 隨 x 而變化，n（x） =1 bx，其中常數(shù)b 0. 一束波長(zhǎng)為的單色平行光沿 x 軸正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透鏡，在劈尖與薄凸 透鏡之間放一檔板，在檔板上刻有一系列與z 方向平行、沿y方向排列的透光狹縫，如圖（b）所示.入射光的波面（即與平行入射光線垂直的平面）、劈尖底面、檔板平面都與x 軸垂直，透鏡主光軸為x軸要求通過各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點(diǎn)處得到加強(qiáng)而

34、形成亮紋.已知第一條狹縫位于y= 0處；物和像之間各光線的光程相等.1.求其余各狹縫的y坐標(biāo)；2試說明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求.圖(b)參考解答:1.考慮射到劈尖上某y值處的光線，計(jì)算該光線由x=0到 x 二 h 之間的光程：y .將該光線在介質(zhì)中的光程記為，在空氣中的光程記為；2.介質(zhì)的折射率是不均勻的，光入射到介質(zhì)表面時(shí)，在x=0處，該處介質(zhì)的折射率 n 0 =1 ；射到x處時(shí)，該處介質(zhì)的折射率 n x =1 bx.因折射率隨 x 線性增加，光線從x=0處射到x-g （ h1是劈尖上 y 值處光線在劈尖中傳播的距離）處的光程：1與光通過折射率等于平均折射率的均勻介質(zhì)的光程相同

35、，即圖(1)x車=nh1=h1-bh22忽略透過劈尖斜面相鄰小臺(tái)階連接處的光線（事實(shí)上，可通過選擇臺(tái)階的尺度和檔板上狹縫 的位置來避開這些光線的影響），光線透過劈尖后其傳播方向保持不變，因而有于是由幾何關(guān)系有故從介質(zhì)出來的光經(jīng)過狹縫后仍平行于 聚在透鏡焦點(diǎn)處對(duì)于 y =0 處，由上式得d(0)= h.y處與 y =0 處的光線的光程差為(8)由于物像之間各光線的光程相等，故平行光線之間的光程差在通過透鏡前和會(huì)聚在透鏡焦點(diǎn)處時(shí)保持不變；因而（8）式在透鏡焦點(diǎn)處也成立為使光線經(jīng)透鏡會(huì)聚后在焦點(diǎn)處彼此加強(qiáng)，要求兩束光的光程差為波長(zhǎng)的整數(shù)倍，即b22 -y tan r - k，, k =1,2,3,卄| .2由此得除了位于y=0處的狹縫外，其余各狹縫對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)依次為A, 2A,3A, 4AJH .2.各束光在焦點(diǎn)處彼此加強(qiáng)，并不要求（11）中各項(xiàng)都存在.將各狹縫彼此等距排列仍可能滿足上述要求.事實(shí)上，若依次取 k=m, 4m, 9m,（|l，其中 m 為任意正整數(shù)，則ym =mA, y4m=2 . mA, y9m=3 . mA, |H .（12）這些狹縫顯然彼此等間距，且相鄰狹縫的間距均為.mA，光線在焦點(diǎn)處依然相互加強(qiáng)而形成亮紋評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 20 分.訂 y = h y2tan2v .x 軸，狹縫的 y 值應(yīng)與對(duì)應(yīng)介質(zhì)的 y 值相同，這些平行光線會(huì)