費(fèi)馬點(diǎn)與中考試題

1、“ 費(fèi)馬點(diǎn) ” 與中考試題1 / 5 “費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題費(fèi)爾馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家， 擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一費(fèi)馬點(diǎn) 就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)費(fèi)爾馬的結(jié)論：對于一個(gè)各角不超過 120 的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120 的點(diǎn)，對于有一個(gè)角超過120 的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)下面簡單說明如何找點(diǎn)p 使它到abc三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和pa+pb+pc 最??？這就是所謂的費(fèi)爾馬問題圖 1 解析 ：如圖 1，把 apc 繞 a 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到 apc ，連接 pp 則 app 為等邊三角形，ap= pp，pc =pc，所以 pa+pb+pc=

2、pp+ pb+ pc點(diǎn) c 可看成是線段ac 繞 a 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 而得的定點(diǎn)， bc為定長，所以當(dāng) b、p、p、c 四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，pa+pb+pc 最小這時(shí) bpa=180 -app=180 -60 =120 ，apc=a pc=180 -ap p=180 -60 =120 ，bpc=360 -bpa-apc=360 -120 -120 =120因此， 當(dāng)abc的每一個(gè)內(nèi)角都小于120 時(shí)，所求的點(diǎn)p 對三角形每邊的張角都是120 ，可在 ab、bc 邊上分別作120 的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是p 點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120 時(shí)，所求的p 點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)費(fèi)爾馬問題告訴

3、我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考例 1 （2008 年廣東中考題）已知正方形abcd 內(nèi)一動點(diǎn)e 到 a、b、c 三點(diǎn)的距離之和的最小值為26，求此正方形的邊長“ 費(fèi)馬點(diǎn) ” 與中考試題2 / 5 圖 2圖 3分析 ：連接 ac，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)e 到 a、b、c 三點(diǎn)的距離之和就是到abc三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和，這實(shí)際是費(fèi)爾馬問題的變形，只是背景不同解如圖 2，連接 ac，把 aec 繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 ，得到 gfc ，連接 ef、bg、ag，可知 efc、 agc 都是等邊三角形，則ef=ce又

4、fg=ae，ae+be+ce = be+ef+fg（圖 4） 點(diǎn) b、點(diǎn) g 為定點(diǎn)（ g 為點(diǎn) a 繞 c 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 所得） 線段 bg 即為點(diǎn) e 到 a、b、c 三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)e、f 兩點(diǎn)都在bg上（圖 3） 設(shè)正方形的邊長為a，那么bo=co=22a，gc=2a, go=62a bg=bo +go =22a+62a 點(diǎn) e 到 a、 b、c 三點(diǎn)的距離之和的最小值為2622a+62a=26，解得a=2注本題旋轉(zhuǎn) aeb、 bec 也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試?yán)?2 （2009 年北京中考題）如圖 4，在平面直角坐標(biāo)系xoy中， abc 三個(gè)頂點(diǎn)的坐

5、標(biāo)分別為6,0a，6,0b，0,4 3c，延長ac 到點(diǎn) d, 使 cd=12ac,過點(diǎn) d 作deab 交 bc 的延長線于點(diǎn)e. （1）求 d 點(diǎn)的坐標(biāo)；“ 費(fèi)馬點(diǎn) ” 與中考試題3 / 5 （2）作 c 點(diǎn)關(guān)于直線de 的對稱點(diǎn)f,分別連結(jié)df 、ef，若過 b 點(diǎn)的直線ykxb將四邊形 cdfe 分成周長相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè) g 為 y 軸上一點(diǎn)，點(diǎn)p 從直線ykxb與 y 軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y 軸到達(dá) g點(diǎn)，再沿ga 到達(dá) a 點(diǎn)，若 p 點(diǎn)在 y 軸上運(yùn)動的速度是它在直線ga 上運(yùn)動速度的2 倍，試確定 g 點(diǎn)的位置，使p 點(diǎn)按照上述要求到達(dá)a 點(diǎn)所用的時(shí)

6、間最短分析和解 ： （1）d 點(diǎn)的坐標(biāo)（ 3，6 3） （過程略）（2） 直線 bm 的解析式為36 3yx（過程略）yxedcbaoyxodmfecba圖 4 （3）如何確定點(diǎn)g 的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)健所在設(shè)q 點(diǎn)為 y 軸上一點(diǎn)， p 在 y軸上運(yùn)動的速度為v，則 p 沿 mqa 運(yùn)動的時(shí)間為2mqaqvv，使 p 點(diǎn)到達(dá) a 點(diǎn)所用的時(shí)間最短，就是12mq aq 最小，或mq2aq 最小解法 1 bq=aq，mq2aq 最小就是mqaq bq 最小，就是在直線mo上找點(diǎn) g 使他到 a、b、m 三點(diǎn)的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考

7、慮作旋轉(zhuǎn)變換把 mqb 繞點(diǎn) b 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到 m q b，連接 qq 、mm （圖 5） ，可知qq b、 mm b 都是等邊三角形，則qq=bq又 mq=mq，mqaqbq= mq+ qq+aq點(diǎn) a、m 為定點(diǎn)，所以當(dāng)q、q 兩點(diǎn)在線段a m上時(shí)， mqaqbq 最小由條件可證明 q 點(diǎn)總在 am上，所以 a m 與 om 的交點(diǎn)就是所要的g 點(diǎn)（圖 6） 可證 og=12mg“ 費(fèi)馬點(diǎn) ” 與中考試題4 / 5 圖 5 圖 6 圖 7解法 2 考慮12mqaq 最小， 過 q 作 bm 的垂線交bm 于 k， 由 ob=6， om=6 3，可得 bmo30 ，所以 qk12mq

8、要使12mq aq 最小，只需使aqqk 最小， 根據(jù)“垂線段最短” ，可推出當(dāng)點(diǎn)a、q、k 在一條直線上時(shí)，aq+qk 最小，并且此時(shí)的qk 垂直于 bm，此時(shí)的點(diǎn)q 即為所求的點(diǎn) g（圖 7） 過 a 點(diǎn)作 ahbm 于 h, 則 ah 與 y 軸的交點(diǎn)為所求的g 點(diǎn).由 ob=6，om=6 3，可得obm=60 ， bah=30在 rtoag 中， og=aotanbah=2 3g 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2 3） （g 點(diǎn)為線段oc 的中點(diǎn)）例 3 （2009 年湖州中考題）若點(diǎn)p 為 abc 所在平面上一點(diǎn)，且apb=bpc=cpa=120 , 則點(diǎn) p 叫做 abc 的費(fèi)馬點(diǎn)（1）若 p

9、為銳角 abc 的費(fèi)馬點(diǎn)，且 abc=60 ， pa=3， pc=4, 則 pb 的值為；（2）如圖 8，在銳角 abc 的外側(cè)作等邊acb，連結(jié) bb求證： bb過 abc 的費(fèi)馬點(diǎn) p，且 bb =pa+pb+pc圖 8 解： （1）利用相似三角形可求pb 的值為2 3（2）設(shè)點(diǎn) p 為銳角 abc 的費(fèi)馬點(diǎn)，“ 費(fèi)馬點(diǎn) ” 與中考試題5 / 5 即 apb=bpc=cpa=120如圖 8， 把 acp 繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 到 b ce， 連結(jié) pe， 則 epc 為正三角形 b ec = apc =120 ， pec=60 b ec+pec=180即 p、 e、b 三點(diǎn)在同一直線上 bpc=120 , cpe=60 ， bpc +cpe =180 ，即 b、 p、e 三點(diǎn)在同一直線上 b、p、e、b四點(diǎn)在同一直線上，即bb 過 abc 的費(fèi)馬點(diǎn)p又 pe=pc，be= pa， bb=e b+pb+pe=p a+pb+pc注通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)在使用這