2020年九年級初中必會幾何模型-三垂直模型

1、三垂直模型【模型概述】 出現(xiàn)3個直角，且3個直角的頂點共線時,角的邊相交會形成 相似（含全等） 三角形?！净灸Ｐ汀繄D1圖1和圖2中，三個直角頂點B, C, D共線;當(dāng) ABC和4CDE三組對應(yīng)邊均不相等時，有 ABCs/XCDE；當(dāng)4ABC和4CDE任意一組對應(yīng)邊相等時（如 AC=CE）,有ABCACDE;同角的余角相等證明思路: 解題時往往只含有兩個甚至一個垂直關(guān)系，需通過作垂線構(gòu)造出三垂直模 型，從而構(gòu)造出型等或相似三角形.利用型等和相似的性質(zhì)求解角度和線段長 等問題。典型例題1-1 已知：/ACB=90°, AC=BC, ADXCM, BEXCM,垂足分別為 D, E。如圖1

2、,線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是請寫出線段AD, BE, DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明。如圖2,結(jié)論還成立嗎？如不成立，寫出并證明 AD, BE, DE之間的數(shù)量關(guān)系。圖1【小結(jié)】典型例題1-2如圖，已知矩形ABCD的頂點A, D分別落在x軸，y軸上，OD=2OA=6,求拋物線的解析式;B (4,0),交y軸于點Co點D為y軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點 D使必*亡=?若存在,求BE的長。請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?！拘〗Y(jié)】變式訓(xùn)練1-1如圖，已知直線11 / 12/ 13 / 14，相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則sin a =()變式

3、訓(xùn)練1-2如圖1, OA=2, OB=4,以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰 RtAABC, 求C點的坐標(biāo)；如圖2, P為y軸負半軸上一個動點，當(dāng)P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰RtA APD,過D作DE，x軸于E點，求OP- DE的(3)如圖3,已知點F坐標(biāo)為(-2,-2),當(dāng)G在y軸的負半軸上沿負方向運動時，作Rt FGH,始終保持/ GFH=90 ,FG與y軸負半軸交于點 G(0,m),FH與x軸正半軸交于點H(n,0),當(dāng)G點在y軸的負半軸上沿負方向運動時，以下兩個結(jié)論：mn為定值；m+n為定值，其中只有一個結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)如圖，直線 > =

4、-標(biāo)：4交x軸于點A,交y軸于點B,另有過點B的直線與x軸交于點C,使得/ ABC=45°,求點C坐標(biāo)。擴展模型：共線三等角模型：當(dāng)三垂直模型中 3個直角變?yōu)橄嗟鹊匿J角或鈍角時，仍會產(chǎn) 生全等或相似三角形。解讀：圖1和圖2中，大小均為的三個銳角（或鈍角）頂點在同一直線你上。當(dāng)三組對應(yīng)邊均不相等時，圖 1中有 ABCs/XECD,圖2中有AABCs/X CDE （注意對應(yīng)關(guān)系）當(dāng)4ABC和4CDE的任意一組對應(yīng)邊相等時，有兩三角形全等。證明思路：三角形的外角和定理圖1中，若C為AE的中點，連接BD,則有 ABCszecdszcbd （可記 為中點三相似”）三垂直模型是共線三等角模型的特

5、殊情況。典型例題2-2如圖，在 ABC中,AB=AC=10，點D是邊BC上一動點(不與B,C重合),/ ADE=/B=aDE交AC于點EH COSa g .下列給出的結(jié)論中，正確的有()ADEs/XACD；當(dāng)BD=6時，4ABC與4DCE全等；DCE為直角三角形時，BD為8或12.5; 0<CE?6.4.【小結(jié)】變式訓(xùn)練2-1如圖，CD是經(jīng)過/ BCA頂點C的一條直線，CA=CB.E, F分別是直線CD上 兩點，且 / BEC=/CFA=/a.若直線CD經(jīng)過/ BCA的內(nèi)部，且E, F在射線CD上，請解決下面兩個問 題：如圖 1,若/ BCA=90°,/a=90°,W

6、J BE CF；EF|BE-AF|（填“>”，女”“二”；）如圖（2），若0°</BCA<180° ,請?zhí)砑右粋€關(guān)于/ 口與/ BCA關(guān)系的條件 ， 使中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立。如圖，若直線CD經(jīng)過/ BCA的外部2 a 士 BCA,請?zhí)岢鯡F,BE,AF三條線段數(shù) 量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）.變式訓(xùn)練2-2如圖，在 ABC中,AB=AC=15，點D是BC邊上的一動點（不與B,C重合）,/ADE=一 .一 ,3 / B=/ aDE父AB于點E,且tan/ a q ,有以下的結(jié)論：ADEs/XACD;當(dāng)CD=9時,4ACD與4DBE全等；

7、匕BDE為直角三角形時,BD為12或2 ;®0<BE?M，其中正確的結(jié)論是一（填入正確結(jié)論的序號）中考真題如圖，AEXAB,且AE=AB, BCXCD,且BC=CD,請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù) 計算圖中實線所圍成的圖形的面積 S=.如圖，直線11 / 12如3,一等腰直角三角形 ABC的三個頂點A,B,C分別在11,12,13上,/ACB=90°,AC交12于點D,已知11與12的距離為1,12與13的距離為3,這樣AB_AD:CD=1:3，則的值為（）如圖，矩形ABCD中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放 置，則矩形ABCD的周長為.如圖，在x軸的上方，直

8、角/ BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，若/ BOA的兩 邊分別與函數(shù)尸二-：、的圖象交于B、A兩點，則/ OAB的大小的變化趨勢為（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCD的邊AB: BC=3: 2,點A (3,0) , B (0,6),分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D,且與邊BC交于點E,則點E的坐標(biāo)為.y如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，OA=AB,/OAB=90°,反比例函數(shù)一工(x>0)的圖象經(jīng)過A,B兩點。若點A的坐標(biāo)為(n,1),則k的值為一.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為(-1,1)，點B在x軸正=g半軸上，點D在第三象限的雙曲線工

9、上，過點C作CE/ x軸交雙曲線于點E,連接BEJM BCE的面積為()如圖，一次函數(shù)y=kx+b(kw0的圖象與x軸，y軸分別交于A(-9,0) , B(0,6)兩點，過點C(2,0)作直線l與BC垂直，點E在直線l位于x軸上方的部分.(1)求一次函數(shù)y=kx+b(kw0的表達式；(2)若4ACE的面積為11,求點E的坐標(biāo)；(3)當(dāng)/ CBE=/ABO時，點E的坐標(biāo)為.如圖,在梯形ABCD中,AD/BC , BC=4,點M是AD的中點， MBC是等邊三 (1)求證：梯形ABCD是等腰梯形；動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且/ MPQ=600保持不變。設(shè)PC=x, MQ=y,求y與x的函

10、數(shù)關(guān)系式；在(2)中當(dāng)y取最小值時，判斷 PQC的形狀，并說明理由。(1)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形。如圖(1), 已知：在 ABC中,/ BAC=90° , AB=AC,直線l經(jīng)過點A, BDL直線l, CE± 直線l,垂足分別為點D. E.證明：DE=BD+CE.(2)組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖(2)，將中的條 件改為：在 ABC中，AB=AC, D. A. E三點都在直線 m上，并且有/ BDA=/ AEC=/BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角。請問結(jié)論 DE = BD+CE是否成立？J口 成立，請你給出證

11、明；若不成立，請說明理由。數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖 (3),過4ABC的邊AB、AC向外作正方形 ABDE和正方形 ACFG, AH是BC邊 上的高，延長HA交EG于點I,求證：I是EG的中點。：；I圖1鄴酈請認真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:探究1:如圖1,在等腰直角三角形 ABC中,/ACB=90°,BC=a,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證：4BCD的面積為于 .(提示：過點D作BC邊上的高DE,可證 ABCA BDE)(2)探究2:如圖2,在一般的RtAABC中,/ ACB=90&#

12、176; ,BC=a,將邊AB繞點B順時針 旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.請用含a的式子表示 BCD的面積，并說明理 由。(3)探究3:如圖3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示 BCD的面積，要有探究 過程。如圖1,在？ABCD中，DHL AB于點H, CD的垂直平分線父 CD于點E,父AB 于點 F, AB=6, DH=4, BF: FA=1: 5.(1)如圖2,作FGLAD于點G,交DH于點M,將 DGM沿DC方向平移，得到 CGM；連接MB.求四邊形BHMM '的面積；直線EF上有一動點N,求4DNM周長的最小值.(2)如圖3,延長CB交EF于點Q,過點Q作QK/AB,過CD邊上的動點P 作PK/EF,并與QK交于點K,將4PKQ沿直線PQ翻折，使點K的對應(yīng)點3 圖P 。一 1發(fā)已知頂點為A拋物線尸=口卜一f 2經(jīng)過點最2),點c