第三章條件概率與條件期望

1、A學(xué)E R s I T丄YdA漢第三章 條件概率與條件期望為什么要研究條件概率與期望在解決現(xiàn)實(shí)問題時，常常需要計(jì)算在 部分信息已知時的概率和期望條件概率和條件期望本身是計(jì)算概率 和期望的有效方法本章主要內(nèi)容離散隨機(jī)變量的條件概率與條件期望連續(xù)隨機(jī)變量的條件概率與條件期望條件概率與條件期望的作用女學(xué)第一節(jié)離散隨機(jī)變量的條件概率與條件期望如果X和Y是離散隨機(jī)變量，在Y=y給定的條件下，X的條件概率密度函數(shù)定艾為：Pxiy(xI y) = PX = x| Y = y=PX = %Y二 yPY=yp(%y)pY(y)在Y=y給定的條件下，X的條件分布密度函 數(shù)定義為:Fxiy(x | y) = PX

2、W x | Y 二 y二工 px,Y(a | y)a<x2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,20125女學(xué)在Y=y的條件下，X的條件期望定義為：EX|Y=y = xPX = x|Y=y = xpx|Y(x|y)XX前面所有f特別地，如果X和Y獨(dú)立，那么, 的定義和無條件時的一樣。例3.1假定X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)p(x,y)為： p(l，l)=05, p(l,2)=0l, p(2,l)=0l, p(2,2)=03 計(jì)算在Y=1給定的條件下X的條件概率密度函 數(shù)。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012WUHAN UNI

3、VERSITY例3.2有n個零件，零件i在雨天運(yùn)轉(zhuǎn)的概率為pi, 在非雨天運(yùn)轉(zhuǎn)的概率為qi, i=l,2, ,n<明天下雨的概率為oc。計(jì)算在明天下雨時, 運(yùn)轉(zhuǎn)的零件數(shù)的條件期望。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012A漢A學(xué)E R s I T丄Yd第二節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量的條件概率與條件期望定義為：g)=ff驚) X和Y是連續(xù)隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為 f（x，y）,那么在Y=y時X的條件概率密度函數(shù)給定Y=y時X的條件期望定義為:EX|Y=y=Lxfx|Y(x|y)dx2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,201211A漢A

4、學(xué)E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學(xué)E R s I T丄Yd例3.3假定X和Y有聯(lián)合密度f (淫 y)=6 號(2 -x- y),0 <x<l,O<y<l0,其他對于0<y<l,計(jì)算給定Y=y時X的條件期望。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學(xué)E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學(xué)E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zha

5、ng ,2012#A漢A學(xué)E R s I T丄Yd例3.4 X和Y的聯(lián)合密度為ye_xy?0 < x<oo?0 < y <2 f(x, y) = p0,其他求 Eex/2|Y = 12012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012女學(xué)第三節(jié)條件概率與條件期望的應(yīng)用一、通過取條件期望計(jì)算期望對于任何的隨機(jī)變量X和Y,條件期望的重 要性質(zhì)：EX = EEX|Y注意：EX|Y本身是一個隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量Y的 函數(shù)，在Y=y處取值是EX|Y=y2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學(xué)E R s I T丄

6、Yd歷史書中的印刷錯誤數(shù)服從均值為5的例3.5假設(shè)我們正在讀一本概率書和一本歷史 書，在讀的一章概率書中的印刷錯誤數(shù) 服從均值為2的泊松分布，在讀的一章泊松分布，假定我們等可能地選取概率 書或歷史書，那么遇到的印刷錯誤數(shù)的 期望是多少？例3.6 （幾何分布的均值）連續(xù)拋擲一枚正面出現(xiàn)的概率為P的硬 幣直至出現(xiàn)正面為止，問需要拋擲的 次數(shù)的期望是多少？2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012例3.7某礦工身陷在有三個門的礦井之中，經(jīng) 第1個門的通道行進(jìn)2小時后，他將到達(dá) 安全地。經(jīng)第二個門的通道前進(jìn)3小時 后，他將回到原地。經(jīng)過第三個門的通 道前進(jìn)5小時后，他

7、還是回到原地。假 定這個礦工每次都等可能地選取任意一 個門，問直到他到達(dá)安全地所需時間的 期望是多少？2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學(xué)E R s I T丄Yd二、通過取條件期望計(jì)算方差方差的計(jì)算公式為：Var(X) = EX2-(EX)2用取條件期望分別計(jì)算兩個期望值2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012A漢A學(xué)E R s I T丄Yd例3.8連續(xù)地做每次成功率為p的獨(dú)立試驗(yàn)。N 是首次成功時的試驗(yàn)次數(shù)，求Var (N)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012女學(xué)20

8、12/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012 E是一個事件,X二由X的定義推出:三、通過取條件期望計(jì)算概率定義示性隨機(jī)變量X為:1,若E發(fā)生0,若E不發(fā)生EX=P(E)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,20122012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012EX|Y=y=P(E|Y=y)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012&岳4丸祐氏：、Mp(E-YHy)p(YHy)y 誡箱M聲3P(E)JLy7+8P (E_Y"y) fY(y)dx 謝爺ffiBsyJ82012/32Copyright©Pei Zhang -2012例3.9保險(xiǎn)公司假定參保人每年發(fā)生事故數(shù)是 均值依賴于參保人的泊松隨機(jī)變量，假 定一個隨機(jī)選取的參保人的泊松均值具 有密度函數(shù)為：g(2) = -2>0的伽馬分布。問一個隨機(jī)選取的參保人明 年恰有n次事故的概率是多少？四、其他應(yīng)用例3.10 （列表模型）考慮n個元素el,., e