二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)(大全)

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及提高訓(xùn)練1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)(1)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸.(2)函數(shù)的圖像及的符號(hào)關(guān)系.當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)3.二次函數(shù)的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于(包括重合)軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次

2、函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法(1)公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線.(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱(chēng)軸是.(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸及拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失9.拋物線中，的作用(1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這及中的完全一樣.(2)和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線,故：時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；(即、同號(hào))

3、時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線及軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，拋物線及軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,及軸交于正半軸；,及軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.(3)交點(diǎn)式：已知圖像及軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通

4、常選用交點(diǎn)式：.12.直線及拋物線的交點(diǎn)(1)軸及拋物線得交點(diǎn)為()(2)及軸平行的直線及拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).(3)拋物線及軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像及軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線及軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線及軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線及軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)拋物線及軸相離.(4)平行于軸的直線及拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像及二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩

5、組不同的解時(shí)及有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)及只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)及沒(méi)有交點(diǎn).(6)拋物線及軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線及軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故13二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系：(1)一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況(2)二次函數(shù)的圖象及軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)的圖象及軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)時(shí)自變量的值，即一元二次方程的根(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象及軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象及軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象及軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程

6、沒(méi)有實(shí)數(shù)根14.二次函數(shù)的應(yīng)用：(1)二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值；(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值15.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的基本思路：(1)理解問(wèn)題；(2)分析問(wèn)題中的變量和常量；(3)用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對(duì)問(wèn)題加以拓展等提高訓(xùn)練一、 填空題:1. 已知函數(shù)y=(m+2)xm(m+1)是二次函數(shù),則m=_.2. 二次函數(shù)y=-x2-2x的對(duì)稱(chēng)軸是x=_3. 函數(shù)s=2t-t2,當(dāng)t

7、=_時(shí)有最大值,最大值是_.4. 已知拋物線y=ax2+x+c及x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,則a+c=_.5. 拋物線y=5x-5x2+m的頂點(diǎn)在x軸上,則m=_.6. 已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象及x軸有兩個(gè)交點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是_.7. 已知二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象及x軸交于A,B兩點(diǎn),在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)C,且ABC的面積等于10,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi).8. 把拋物線y=2(x+1)2向下平移_單位后,所得拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為5.9. 如果二次函數(shù)y=x2-3x-2k,不論x取任何實(shí)數(shù),都有y>0,則k的取值范圍是_10.函數(shù)y

8、=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù))問(wèn)當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)： (l）它是二次函數(shù)；(2）它是一次函數(shù) ；(3）它是正比例函數(shù)；二.選擇題:13.拋物線y=(x-1)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( ) (A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.拋物線y=-x2+x+7及坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) (A) 3個(gè) (B) 2個(gè) (C) 1個(gè) (D) 0個(gè)15.把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,所得圖象的解析式是y=x2-3x+5,則有( ) (A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C) b=3,c=3

9、(D) b=-9,c=2116.若二次函數(shù)y=ax2+c,當(dāng)x取x1,x2(x1x2)時(shí),函數(shù)值相等,則當(dāng)x取x1+x2時(shí),函數(shù)值為 (A) a+c (B) a-c (C) -c (D) c17.當(dāng)a,b為實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=a(x-1)2+b的最小值為-1時(shí)有( ) (A) a<b (B) a=b (C) a>b (D) ab 18.已知函數(shù)y=3x2-6x+k(k為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(,y3),則有( )(A) y1<y2<y3 (B) y1>y2>y3 (C) y3>y1>y2 (D) y1>

10、y3>y219如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y=2x2-x-1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸上，那么一定有( ) (A) a=2或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-1 20拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)，且滿足4a+2b+c>0.以下結(jié)論(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正確的個(gè)數(shù)有( )(A) 1個(gè) (B) 2個(gè) (C) 3個(gè) (D) 4個(gè)三解答題：22已知拋物線y= x2-2x-8 （1）求證：該拋物線及x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若

11、該拋物線及x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，且它的頂點(diǎn)為P，求ABP的面積。23拋物線y= ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(1,4)、B(-1,0)、C(-2,5)三點(diǎn) （1）求拋物線的解析式并畫(huà)出這條拋物線； （2）直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)。試結(jié)合圖象，寫(xiě)出在第四象限內(nèi)拋物線上的所有整點(diǎn)的坐標(biāo)。24某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利過(guò)程。下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）及銷(xiāo)售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s和t之間的關(guān)系）。根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)s

12、（萬(wàn)元）及時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？-11243-1 1 2 3 4 5 6t（月）S(萬(wàn)元)(第24題) 25已知拋物線y= ax2+bx+c開(kāi)口向下，并且經(jīng)過(guò)A（0，1）和M（2，-3）兩點(diǎn)。 （1）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x= -1,求此拋物線的解析式； （2）如果拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，試求a的取值范圍；A、 4 B、 -4 C、-2 D、 27、零不是（ ）。A、非負(fù)數(shù) B、有理數(shù) C、正數(shù) D、整數(shù)8、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）。 A、-0.5是分?jǐn)?shù) B、0不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù) C、-2.74是負(fù)分?jǐn)?shù) D、非負(fù)數(shù)就是正數(shù)9、下列說(shuō)法正確的是（ ）(A)一個(gè)數(shù)的平方必是非負(fù)數(shù)； (B)一個(gè)數(shù)的平方必大于這個(gè)數(shù)；(C)一個(gè)數(shù)的奇次方是負(fù)數(shù)； (D)一個(gè)數(shù)的奇次方是正數(shù)。三 計(jì)算：-14-(1-0.5)××2-(-3)2 1（10.5）× 2（3）2.、用“”“”“=” 填空：（1）若ab0c,則;(2）若a0bc,則3、觀察算式：按規(guī)律填空：4、小吃店一周中每天的盈