新定義數(shù)列求解差策略

1、新定義數(shù)列求解策略1高考考情：以數(shù)列為背景的新定義問題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，考查頻次較高.2、命題形式：常見的有新定義、新規(guī)則等.3、求解策略：（1）準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)列新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,將題目 所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式 ,切忌同已有概念或定義相混淆.（2）方法選?。簩?duì)于數(shù)列新定義問題，搞清定義是關(guān)鍵，仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)（特殊處、簡單處）體 會(huì)題意，從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法.課前預(yù)習(xí)：1 11、若數(shù)列 滿足d （ N ”,d為常數(shù)），則稱數(shù)列：aJ為調(diào)和數(shù)列” .已知正項(xiàng)數(shù)列一、為調(diào)和數(shù)列，且d+b2+川+ d=90 =90,則b45的最大值【解析】由已知得b

2、n為等差數(shù)列,且b4+b6=20,又bn>o,所以b4be< 100,當(dāng)且僅當(dāng)b4=b6時(shí)等號(hào)成立.變式、若數(shù)列:an 滿足一=0, n N”,p為非零數(shù)列，則稱數(shù)列為“放飛”數(shù)an列。已知正項(xiàng)數(shù)列為“放飛”數(shù)列，且4641）八99 =299,則b8b92的最小值bn是 O變式：依題意可得 bn 1=qbn,則數(shù)列血？為等比數(shù)列.又bibzbslll b99二299二b5（）99,則b50 =2. bs b92 -2= 2b50 = 4,當(dāng)且僅當(dāng)b二b?2即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào),這個(gè)符號(hào)表示若干個(gè)數(shù)相乘.例如，可將1 X 2x 3x-x n記作ili N” .記TnTL 3ii,

3、其中3i為數(shù)列GJN”中的第i項(xiàng).i=1i若 an 二 2n -1,則 T4 =2、定義運(yùn)算符號(hào)：“ n ”nn2 »i=7.若 Tn 二 n n N ，則 an=,n-2【解析】（1）an=2n-1,則 ai=1, a2=3, aa=5, a4=7,所以 T4=ix 3 x 5x 7=105. （ 2） an = D_1J, n=1例題：1、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得S.=am,則稱an是 “ H數(shù)列”.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n（nN）,證明：an）是“ H數(shù)列”；設(shè)（an）是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a11,公差d:0 .若an）是“ H數(shù)列”

4、，求d的值；解：(1)證明：T5 口=2"，備二$血(臣 2),又町=2=2 1 ,)o 存在m=n+1使得(2)=1+ (n-1) d,若但丑是“ H數(shù)列”則對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得一匚一門三X._L=1 + ( m-1) d成立?；喌胑 >1/1m= 2+1+，且 do一 J 且一為整2、已知兩個(gè)無窮數(shù)列an , bn)分別滿足| an+i-an|=2 , b, = 4bn,且ai=1, 2=1(1)若數(shù)列an , bn)都為遞增數(shù)列，求數(shù)列an , bn)的通項(xiàng)公式.若數(shù)列Cn滿足：存在唯一的正整數(shù)r(r N),使得G+yCr,稱數(shù)列Cn)為“夢r數(shù)列”.

5、設(shè)數(shù) 列之 , bn)的前n項(xiàng)和分別為Sn, Tn.若數(shù)列an)為“夢5數(shù)歹，求Sn.若an為“夢ri數(shù)列"，bn為“夢2數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m,使得Sm+i=Tm?若存在， 求m 的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【思維引導(dǎo)】【規(guī)范解答】因?yàn)閿?shù)列an , bn都為遞增數(shù)列，所以 an+i-an=2, b2=-2b i, bn+2=2bn+i, n N,-i, n =i,所以 an=2n-i, bn= 2, 0 一 2-因?yàn)閿?shù)列an滿足:存在唯一的正整數(shù)g5,使得ar+iva，且向+田|=2 ,所以數(shù)列an必為1, 3, 5, 7, 9, 7, 9, 11,-,即前5項(xiàng)為首項(xiàng)為1、公

6、差為2的等差數(shù)列，從第6項(xiàng)開始為首項(xiàng)7、公差為2的等差數(shù)列，£n2, n 三 5, 2故 Sni 4n 2。n 一 6 8分因?yàn)閎n 1=4叫 即bn+i= ± 2bn,所以|加=2.9分而數(shù)列bn為“夢2數(shù)列”且bi=-1,所以數(shù)列bn中有且僅有兩個(gè)負(fù)項(xiàng).假設(shè)存在正整數(shù)m,使得Sm+i=Tm,顯然mMl,且Tm為奇數(shù)，而(an)中各項(xiàng)均為奇數(shù)，所以m必為偶數(shù)10分首先證明：m < 6.若 m>7,在數(shù)列an中，(Sm+i)max=1+3+(2m + 1)=(m + 1)2,而在數(shù)列bn中，bm 必然為正,否貝ij Tm=-1+b2+(-2入")w-1

7、 +21+-+2m2+(-2m1)=-3<0,顯然矛盾.m-3m-2m-1m-1所以(Tm)min=-1+2 + +2+(-2)+2 =2 -3,設(shè)，m=2-(m +1)-3,易得 dm=Cm+i-Cm=2 -2m-3, inj dm+i-dm=2m1-2>0(m>7),所以%(m>7)為遞增數(shù)列，且d7>0進(jìn)而Cm(m>7)為遞增數(shù)列，而C8>0, 所以(Tm)min>(Sm)max,即 m W 6.當(dāng) m=6 時(shí)，構(gòu)造：佃為 1, 3, 1, 3, 5, 7, 9,bn為-1, 2, 4, 8, -16, 32, 64,16分3、若數(shù)列a此時(shí)

8、 r 1=2, 2=4,所以 mmax=6,對(duì)應(yīng)的 n=2, 2=4中不超過f (m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm( m N*),則稱數(shù)列fbm?是數(shù)列aj的生 成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f (m)是數(shù)列生成、bm?的控制函數(shù).(1)(3)列,已知 an = n2,且 f (m)二 m2,寫出 d、b2、bs ；已知an =2n ,且f (m) = m,求 的前m項(xiàng)和Sm ；已知 a. =2,且 f (m) = Am? ( A 乏 N*),若數(shù)列中，d , b?, 且b3-10,求d的值及A的值.b3是公差為d(d =0)的等差數(shù)解:f1) m =1,則 aim =3,則印=1 ：=1 _14m =2,則 ai

9、=八：4 ,也=4(2) m為偶數(shù)時(shí)，則a2 = 4 : : : 9 a3 = 9 9 . ba =3 2n乞m,則bm； m為奇數(shù)時(shí)，貝則bm二匹;22_i2(m為奇數(shù))(m為偶數(shù))m為偶數(shù)時(shí),1 1mm2Sm 二 S b2 山 bm2(1 2 川 m)一2i 2m為奇數(shù)時(shí),4(m 1) m 1m s=!4mT(3)依題意:-1(m為奇數(shù))的項(xiàng)恰有t項(xiàng),t+d(m為偶數(shù)) an =2n, f(1 )=A , 設(shè)。所以2乜Af(2) =8A , f (5) =125A,，即數(shù)列an中,不超過A 1同理：2蘭8AV2t11t d 1 ct+2d,2t:： 2d 1125AC22 蘭 A v2t+

10、d J3即 2 A ：t+2d化修td-2，故t2d 1125t t+d -3 2 max2 ,2t+2d11 t -d J2 2八 A : min2 ,2125t -2d -1)125<2t+d<2t+,由 2t+2dtd22125得d,4, 7 d為正整數(shù) 2tdJ,d =1 , 2,10分t+2d當(dāng)d =7時(shí),max22t+d-t 2t4 2125 = max2 4min2t152td-,-t-Ad +=minAt1,-,1258 2t)=2,125Td t t+d 3 2當(dāng) d =2 時(shí)，max2 ,2125tt 1 16125=max2 ,2一 ：:2不合題意，舍去; 1

11、25t2 t=2,12511 d j 211132 32 min2 ,2 一，=min2 ,2 ,=v2 不合題意，舍去;125125125+ 2d+d3 2tt64 : 212分而, max2 ,2 一， =max2 ,2 , =2,1251251252d 1此時(shí) 2 卜 A 128 9t1 j+i 1282、z 128 2-125 '=而快>%3年三鳳單乞旦旦6>2適合題意,125125*b3=10.4 乞t 乞 7 ft 為整數(shù) t =4,t =5 t =或 t=7Tf=27A,b3=10當(dāng)t=4時(shí),24當(dāng)t二5時(shí)，當(dāng)t =6時(shí),26當(dāng)t=7時(shí),211A ：- 125

12、12乞 A： ： :J12521312514無解無解.64 JA A :213.26 乞 A ：< A:1251011 2:2 .27125A =64 或 A =65A-1122714分16分125綜上：d=3, A =64 或 65備用：若數(shù)列（an）中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱an為“等比源數(shù)列“ O(1 )已知數(shù)列an中，31 =2,3n1 =2an -1 o求數(shù)列an）的通項(xiàng)公式;試判斷數(shù)列an）是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論（2）已知數(shù)列an為等差數(shù)列,ai =0,aZ G,N*）.求證:a.）為“等比源數(shù)列”n_1【答案】（1 an =2 一 1 ；略；

13、略.【命題立意】本題旨在考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的求解等基本性質(zhì)考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)難度較大.解析】由 a*+i= 2a，- 1,得 an+i 1 = 2&- 1),且 az 7 = 1,所以數(shù)列an 1 是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)歹u2分所以 an 1 =2n1.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an二2n1+1 4 分?jǐn)?shù)列an不是"等比源數(shù)列”.用反證法證明如下：假設(shè)數(shù)列an是“等比源數(shù)列”，則存在三項(xiàng)am, an, ak(m vn vk)按一定次序排 列構(gòu)成等比數(shù)列.因?yàn)?an= 2n-1 + 1,所以 am v anvak7分2n-12m

14、-1k-12n-m-1n-m+1k-1 k-m所以 an= amak,得(2+1) = (2 +1)(2+1),即 2+2 2 2=1.又 m v nv k, m , n, k N*,所以 2n m 1 > 1, n m+1 > 1, k 1 > 1, k m> 1.2n-m-1n-m+1_2k-1 _ 2卜6為偶數(shù)，與 22n-m-1+2n-m+1 2k-1 2k-m= 1 矛盾.所以，數(shù)列刖中不存在任何三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)歹IJ.綜上可得，數(shù)列an不是"等比源數(shù)歹10分(2)不妨設(shè)等差數(shù)列an的公差d0.當(dāng)d二0時(shí)，等差數(shù)列an為非零常數(shù)數(shù)列，數(shù)

15、列an為“等比源數(shù)列”.當(dāng)d>。時(shí)，因?yàn)閍n Z,則d> 1,且) Z,所以數(shù)列an中必有一項(xiàng)am>0.為了使得an為“等比源數(shù)列”，只需要an中存在第n項(xiàng)，第k項(xiàng)(m v nvk),使得aM二amak成立.2即am+(n m)d = amam+(k m)d,即(n m) 2am+(n m)d= am(k m)成立.13分當(dāng)門二am+m, k=2am+amd+m時(shí)，上式成立.所以劫中存在am, a*, ak成等比數(shù)列.所以，數(shù)列an為“等比源數(shù)列”.16分當(dāng)堂反饋：1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=n,若對(duì)任意正整數(shù)n, (an+ip)(anp)vO恒成立， 則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

16、.6. (-1, 3)【解析】當(dāng) n=1 時(shí),a=Si=-1 ；當(dāng) n2 時(shí),an=SSn-i=(-1)n (2n-1),當(dāng) n=1 時(shí),a=-i 也符合此式,所以an*i)n(2n-1).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an<O<an+i,由不等式(an+ip)(anp)vO可得，1-2n =an<p<an+i=2n+1對(duì)于任意的n為奇數(shù)恒成立，故-1vpv3；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an>O>an+i,由不等式(an+ip)(an-p)vO可得，-2n-1=an+i<p<an=2n-1對(duì)于任意的n為偶數(shù)恒成立，故-5vpv3,綜上,p (-1, 3).2、若數(shù)列Ca,滿足anvni 2an n2,則稱數(shù)列：為凹數(shù)列。已知等差數(shù)列:的公差為d, d