九年級(jí)數(shù)學(xué)四點(diǎn)共圓例題講解

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)四點(diǎn)共圓例題講解知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 四點(diǎn)共圓是圓的基本內(nèi)容，它廣泛應(yīng)用于解及圓有關(guān)的問(wèn)題及圓有關(guān)的問(wèn)題變化多，解法靈活，綜合性強(qiáng)，題型廣泛，因而歷來(lái)是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)內(nèi)容。 在解題中，如果圖形中蘊(yùn)含著某四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，或根據(jù)需要作出輔助圓使四點(diǎn)共圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)定理，則會(huì)使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，從而使問(wèn)題得到解決。因此，掌握四點(diǎn)共圓的方法很重要。 判定四點(diǎn)共圓最基本的方法是圓的定義：如果A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)O的距離相等，即OAOBOCOD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓 由此，我們立即可以得出 1.如果兩個(gè)直角三角形具有公共斜邊，那么這兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 將上述判定推廣

2、到一般情況，得： 2.如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 3.如果四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 4.如果兩個(gè)三角形有公共底邊，且在公共底邊同側(cè)又有相等的頂角，那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 運(yùn)用這些判定四點(diǎn)共圓的方法，立即可以推出： 正方形、矩形、等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 其實(shí)，在及圓有關(guān)的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它們?yōu)槲覀兲峁┝肆硪恍┳C明四點(diǎn)共圓的方法這就是： 1.相交弦定理的逆定理：若兩線段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 2割線定理的逆定理：若相交于點(diǎn)P的兩線段PB、

3、PD上各有一點(diǎn)A、C，且PA·PB =PC·PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 3.托勒密定理的逆定理：若四邊形ABCD中，AB·CDBC·DA=AC·BD，則ABCD是圓內(nèi)接四邊形。另外，證多點(diǎn)共圓往往是以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)的一般可先證其中四點(diǎn)共圓，然后證其余各點(diǎn)均在這個(gè)圓上，或者證其中某些點(diǎn)個(gè)個(gè)共圓，然后判斷這些圓實(shí)際是同一個(gè)圓。例題精講例1：如圖，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，D、E、F分別在BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四點(diǎn)共圓，P、E、A、F四點(diǎn)共圓，求證：B、D、P、F四點(diǎn)共圓。證明 連PD、PE、PF由于P、D、C、F四點(diǎn)共圓，所以BD

4、P =PEC又由于A、E、P、F四點(diǎn)共圓，所以PEC =AFP于是BDP=AFP，故B、D、P、F四點(diǎn)共圓。例2：設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相垂直，垂足為E，證明：點(diǎn)E關(guān)于AB、BC、CD、DA的對(duì)稱點(diǎn)共圓。證明 以E為相似中心作相似變換，相似比為，此變換把E關(guān)于AB、BC、CD、DA的對(duì)稱點(diǎn)變?yōu)镋在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S（如圖）.只需證明PQRS是圓內(nèi)接四邊形。由于四邊形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都是圓內(nèi)接四邊形（每個(gè)四邊形都有一組對(duì)角為直角），由E、P、B、Q共圓有EPQ =EBQ.由E、Q、C、R共圓有ERQ=ECQ，于是EPQERQ = E

5、BQECQ=90°.同理可得EPSERS =90°.從而有SPQQRS =180°，故PQRS是圓內(nèi)接四邊形。例3：梯形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)K，分別以梯形的兩腰為直徑各作一圓，點(diǎn)K位于這兩個(gè)圓之外，證明：由點(diǎn)K向這兩個(gè)圓所作的切線長(zhǎng)度相等。證明 如圖，設(shè)梯形ABCD的兩腰為AB和CD，并設(shè)AC、BD及相應(yīng)二圓的第二個(gè)交點(diǎn)分別為M、N.由于AMB、CND是半圓上的圓周角，所以AM B=CND = 90°從而B(niǎo)MC =BNC=90°，故B、M、N、C四點(diǎn)共圓，因此MNK=ACB又ACB =KAD，所以MNK =KAD.于是M、N、D、A四點(diǎn)

6、共圓，因此KM·KA = KN·KD.由切割線定理得K向兩已知圓所引的切線相等。例4：如圖，A、B為半圓O上的任意兩點(diǎn)，AC、BD垂直于直徑EF，BHOA，求證：DH=AC.證法一 在BD上取一點(diǎn)A'，使A'D = AC，則ACDA'是矩形。連結(jié)A'H、AB、OB.由于BDEF、BHOA，所以BDO =BHO=90°.于是D、B，H、O四點(diǎn)共圓，所以HOB =HDB.由于AHB =AA'B = 90°，所以A、H、A'、B四點(diǎn)共圓。故DA'H=OAB，因此DHA'=OBA.而OA = OB，

7、所以O(shè)BA=OAB，于是DHA'=DA'H.所以DH=DA'，故DH = AC. 證法二 設(shè)圓O'為點(diǎn)D、B、H、O四點(diǎn)所共的圓，過(guò)H作HGDH，及圓O'交于G(如圖)，則AOC=HBD=DGH，GD = OB = OA.因此RtOACRtGDH，故DH = AC. 證法三 因?yàn)镈、B、H、O四點(diǎn)共圓，且直徑為OB而RtAOC的斜邊為OA，利用正弦定義及正弦定理，得由于OA =OB，AOC=DBH，所以DH = AC.例5：如圖，已知銳角三角形ABC，以AB為直徑的圓及AB邊的高線CC'及其延長(zhǎng)線交于M、N，以AC為直徑的圓及AC邊的高線BB&#

8、39;及其延長(zhǎng)線交于P、Q，求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共圓。證明 設(shè)BC上的高為AA'，ABC的垂心為H，則A'在以AB為直徑的圓上，從而AH×HA'=MH×HN.同理AH×HA'=PH×HQ.于是MH×HN= PH×HQ，故M、N、P、Q四點(diǎn)共圓。說(shuō)明 另證：在RtABM和RtACP中，AM' =AC'·AB，AP= AB'·AC.又ABB'ACC'，有AC'·AB =AB'·AC于是AM= AP，即AM =

9、AP但M、N關(guān)于AB對(duì)稱，P、Q關(guān)于AC對(duì)稱，故AM=AN，AP=AQ.因此M、N、P、Q在以A為圓心的圓上。 也可由MH×HN=BH×HB'=CH×HC'=PH×HQ推出M、N、P、Q四點(diǎn)共圓。例6：如圖，ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AD、BC的延長(zhǎng)線交于P，PAB及PCD的外心、垂心分別是、和、，求證：、四點(diǎn)共圓。證明 因?yàn)槭荘AB的垂心，所以ABP = 90°.又因?yàn)槭荘CD的外心，所以90°.而，所以 =90°.因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以CDP=ABP，所以，所以、P三點(diǎn)共線同理可證、P三點(diǎn)共線。顯然PABPCD，因此，即，故、四點(diǎn)共圓。例7：兩個(gè)等圓彼此相交，從它們的對(duì)稱中心引出兩條射線交圓周于不在同一條直線上的四個(gè)點(diǎn)，試證：這四個(gè)點(diǎn)必在同一個(gè)圓周上。證明 如圖，設(shè)過(guò)兩圓的對(duì)稱中心O的二條射線為、，、位于第一個(gè)圓周上，而、位于第二個(gè)圓周上。 設(shè)點(diǎn)、和分別是點(diǎn)、和關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)相交弦定理有·=·.因?yàn)?=，=，從而·=·，故、四點(diǎn)必在同一個(gè)圓周上。例8：如圖，AB為定O中的定弦，作O的弦、，對(duì)其中每一i（i1，2，2000）都被弦AB平分于點(diǎn)，