新編高中數(shù)學(xué)-3.4生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案-新人教A版選修1-1

1、新編人教版精品教學(xué)資料高中數(shù)學(xué)3.4生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案新人教A版選修1-1裸妹點(diǎn)擊 X L結(jié)合土，；至刑我聶犬，用料景膏、藕星景甫等此上同月*遞行西城思想也方法狗持彝.累班一多蠟尊真景海條蘸力和建學(xué)幫收晶用導(dǎo)量如第分析問敢和解決實(shí)際間器當(dāng)技哥用 吊域的知識瞽洪實(shí)際間和的竟無和能力.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)”?基礎(chǔ)梳理1 .優(yōu)化問題.生活中經(jīng)常遇到的利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.2 .利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路.3 .利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的一般步驟.(1)審題：認(rèn)真閱讀，分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系.(2)建模：實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)化的過程，即把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)符號、式子、圖形

2、等表示出來，寫 出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y = f(x).(3)求解：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f' (x),解方程f' (x) = 0,并比較區(qū)間端點(diǎn)和使 f' (x) = 0的點(diǎn) 的函數(shù)值的大小，得出函數(shù)的最值.(4)檢驗(yàn)：對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估，定性、定量分析，作出判斷，確定問題的答案.?自測自評電動自行車的耗電量 y與速度x有如下關(guān)系：y = 3-號x2 40x( x>0),為使耗電量最小，32則速度應(yīng)定為40.隨堂風(fēng)S I1.(D)為了保證容積一定的圓柱形金屬飲料罐所用的材料最省，則它的高與其底面半徑之比是A. 1 ： 2 B . 1 ： 1C. 3 ： 1 D

3、. 2 ： 1解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則V= r r2h(V是定值)，即h=-p,因此，所使用nr _22 VV ,3材料總面積為 S= 2n+271rh = 2 ti r + r ，則 S = 22n一12,由 S = 0,得 2nr=V,可以證明此時(shí)的r能使S最小.進(jìn)而得到 h=2r.點(diǎn)評：本題是含字母的運(yùn)算，對計(jì)算能力要求較高，注意運(yùn)用整體思想和設(shè)而不求.2.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加3x若總U入 R與年廣量 x(0<x<390)的關(guān)系是 R(x) =-+400x, (0<x<390)當(dāng) 900100 元

4、,x> 390 時(shí),R(x) = 90 090 ,則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是A. 150 B . 200C. 250 D . 300解析：總利潤P(x)=3x(D)900+ 300x20 000 , 0<x< 390,90 090 100x20 000, x>390, 由 P' (x) = 0,得 x= 300,故選 D.3.某養(yǎng)雞場是一面靠墻，三面用鐵絲網(wǎng)圍成的矩形場地.如果鐵絲網(wǎng)長那么圍成的場地面積最大為解析：設(shè)靠墻的一面長 x m,圍成的場地面積為 y m2,此時(shí)矩形的寬為40-x丁 >0.1- y= x -2- = - 2x2+ 20

5、x.(0 <x< 40)y' = x + 20,令 y' = 0 得 x=20,當(dāng) 0Vx<20 時(shí)，y' > 0.當(dāng) 20Vx<40 時(shí)，y' < 0.x= 20 時(shí)，y 最大= 20X 10= 200.答案：200 m24.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積為 0.001 m)?8 m2.問x、y分別為多少時(shí)用料最省(精確到解析：由題意，得xy + 4x2=8,8-1x248y= xx4(0< x< 4 2).于是，框架用料

6、總長度為l =2x+ 2y+2 3+啦16x+ 1.x3 , c 162+42 - x?5 由 =0.得 x=84,2.可以證明，當(dāng) x=842時(shí)，用料最省.此時(shí)，x=84、亞y2.344 , y=2, 2 y 2.828.故當(dāng)x為2.344 m , y為2.828 m時(shí)，用料最省.點(diǎn)評：本題也可以用基本不等式求解，但計(jì)算量較大.課時(shí)利棟01 .用邊長為48 cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的 小正方形，然后把四邊折起，焊成一個(gè)正四棱形柱容器，則當(dāng)所做的容器的體積最大時(shí)，被截 去的小正方形的邊長是 (B)A. 6 cm B . 8 cm C . 10 cm D

7、. 12 cm解析：設(shè)小正方形的邊長為 x(0 < x< 24),則容器的容積為 V= x(48 2x) 2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)，不又t得出，當(dāng) x=8時(shí)，V最大.故選B.2 .曲線C: y = 4x2(x>0)上的點(diǎn)與點(diǎn)P(0 , 2)的最短距離是(C)ArB正2273C.方 D. 2解析：設(shè)Qx, 4x2)( x>0)是曲線C上任意一點(diǎn)，則 PQ的距離為| PQ = *' (x-0) 2+ (4-x2- 2) 2 = x43x2+4,令 f (x) =x4- 3x2+ 4(x>0),根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求得，當(dāng) x =、-時(shí)，f ( x) min ="4，從而

8、|PQmin =72 .3 .某汽車運(yùn)輸公司，購買了一批豪華大客車投入客運(yùn)，據(jù)市場分析，每輛客車營運(yùn)的總利潤y(萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x N*)滿足y=- x2+ 12x-25,則每輛客車營運(yùn)多少年使其營運(yùn)年平均 利潤最大(C)y= x2+ 12x-25,A. 3 B . 4 C.5 D . 6解析：總利潤y(萬元)與營運(yùn)年數(shù)x之間的關(guān)系為,平均利潤y=x空+12 = x+空 +12, x xxy '=皆1,令工1 = 0,解得x = 5. x x x故選C.4 .要做一個(gè)母線長為20 cm的圓錐形漏斗，使其體積最大，則它的高等于(D)3A.-3- cm B.C.早 cm10. 3cm3

9、c 20 3D. -3 cm 1C解析：設(shè)圓錐的圖為h(0<h<20),則底面半徑為 420 h,它的體積為V=£7th(20 3h2),于是V' = 1 兀(20 2 - 3h2)，令 V' =1 71 (20 2- 3h2) =0,得 h= 203. 333可以證明，當(dāng)圓錐的高為 歿3 cm時(shí)，其體積最大.35.如右圖，在半徑為 r的圓O的一側(cè)作一內(nèi)接梯形 ABCD使其下底為圓的直徑，其他三邊為圓的弦.當(dāng)梯形的面積最大時(shí)，梯形的上底長為(D)1A2rB. 13 rC.D. r71解析：如題圖，設(shè)/ AO&x 0<x<-2 , 則/

10、BOC= x, / CODt ti 2x,于是梯形的面積為S= 2 r 2(2cos 21 2 .1 2 .2r sin x + 2r sin x+ cos x- 1).(Tt 2x) = r 2(sinx+sin xcos x),那么， S' = r2(cos x + cos 2x)令S' =0,解得，cos1 、x= 2或 cos xTt1(不合題意，舍去)，即x= 3.一 .冗 .易知，當(dāng)x = 7時(shí)，梯形面積最大.相應(yīng)地,36.某工廠生產(chǎn)某種商品 單位時(shí)，所獲得的最大利潤是x單位的利潤是 OC四正三角形，所以梯形的上底長是r.2C(x) = 500+ x 0.001 x

11、 ,則生廣該商品 解析：由于C(x)是二次函數(shù)，所以可以求導(dǎo)或者配方或者直接用公式即可得到，生產(chǎn)該商 品500單位時(shí)，所獲得的最大利潤是750.答案：500 7507 .做一個(gè)容積為256升的方底無蓋水箱，它的高為分米時(shí)，用料最省.解析：設(shè)水箱高為x分米.則底面正方形的邊長是16分米，那么總用料面積是16 2S=/ +4- x-成的兩個(gè)正三角形面積的和是S= "刈=乎x I乎212 x 2x224x+ 144)=干(x y=64 %x+x ,求導(dǎo)后，得到，當(dāng)x=4分米時(shí)，用料最省.答案：48 .把長為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積 之和的最小值

12、是解析：設(shè)一段細(xì)鐵絲為 xcm(0<x<12),則另一段為(12x)cm,那么這兩根細(xì)鐵絲各自圍6)2+36,于是，當(dāng)x=6 cm時(shí)，這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是2%弓cm2.答案:2 3 cm29 .某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位該產(chǎn)品，成本增加100元,已知每月總收益 R與月產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x) =12c 400x x , 0< x< 400,2若要使公司每月的總利潤最大，該產(chǎn)品的月產(chǎn)量是多少？80 000 , x> 400,解析：依題意，可以求得，總利潤為1 2,400x-Tx ( 100x+ 20 000 ) , 0<

13、;x< 400,L(x)=280 000 ( 100x+20 000 ) , x>400,即 L(x)=1x2+ 300x20 000, 0<x< 400, 2100x+ 60 000 , x>400.(1)若0<x<400,可求得當(dāng) x= 300時(shí)，L( x) max= 25 000 ;(2)若 x>400,顯然 L(x)<20 000.因此，該產(chǎn)品的月產(chǎn)量為300單位時(shí)，總利潤最大.10.某地區(qū)預(yù)計(jì)從2011年初開始的第x月，商品A的價(jià)格f(x) =2(x212x+69)( x6 N, x<12,價(jià)格單位：元)，且第x月該商品的銷

14、售量 g(x)=x+12(單位：萬件).(1)2011年的最低價(jià)格是多少？(2)2011年的哪一個(gè)月的銷售收入最少？12解析：(1) f(x)=習(xí)(x6)2+33.當(dāng)x=6時(shí)，f(x)取得最小值，即第6個(gè)月的價(jià)格最低，最低彳格為16.5元.,1 ,1 .(2)設(shè)第 x月的銷售收入為y(萬兀)，依題總有 y = -( x - 12x+ 69)( x+ 12) =-( x - 75x +828),y' = 1(3x2-75) =|(x+5)( x- 5),所以當(dāng) 1<x<5 時(shí) y，<0, y 遞減；當(dāng)5<x<12時(shí)y' >0, y遞增，所以當(dāng)x

15、= 5時(shí)，y最小，即第5個(gè)月銷售收入最少. 答案：2011年在第5月的銷售收入最低.11 .已知某工廠生產(chǎn) x件產(chǎn)品的成本為 c=25 000 +200x + ；1x2(元).(1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？若產(chǎn)品每件以500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?y=1 225 000 + 200x+40x解析：(1)設(shè)平均成本為 y元，則25 0001-+200 + 40x( x>0),25 0001y - F+40(x>0)，令 y' =0,得 x1= 1 000 , x2 = - 1 000(舍去).因此，要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn) 1 000件產(chǎn)品.1 2

16、12(2)利潤函數(shù) L= 500x- 25 000 +200x + »x =300x-25 000 -40x .L，= 300 - -x.20當(dāng) x6(0, 6 000)時(shí)，L' (x) >0；當(dāng) x6 (6 000, + 8)時(shí)，L' (x)<0.x = 6 000 時(shí)，L'(x)取得極大值，即函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值.令 L' =0,得 x=6 000.因此要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn) 6 000件產(chǎn)品.12.如右圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r,短半軸長為 r,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓

17、上，設(shè)CA 2x,梯形面積為S(1)求面積(2)求面積S的最大值.分析：先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓的方程，表示出梯形面積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的有 關(guān)知識解決問題.解析：(1)依題意，以 AB的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系Oxy(如右圖)，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)22為x,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程解得 y= 2、r2x2(0<x<r)一 1-22S= 2(2x+2r) 2 r x2(x+r) Qr'-x',其定義域?yàn)閤0<x<r.(2)記 f (x) =4(x+r) 2(r2x2) , 0<x<r, 則 f' (x) = 8( x+ r) 2( r

18、2x).一 r令 f(x) = 0,得 x=2.rrr因?yàn)楫?dāng)0<x<2時(shí)，f' (x)>0；當(dāng)2<x<r時(shí)，f' (x)<0.所以f 2是f(x)的最大值.因此，當(dāng)x = 2時(shí)，S也取得最大值，最大值為 Jf 2 =32r2.即梯形面積S的最大值為乎r2.點(diǎn)評：本題主要考查解析幾何知識、函數(shù)知識以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.解題思路是 將已知的幾何關(guān)系數(shù)量化，再借助導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì).本題巧妙地將實(shí)際問題與解析幾何、函 數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來，非常具有新意.?體驗(yàn)高考1 .某單位用 2 160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2 0

19、00平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x>10)層，則每平方米的平土建筑費(fèi)用為560 +48x(單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=黑 )建見后、回枳解析：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元， /、 /、2 160 X 10 00010 800 /*、則 f ( x) = ( 560 + 48x) +2000x= 560 + 48x+ x( x> 10, x6 N),f' (x) =48- 10 800 ,令(x) =0,得 x=15. x當(dāng) x>15 時(shí)，(x

20、) >0 ；當(dāng) 10Vx<15 時(shí)，( x) <0.因此，當(dāng)x=15時(shí)，f (x)取最小值f( 15)=2 000.15層.2.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為程費(fèi)用為(2+qx)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余 下工程的費(fèi)用為 y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)m= 640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？解析：(1)設(shè)需要新建n個(gè)橋墩，(

21、n+1)x=m,即 n = m- 1,x所以 y= f(x) = 256n+( n+ 1)(2 +'x) x256 - 1 + x(2 +256m-H mjx+ 2m- 256.由知，f ' (x)256m2x11+ 2”23m27(x2-512).2 x令 f ' (x) = 0,得 x2=512,所以x= 64.當(dāng) 0Vx<64 時(shí) f ' (x)<0 , f(x)在區(qū)間(0 , 當(dāng) 64Vx<640 時(shí)，f' (x)>0. f (x)在區(qū)間 所以f(x)在x=64處取得最小值，此時(shí)， n=m1 = 6401 : 9.x 64

22、故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.3.圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場地,64)內(nèi)為減函數(shù)；(64 , 640)內(nèi)為增函數(shù),要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維2 m的進(jìn)出口，如圖所示.已修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個(gè)寬度為知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長度為 x(單位：m),修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元).(1)將y表示為x的函數(shù)；試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.解析：(1)如下圖所示，設(shè)矩形的另一邊長為a m,y=45x+ 180( x-2) + 180X 2 a= 225x+ 360

23、a 360,360由已知xa=360,得a= x3602所以 y= 225x + -360(x>0).y'3602.一.k+225,令 y =0 得 x= 24(x 24 舍去).即當(dāng)x=24 m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10 440元.4.某企業(yè)擬建造如下圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米 )，其中容器的中間為圓柱80 71形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為二一立方米，且l >2r,假設(shè)該容器的3建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.(1

24、)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.解析：(1)設(shè)容器的容積為 V,由題意知V= r r2l +4Tt r3,又V= 80，33V- 471 r3380 44 20Tt r2-373r3 產(chǎn)由于l>2r,因此0<r<2,所以建造費(fèi)用=2 Tt rl x3 + 4nr2c = 2n*一 一2" r x 3 + 43 rr r 2c,因此 y= 4 j (c 2) r2+ 160 7t , 0<r< 2. r由得y' =8 -2)一若 由于c>3,所以c2>0.8 Tt ( c2)2rr3-20- , 0<r<2. c- 2202.當(dāng) r3 V=0 時(shí)，rc 2.320e令 yjc2 =日則 m>0，8n ( c2)0所以 y =r2(r- m)( r + rm+ i 9 ，當(dāng)0<m<2即c>2時(shí)，當(dāng) r = m 時(shí)，v = 0 ；當(dāng) r 6(0, m 時(shí)，y' <0；當(dāng) r 6 ( m, 2)時(shí)，y' >