2014年全國高中數(shù)學(xué) 青年教師展評課 割圓術(shù)教學(xué)設(shè)計（浙江溫州中學(xué)）

1、2014年全國高中數(shù)學(xué) 青年教師展評課 割圓術(shù)教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)背景分析（一）教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課雖非普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書的內(nèi)容，但人教A版必修3中的第一章算法結(jié)構(gòu)的“閱讀與思考”內(nèi)容以劉徽的“割圓術(shù)”為載體，讓學(xué)生通過了解“割圓術(shù)”的基本特點(diǎn)及其中蘊(yùn)含的遞推思想與迭代算法，體會“割圓術(shù)”是幾何算法階段計算圓周率的既有效又科學(xué)的方法，又讓學(xué)生感受到計算工具的不斷發(fā)展，為圓周率的計算乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展帶來前所未有的突破。在數(shù)學(xué)史上，簡潔而精確的圓周率求法，曾經(jīng)是數(shù)學(xué)家們不懈追求的目標(biāo)，在不同歷史階段，各個國家的數(shù)學(xué)家們提出了形形色色的圓周率近似值求法，如經(jīng)驗(yàn)實(shí)測方法，蒙特卡洛方法，劉徽割圓

2、術(shù)，阿基米德割圓術(shù)，級數(shù)逼近等等。每一次方法的改進(jìn)，都在嚴(yán)密性與精確性的角度上體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想，因此在高中階段，讓學(xué)生了解和學(xué)習(xí)各種不同的圓周率近似值的求法，并對這些方法進(jìn)行比較與分析，是十分必要的。 （二）學(xué)生學(xué)情分析在深化課改的背景下，現(xiàn)階段的學(xué)生并沒有學(xué)過如何求圓周率，只有人教A版必修3中的第一章算法結(jié)構(gòu)的“閱讀與思考”內(nèi)容是以劉徽的“割圓術(shù)”為載體，通過算法知識來介紹求圓周率， 但是，必修3中算法的相關(guān)知識，也沒有學(xué)過，在算法的建構(gòu)方面存在一定的困難，同時對圓周率的認(rèn)知基本上停留在能背出小數(shù)點(diǎn)后多少位，卻不知圓周率是如何得到的。學(xué)生通過課前資料收集和閱讀思考，對歷史上幾種不同的圓周

3、率求法進(jìn)行了初步的了解，同時以教材中的“閱讀與思考”內(nèi)容，同時也是歷史上完備性最好，且具有算法思想的劉徽的“割圓術(shù)”作為重點(diǎn)介紹內(nèi)容，讓學(xué)生領(lǐng)悟劉徽的割圓術(shù)中所蘊(yùn)含的遞推思想及迭代算法。對于劉徽割圓術(shù)的掌握，對學(xué)生來說是一個挑戰(zhàn)，圓內(nèi)接正多邊形的面積公式的遞推關(guān)系的推導(dǎo)對學(xué)生來說是十分困難的根據(jù)教學(xué)內(nèi)容解析和學(xué)情分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)如下：- 2 - / 14重點(diǎn)：在學(xué)生通過課前閱讀與課外查閱與研究所了解的有關(guān)求圓周率的方法的基礎(chǔ)上，對各種不同的方法進(jìn)行簡要的介紹與對比，同時深入探究劉徽割圓術(shù)的思想方法，獲得面積遞推公式，同時體會其中蘊(yùn)含的遞推思想與迭代算法難點(diǎn)：割圓術(shù)中“內(nèi)外夾逼

4、”的極限思想與算法實(shí)現(xiàn)過程中遞推關(guān)系的建立二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：（一）讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀感受到隨機(jī)模擬，最后到嚴(yán)格推理，然后以計算機(jī)實(shí)現(xiàn)近似值求解的過程，既對相關(guān)數(shù)學(xué)史有所了解，同時又讓學(xué)生體會了求解圓周率的歷史實(shí)質(zhì)是運(yùn)算工具的發(fā)展史（二）理解割圓術(shù)對于圓周率估計的完備性與精確性，以及求解過程中所蘊(yùn)含的遞推思想，體會計算機(jī)程序迭代算法和割圓術(shù)的應(yīng)用價值（三）了解求解圓周率的歷史，感受數(shù)學(xué)的文化價值三、教學(xué)策略分析本節(jié)課在教學(xué)材料的組織上選擇了讓學(xué)生課前探究求解圓周率的方法，自主學(xué)習(xí)劉徽的割圓術(shù)，并以小組交流的形式匯報閱讀成果. 應(yīng)用問題探究式教學(xué)

5、方式，對課本介紹的劉徽的割圓術(shù)進(jìn)行再思考，讓學(xué)生自主探究如何方便地計算圓內(nèi)接正多邊形的面積借助xcel軟件的迭代功能實(shí)現(xiàn)算法，完成對圓周率的近似值的初步估計. 因此本節(jié)課采用學(xué)生課前閱讀與課內(nèi)思考相結(jié)合的方式，讓學(xué)生體會以閱讀學(xué)習(xí)所獲得的知識為基礎(chǔ)，在經(jīng)過再思考后，獲得對問題的深刻理解的過程；同時采用公式的理論推導(dǎo)和信息技術(shù)相結(jié)合的手段，讓學(xué)生體會到中國古代數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的算法思想，給學(xué)生提供了一次動手實(shí)踐、還原歷史的經(jīng)歷四、教學(xué)過程為了達(dá)到以上教學(xué)目標(biāo)，在具體教學(xué)中，我把這節(jié)課分為以下五個階段：呈現(xiàn)背景探索方法完善方法實(shí)現(xiàn)算法歸納小結(jié)分別從數(shù)學(xué)史的發(fā)展角度，與方法的完備性角度來逐步遞進(jìn)探索并對

6、比不同方法的優(yōu)劣。下面我將對每一階段教學(xué)中計劃解決的主要問題和教學(xué)步驟作出說明.（一）呈現(xiàn)背景【學(xué)生活動】學(xué)生課前查閱圓周率的相關(guān)知識，自主學(xué)習(xí)劉徽的割圓術(shù)，并相互交流對圓周率的認(rèn)識。（請看視頻） 【教師總結(jié)】那圓周率的值到底是多少呢？又是如何得到的呢？在綿延的歷史長河中， 人們又是怎樣 “計算” 圓周率 的呢？【設(shè)計意圖】 從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的角度，來引起學(xué)生對于圓周率求解方法的興趣，為后面各種方法的介紹做好鋪墊。（二）探索方法【第一組：實(shí)測法】 第一小組學(xué)生代表介紹：“用實(shí)測的方法求圓周率” （請看視頻） 【學(xué)生活動】學(xué)生討論實(shí)測法的不準(zhǔn)確之處：1.圓周是曲線，用細(xì)繩去擬合時，存在誤差。2

7、.測量長度時，存在誤差。 【教師總結(jié)】尺子的精度越高，得到的測量值可能會越準(zhǔn)確。精度再高的刻度尺也無法量得線段長的真實(shí)值。其實(shí)，早在明代就有一位名叫邢云路的數(shù)學(xué)家，他就用實(shí)測的方法求圓周率， 后來茅以升這樣評價他：“云路欲以度量所得，抹煞古人諸率，所見甚淺?！笨梢?，實(shí)測的辦法是比較粗糙的?！驹O(shè)計意圖】 通過實(shí)測與經(jīng)驗(yàn)來估計圓周率的近似值，是人類歷史上最早采用的方法，但這種方法在數(shù)學(xué)上既不嚴(yán)密，同時所求得的近似值的精確度也無法保證，在課前讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，切身體會到用實(shí)測的方法求圓周率是比較粗糙的?！镜诙M：布豐投針】第二小組學(xué)生代表介紹：“用布豐投針實(shí)驗(yàn)求圓周率”【學(xué)生活動】求解任意給出3個正數(shù)

8、，以這3個正數(shù)為邊長可以圍成一個鈍角三角形的概率。 解：設(shè)這三個正數(shù)為，不妨設(shè)，由以為邊長可以圍成一個鈍角三角形得：，變形，得：，令，則，由線性規(guī)劃可知：滿足題意的可行域?yàn)橹本€與圓圍成的弓形，總的區(qū)域是一個邊長為1的正方形。則可以圍成一個鈍角三角形的概率?！窘處熆偨Y(jié)】早在1904年，R查特發(fā)現(xiàn)，兩個隨意寫出的整數(shù)中，互素的概率為。然后，我們可以通過“像投針一樣的操作實(shí)驗(yàn)”或者“讓計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行計算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)”，從而得到實(shí)驗(yàn)頻率，求出圓周率的近似值?！驹O(shè)計意圖】布豐投針實(shí)驗(yàn)至少給了我們兩大啟示：1.可以利用概率原理來解釋圓周率的計算，雖然實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有隨機(jī)性；2.投針實(shí)驗(yàn)拓寬了人們運(yùn)用數(shù)學(xué)

9、知識解決復(fù)雜問題的渠道，它已發(fā)展為一種新的數(shù)學(xué)方法統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)法，也就是著名的蒙特卡羅法。利用概率論的大數(shù)定律，可以保證用該方法求得的近似值在概率意義上是收斂于真實(shí)值的，但所得結(jié)果的精確度無法準(zhǔn)確估計，因此相對于實(shí)測的方法，有所進(jìn)步，但仍不夠完善。 【第三組：割圓術(shù)】第三小組學(xué)生代表介紹：“劉徽的割圓術(shù)”通過課前學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對劉徽的割圓術(shù)有了基本的認(rèn)識，并得到了課本上的圓內(nèi)接正多邊形的面積遞推公式.【學(xué)生活動】 小組交流1：劉徽為什么不從圓內(nèi)接正三角形的面積開始，而是從六邊形開始？好算，且 精確度 相對較高。小組交流2：如果以正四邊形面積為起始可以嗎？ 以任意正n邊形面積為起始都可以，因?yàn)榕c及與之

10、間的 遞推關(guān)系 并不會因?yàn)槌跏贾档牟煌l(fā)生改變.隨著正多邊形邊數(shù)的增加，最終的效果是一致的.【教師總結(jié)】回味劉徽的割圓術(shù)，他是以圓內(nèi)接正六邊形的面積為起始，借助來求，然后在，的基礎(chǔ)上，求，依次類推，要求，只需借助于，得到了圓內(nèi)接正多邊形的面積的遞推公式?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生通過課外閱讀與課前學(xué)習(xí)，以小組交流的形式匯報閱讀成果. 為本節(jié)課內(nèi)針對劉徽的割圓術(shù)的再思考奠定了必要的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時也讓學(xué)生認(rèn)識到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“閱讀”的重要性【師生互動】在算完正六邊形的面積后，為什么不算正七邊形的面積，而是選擇計算正十二邊形的面積？ （請看視頻）【學(xué)生活動】分析與討論在算完正六邊形的面積后，不算正七邊形面積

11、的理由. 【教師總結(jié)】正十二邊形的面積容易計算，關(guān)鍵在于在正六邊形的基礎(chǔ)上，增加的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，正十二邊形的“特征三角形”的底就是半徑，高其實(shí)是正六邊形的邊長的一半【設(shè)計意圖】正六邊形的面積算完后，為什么直接跳到算正十二邊形的面積？正是因?yàn)槲覀兛梢越柚呅蔚倪呴L，來求正十二邊形的面積（及邊長）. 而知道正六邊形的邊長和面積，卻沒有為算正七邊形的面積帶來任何幫助. 這樣設(shè)問，是為了讓學(xué)生在計算的過程中體會從正六邊形過渡到正十二邊形的合理性同時讓學(xué)生體會其中蘊(yùn)含的遞歸思想，發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，為下面的遞歸關(guān)系的建立奠定基礎(chǔ) （三）完善方法問題1：是否有其他辦法可以求圓內(nèi)接正多邊形的面積

12、? 能否把剛才的方法推廣到一般情形？（請看視頻）【學(xué)生活動】學(xué)生介紹不同于課本教材的圓內(nèi)接正十二邊形的面積的求法:把正十二邊形分割成十二個特征三角形，容易算得它的面積為： 【學(xué)生活動】那么正邊形的面積就等于： 【教師總結(jié)】從此式看出：只需借助正邊形的邊長來求正邊形的面積 相比于之前介紹的遞推公式，表達(dá)式上更加簡潔. 同時，也要注意到：這兩個面積遞推公式，都是借助于與之間的遞推關(guān)系，其本質(zhì)是一樣的. 【師生互動】這兩種遞推公式，哪一種在計算機(jī)里運(yùn)行速度更快？效率更高？【學(xué)生活動】后者在表達(dá)式上更加簡潔，減少了開方運(yùn)算的次數(shù)，效率更高?！窘處熆偨Y(jié)】在1800年前，劉徽只計算到了圓內(nèi)接正192邊形的

13、面積，相當(dāng)于只邁開了六步。現(xiàn)在，我們已擁有具有強(qiáng)大計算能力的計算機(jī)。這個遞推公式，恰好符合計算機(jī)的迭代算法。 我們可以借助計算機(jī)來實(shí)現(xiàn)算法。 【設(shè)計意圖】割圓術(shù)作為歷史上第一個出現(xiàn)的完備性最好的求圓周率的方法，也并非在各個方面盡善盡美，因此引導(dǎo)學(xué)生在知識的獲得之后，但作為課內(nèi)針對學(xué)生課前閱讀的“第一次思考”， 引導(dǎo)學(xué)生成功建立正邊形的邊長與正邊形的面積之間的遞歸關(guān)系，而且此面積遞推公式比課本介紹的遞推公式更加簡潔，為后續(xù)計算邊數(shù)更多的正多邊形面積提供了一個可行、高效的方法，也為后續(xù)的程序的實(shí)現(xiàn)提供了算法依據(jù)，讓學(xué)生體會到“閱讀”之后“思考”的重要性與必要性（四）實(shí)現(xiàn)算法 回味此遞推公式：，已知

14、，求得后，再由，代入此式，求得，依此類推，這是一種迭代的算法，而Excel軟件剛好有迭代的功能，我們就借助Excel來實(shí)現(xiàn)算法. （請看視頻） 通過表格，我們看到： 隨著的增大，的面積越來越大，越來越趨近于的真實(shí)值. 運(yùn)用Excel軟件實(shí)現(xiàn)的算法，可以用程序框圖來表示，再翻譯成程序語言，利用計算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法.【數(shù)學(xué)史介紹】數(shù)學(xué)家祖沖之在此基礎(chǔ)上，把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位. 在西方，這個成績由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得, 比祖沖之晚了一千多年. 【設(shè)計意圖】揭示遞推公式與迭代算法之間的關(guān)系，借助計算機(jī)來實(shí)現(xiàn)圓周率的近似值的估計，既是對劉徽割圓術(shù)的方法的有效驗(yàn)證，又體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的算法特

15、征同時讓學(xué)生體會用程序框圖來表示算法，能使算法的邏輯結(jié)構(gòu)更清楚、步驟更直觀同時了解求解圓周率的歷史，感受數(shù)學(xué)的文化價值問題2：已知圓內(nèi)接正四邊形的面積，在此基礎(chǔ)上往下算，會選擇計算圓內(nèi)接正幾邊形的面積？ 理由是什么？ （請看視頻）【學(xué)生活動】計算圓內(nèi)接正八邊形的面積，再計算圓內(nèi)接正十六邊形的面積，依此類推. 可以借助正邊形的邊長與正邊形的面積.【教師總結(jié)】與及與之間的遞推關(guān)系并沒有因?yàn)槌跏贾档牟煌l(fā)生改變.即使初始值的誤差比較大，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，最終的效果會是一致的. 【設(shè)計意圖】作為課內(nèi)針對學(xué)生課前閱讀的“第二次思考”，讓學(xué)生牢牢把握劉徽的割圓術(shù)的本質(zhì)遞推關(guān)系的應(yīng)用與迭代算法的實(shí)現(xiàn)

16、，與迭代過程的初始值無關(guān)我們剛才都是用圓內(nèi)接正多邊形的面積來近似代替圓的面積，這樣得到的的近似值肯定要比的真實(shí)值小.也就是說，我們得到的是（圓面積）的下限.出于考慮問題的嚴(yán)謹(jǐn)性，還要對圓面積的上限加以估計. 問題3：選擇哪個幾何圖形的面積作為圓面積的上限？ （請看視頻）【學(xué)生活動】設(shè)圓外切正邊形的邊長為,外切正邊形的面積為. 利用相似比： 得：所以問題4：是否有更合適的幾何圖形的面積可以做為圓面積的上限？（請看視頻）【學(xué)生活動】思考是否有更佳的上限估計方式，并提出自己的看法：這些圓內(nèi)接正多邊形每邊外有一余徑，用邊長乘以余徑，加到正多邊形的面積上，則大于圓的面積，即數(shù)學(xué)家劉徽的想法. 此時，此幾

17、何圖形的面積為：.【設(shè)計意圖】通過圓面積的上限的討論，進(jìn)一步完善割圓術(shù)的思想，作為課內(nèi)針對學(xué)生課前閱讀的“第三次思考”，通過計算、對比，讓學(xué)生深刻體會劉徽的割圓術(shù)的精明之處：、利用已有的成果 來表示圓的面積的上限，成功的將計算量減半；2、劉徽的割圓術(shù)的完備性與數(shù)學(xué)研究過程中所要求的嚴(yán)密性相符讓學(xué)生感受在“閱讀”的基礎(chǔ)上“思考”所帶來的成果我們也借助Excel軟件來實(shí)現(xiàn)算法: 【設(shè)計意圖】再次通過Excel軟件實(shí)現(xiàn)上限的估計，驗(yàn)證了運(yùn)用割圓術(shù)求解的近似值的可行性與有效性，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生課前的“閱讀成果”問題5： 同學(xué)們還有什么感觸嗎？ 【學(xué)生活動】學(xué)生介紹利用三角函數(shù)來求圓內(nèi)接正多邊形的的面積：把正

18、十二邊形分割成十二個特征三角形，利用三角函數(shù)算得它的面積為： 【學(xué)生活動】那么正邊形的面積就等于： 【教師總結(jié)】利用三角函數(shù)求解圓內(nèi)接正多邊形的面積，在歷史上，直到文藝復(fù)興時期，哥白尼（1473-1543）和開普勒（1571-1630）研制了相當(dāng)精確地三角函數(shù)表，這個問題才得以解決。 看來同學(xué)們都能學(xué)以致用！【數(shù)學(xué)史介紹】事實(shí)上，歷史上還出現(xiàn)了很多求圓周率的方法，比如：韋達(dá)的無窮乘積法，歐拉的無窮級數(shù)法，1844年，達(dá)賽利用的反正切函數(shù)表達(dá)式把值計算到了小數(shù)點(diǎn)后200位。 【設(shè)計意圖】在詳細(xì)介紹了“實(shí)測方法”、“蒙特卡洛方法”與“割圓術(shù)”之后，又對如何用高等方法求解圓周率進(jìn)行了簡要的介紹，讓學(xué)

19、生增加了對近代數(shù)學(xué)求解的歷史，使得數(shù)學(xué)史上對于的求解歷程有了更加完整的認(rèn)識，再次感受數(shù)學(xué)的文化價值（五）歸納小結(jié)從實(shí)測的直覺與粗糙，到割圓術(shù)的以直代曲、無限逼近、內(nèi)外夾逼的嚴(yán)謹(jǐn)，再到三角函數(shù)加入割圓術(shù)，的計算精度越來越高，但方法上沒有本質(zhì)改變。直到1665年牛頓等人發(fā)明微積分，才使的計算走到了歷史轉(zhuǎn)折點(diǎn)，然而追溯建立微積分的先驅(qū)人物又當(dāng)數(shù)阿基米德和劉徽，他們提出的割圓術(shù)中已相當(dāng)自覺地運(yùn)用了“無窮”和“愈來愈接近”等屬于微積分的基本概念。同時，1777年，布豐的投針實(shí)驗(yàn)則另辟蹊徑，充滿創(chuàng)新。 縱觀幾千年來，為了得到更精確地圓周率的值，數(shù)學(xué)家們千方百計，花費(fèi)了很多時間和精力，進(jìn)行著不懈的探索。 這個過程不僅僅是“從公元前2000年的幾位小數(shù)，到公元后2000年的2061億位小數(shù)”的變化，而是在其背后的運(yùn)算工具的不斷發(fā)展，昭示了人類在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的卓越追求。1761年，當(dāng)人們還在狂熱于計算值的時候，蘭伯特(H·Lambert)證明了是一個無理數(shù)；1882年，林德曼F·von Linder