等角螺線和它

1、等角螺線及其它? 何謂等角螺線? 等角螺線的方程式? 趣史一則? 等角螺線上的相似性質(zhì)? 黃金分割與等角螺線? 等角螺線的弧長? 等角螺線的再生性質(zhì)? 其它螺線舉例幾何學(xué)是一門源遠流長的數(shù)學(xué)分支， 在十七世紀以前，幾何學(xué)一詞甚至可說是數(shù) 學(xué)的同義詞，它以往的風(fēng)光可想而知。曾幾何時，因為某些在與外在的因素，幾 何學(xué)的地位似乎已逐漸沒落；在中小學(xué)的數(shù)學(xué)教材里，幾何題材一次又一次地被 刪除。這種現(xiàn)象使我們感到憂心，因為自然環(huán)境中隱藏著許多幾何原理， 不了解 這些幾何知識，不就表示我們對所生存的空間已經(jīng)愈來愈不了解了嗎？筆者從事數(shù)學(xué)教育工作多年，又是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書的編者之一， 對當(dāng)前高中 數(shù)學(xué)教材

2、中幾何題材的過度貧乏，實在感到憂心忡忡。在無力對教科書作大幅度 修改的情況下，只好在正式教科書之外從事一些修繕工作。基于上述想法，筆者希望能以一系列的文章來介紹一些幾何題材。 在容方面，筆 者首先選上曲線。因為曲線的討論不僅是幾何學(xué)中最有趣的題材之一， 而且許多 曲線都會在自然現(xiàn)象中出現(xiàn)，它們的性質(zhì)也往往能提供重要的應(yīng)用。 例如：天文 望遠鏡的設(shè)計，不就是根據(jù)拋物線的反射性質(zhì)嗎？本文介紹等角螺線。何謂等角螺線在一片空曠的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分別站立在一個正方形的四個頂 點A、B、C、D上。狗主人要甲狗緊盯著乙狗、乙狗緊盯著丙狗、丙狗緊盯著 丁狗、丁狗緊盯著甲狗。一聲令下，四只狗以相同

3、的速度同時沖向目標(biāo)。假定每 只狗在每個時刻都是正面朝向它的目標(biāo)， 那么，這四只狗所跑過的路徑是什么形 式呢？ 假設(shè)四只狗在某一時刻的位置分別為 Ai、Bi、Ci、Di （見圖一），則根據(jù)四只 狗的行動一致所產(chǎn)生的對稱性，可知 也是正方形，而且它的中心也就是正方形 的中心0。更進一步地，由于在 Ai點的甲狗系沖向在 Bi點的乙狗，所以，甲狗在此一時刻的速度方向在向量 上?；蛘哒f，甲狗所跑的路徑在 Ai點的切 線與直線OAi形成45°的夾角。同理，CB圖一乙狗所跑的路徑在 Bi點的切線與直線 OBi形成45°的夾角等等。一般而言，若一曲線在每個點 P的切向量都與某定點 O至此點

4、P所成的向量 夾成一定角，且定角不是直角，則此曲線稱為一等角螺線（equia ngularspiral） ，O點稱為它的極點（pole）。前面所提的四狗追逐問題中，每只狗所經(jīng)過的路線都是一等角螺線的一部分， 此 等角螺線中的定角是 （或，因為切向量可選成相反方向），而其極點是正方形 的中心0。等角螺線的方程式在坐標(biāo)平面上，若極坐標(biāo)方程式表示一等角螺線（），其極點是原點 0,定角為a （），則因在點 的切向量為屮(0) cosd /(fl) sinS, /y(5)sinS + f cos &)所以，可得CQsacoa0(尸 cos? /(S) sin 0) +amsmfi + f (fl

5、) cos 9)=丿屮尸+肌日廬即由此可得下述結(jié)果:=cot a5)fW=9cettt + «敷In% (上式兩端積分)Eak a換言之，此等角螺線的極坐標(biāo)方程式為在前面所提的四狗追逐問題中，若中心 O是極點而點 A的極坐標(biāo)為，則甲、乙、丙、丁 四只狗所跑的路徑分別在下述四等角螺線上：，前面所提的，就是等角螺線的極坐標(biāo)方程式。由于在導(dǎo)出此方程式的過程中曾 經(jīng)引用了自然對數(shù)，所以，等角螺線也稱為對數(shù)螺線(logarithmic spiral) 。趣史一則等角螺線的性質(zhì)，笛卡兒(R. Descartes, 15961650)在1638年就已經(jīng)考慮過，但沒有獲得特殊結(jié)果。托里拆利(E. T

6、orricelli,16081647年)卻在1645年發(fā)現(xiàn)有關(guān)等角螺線弧長的一項性質(zhì)，這項性質(zhì)在下文中將會介紹。對于等角螺線的探討，以伯努利(J. Bernoulli, 16541705年)的成果最為豐碩。他發(fā)現(xiàn)將等角螺線作某些變換時，所得的曲線仍是全等的等角螺線。這些變換包括：求等角螺線的垂足曲線 (pedal curve);求等角螺線的漸屈線 (evolute);求等角螺線反演曲線(in versive curve);求等角螺線的焦線(caustic curve);將等角螺線以其極點為中心作伸縮變換(dilation)，由于這些變換都可以使等角螺線再生，這個現(xiàn)象使伯努利大為欣慰，所以，臨歿

7、遺言要 將等角螺線的這些性質(zhì)刻在他墓碑上，同時題上一句話：Eademmutata resurgo(雖然某些狀況改變了，我卻保持不變)。這是繼阿基米德(紀元前三世紀)之 后，另一位在墓碑上表現(xiàn)其成果的數(shù)學(xué)家。等角螺線上的相似性質(zhì)根據(jù)等角螺線的方程式，可以看出：對每個9值，都有一個對應(yīng)的r值；而 且不同的9值所對應(yīng)的r值也不同（因為）。這種現(xiàn)象表示：從等角螺線上 某個點出發(fā)，隨著9值的無限制增大與無限制減小，此曲線會環(huán)繞它的極點形 成無數(shù)多圈，一面是愈繞愈遠，一面是愈繞愈聚集在極點附近。若，則當(dāng)時,曲線聚集在極點附近。若，則當(dāng) 時，曲線愈繞越遠。圖二是等角螺線的一部分。圖二圖三若輻角，”構(gòu)成一個等

8、差數(shù)列，則由指數(shù)的性質(zhì)，對應(yīng)的向徑，就 構(gòu)成等比數(shù)列。若令 Pn表示極坐標(biāo) 的點，則上述結(jié)果表示, 構(gòu)成一個 等比數(shù)列。又因，所以可知 與 相似。由此可知：構(gòu)成一個等比數(shù)列。若上述等差數(shù)列，”的公差是，Pl, P2, P3, 等乃是過極點的一射線與等角 螺線的交點。可見：過極點作任意射線，則此射線與等角螺線的交點必以等比數(shù) 列的形式排列在射線上。對于一般的幾何圖形，若我們選定某個點做為伸縮中心將圖形放大或縮小， 貝冋 得到一個相似的圖形，在等角螺線的情形中，若伸縮中心是它的極點，則不論放 大或縮小多少倍，所得的不只是相似圖形而已，它是與原等角螺線全等的一個等 角螺線。為什么呢？若以極點為伸縮中

9、心將等角螺線伸縮m倍，則所得的圖 形是等角螺線。因為，所以可找到一個實數(shù) 使得。于是伸縮后的圖形為， 這個圖形其實就是等角螺線繞極點順時針旋轉(zhuǎn)角所得，它自然與原等角螺線 全等。根據(jù)前段的說明，我們可以了解：等角螺線上的一段弧經(jīng)伸縮若干倍后， 必與該 等角螺線上的另一弧全等。事實上，若等角螺線經(jīng)伸縮成，則在等角螺線，輻角9滿足的弧，經(jīng)伸縮后必與該等角螺線上輻角 9滿足的弧全等。等角 螺線的這項特性，使得自然界中許多物體都呈現(xiàn)等角螺線的形狀。例如：許多貝殼都很接近等角螺線的形狀，因為生活在殼的動物在成長過程中都是均勻地長 大，這就像相似地放大，所以，新生的部分所棲息的空間必與原有空間形狀相似。 象

10、鼻、動物的角與毛等都呈等角螺線形。在植物中，向日葵、菠蘿與雛菊上的螺 旋紋也都呈等角螺線形。圖四是鸚鵡螺的橫截面，這么美的線條，令人不得不佩 服造物之奇。圖四黃金分割與等角螺線環(huán)繞某個定點而相似地縮小，這是等角螺線在其極點附近呈現(xiàn)的形狀。假如我們 將多邊形環(huán)繞一定點而相似地縮小，是不是會與等角螺線生關(guān)聯(lián)呢？圖五在圖五中，、 等是一系列的矩形，這些矩形中每兩個都相似（亦即： 邊的比值相等），而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一個正方形而得的。女口:是由挖掉正方形而得的。此時，上列矩形的第一個頂點 A、C、E、G、I、K 等會落在一等角螺線上，此等角螺線的極點是、等共交的點0。若以0為 極點，射線

11、為極軸，且A的極坐標(biāo)為，則此等角螺線的極坐標(biāo)方程式為其中。此等角螺線通常稱為黃金螺線。為什么會扯上 呢？原來這個數(shù)就是上述相似矩形的長邊與短邊的長度之比。因 為由與可得若線段 上的一點C滿足，則稱C點將 黃金分割。當(dāng) C點將 黃金分割時，（或）的值是，此數(shù)稱為黃金分割比。若一矩形的長邊與短邊的比值為，則此矩形稱為黃金矩形。由黃金矩形可引出等角螺線，將矩形改成三角形，也會有同樣的結(jié)果嗎?在圖六中等是一系列的等腰三角形，這些等腰三角形中每兩個都相似，而且后一等腰三角形，都規(guī)定是由其前面的等腰三角形挖掉一個等腰 三角形而得的。例如： 是由 挖掉等腰三角形 而得的。圖六此時，上列等腰三角形的頂點 A、

12、B、C、D、E、F、G、H、等會落在一等 角螺線上，此等角螺線的極點是 與的交點0。若以0為極點、射線為極軸、 且A的極坐標(biāo)為，則此等角螺線的極坐標(biāo)方程式為其。此等角螺線也稱為黃金螺線。此等角螺線也扯上，其理由如下：上述的相似等腰三角形ABC等，可證明其頂角為36°，而底角為72°，所以，。此種三角形稱為黃金三角形。等角螺線的弧長假定我們想計算等角螺線 上，輻角9滿足 那段弧的長，利用前面所提的相似 性質(zhì)，我們可將區(qū)間 等分成n等分，設(shè)每一等分的長為 h,即。又令Pi表 示極坐標(biāo)（）的點，i=0,1,2,，n,先考慮所得折線的長 + +。若這個和 在（或）時的極限存在，則其

13、極限值就是所欲求的弧長。上述的折線長怎么計算呢？因為 與相似，所以=由此可得頁耳+耳耳+耳-兒兔7T(l + ehcatat + hccAa + eC7-)耳口 1ph cot a1另一方面，利用余弦定律可求得此值等于該弧的兩端點向徑之差與的乘積。此值等于該弧的兩端點向徑之差與的乘積。再根據(jù)微積分中的Hospital法則，可得由此可得由此可知：在等角螺線上，輻角 9滿足那段弧的長為:此值等于該弧的兩端點向徑之差與的乘積。在 的情形中，因為當(dāng) 時，可得，所以，極點可以看成是等角螺線的一個終極 位置。我們也因此可以問：由點 繞回極點0的長度為多少？這段弧是輻角 9 滿足 所對應(yīng)的部分，它的長度可以

14、分別考慮9滿足、 等部分的弧長，然后相加而得。因此，由 至0的弧長等于前面所得的結(jié)果，可以做一項有趣的幾何解釋：過0作一直線與 垂直，因為過 P的切線與不垂直，所以，上述垂直線與切線交于一點 T。由于，于是，可得。換言之，由P點 繞回0點的弧長與 的長相等，這就是托里拆利所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)（見圖七） 。前段所提的性質(zhì)，還可作如下的解釋：設(shè)想等角螺線在直線 PT上作不滑的滾 動，則極點0最后會移動到T,而且在滾動過程中，0點的運動路徑就是。等角螺線的再生性質(zhì)垂足曲線設(shè)C為一曲線而0為一定點，自0向C的所有切線作垂直線，則所有垂足 所成的圖形稱為曲線C對定點0的垂足曲線。若C是等角螺線，則C對其極點的垂

15、足曲線是一個全等的等角螺線，為什么 呢？在圖七中，若是在切線PT上的垂足，貝U ，而是P的輻角（設(shè)）。因 此，可得換言之，所有 H點構(gòu)成等角螺線焦線設(shè)C為一曲線而0為一定點，將過0的所有直線都對曲線 C作反射，若反 射所得的所有直線都是某曲線的切線，則此曲線稱為曲線 C對定點0的焦線。若C是等角螺線，則C對其極點的焦線是一個全等的等角螺線，我們說明如 下。設(shè)P是等角螺線C上一點，是極點0對于過P之法線的對稱點，則 直線0P對等角螺線C反射，所得的直線就是直線 PR （見圖七）。顯然， 而且是點P的輻角（設(shè)）。因此，可得換言之，所有 R點構(gòu)成等角螺線 。因為此等角螺線過 R點的切線與直線 0R的

16、夾角等 于a，而直線PR正具有這項性質(zhì)。也就是說，直線 PR就是此等角螺線在 R點的切線。 因此，此等角螺線就是原等角螺線 對極點0的焦線。漸屈線設(shè)C為一曲線，作C的所有法線，若所有法線都是某曲線的切線，則此曲線 稱為曲線C的漸屈線。若C是等角螺線，則C的漸屈線是一個全等的等角螺線，我們說明如下。設(shè) P是等角螺線C上一點，在過P的法線上而且 （見圖七）。顯然，而且 是點P的輻角（設(shè)）。因此，可得換言之，所有 N點構(gòu)成等角螺線 。因為此等角螺線過 N點的切線與直線 ON的夾角等 于a，而法線PN正具有這項性質(zhì)。也就是說，法線 PN就是此等角螺線在 N點的切線。 因此，此等角螺線就是 的漸屈線。曲

17、線C的漸屈線也可定義為曲線 C的每個點的曲率中心所成的圖形。在 圖七中，該等角螺線在 P點的曲率中心就是 N、曲率半徑就是 ()。習(xí)題：試證圖七中的所有 T點所成的圖形仍是一個全等的等角螺線，稱為原等角螺線的漸伸線(involute)。其它螺線舉例除了等角螺線外，數(shù)學(xué)上還有許多不同形式的螺線， 像阿基米德螺線、雙曲螺線 (hyperbolic spiral)、拋物螺線(parabolic spiral)、連鎖螺線(lituus) 等， 其中的阿基米德螺線最為有趣，我們略作介紹如下。向徑與輻角的比值是常數(shù)時，其軌跡稱為阿基米得螺線。以極坐標(biāo)表示時，其方 程式為，其中a是常數(shù)。早在古希臘時代，大數(shù)

18、學(xué)家阿基米德就對這種螺線作過研究，并寫成一篇名為On spirals的作品。在圖八中，PQR是一把木匠用的曲尺，其短臂的側(cè) 之長為a,圓0的半徑也 為a，A與B是圓O上兩點，而且是直角。首先，將曲尺上的 P與Q分 別置于O與B，然后將曲尺的長臂側(cè) 沿著圓O滾動，則在滾動過程中，P點 所經(jīng)過的路徑就是阿基米德螺線 的一部份。為什么呢？在圖八中， 已經(jīng)滾動到 與O相切于T點。則=弧TB的長。設(shè)。于是，可得=弧TB的長=(此 處9系以弳為單位)。因為向徑與輻角成比例，所以，阿基米德螺線可用來將等角速運動轉(zhuǎn)換成等速直 線運動，在圖九中，有一個心狀的圖形是由兩段全等的阿基米德螺線弧所接合而 成，它們的極點都是 O,其上的F則連接在一個可上下移動的桿子上。當(dāng)心狀 圖形以等角速繞 O點轉(zhuǎn)動時，就可帶動上面的桿子作等速直線運動。圖八將阿基米德螺線對其極點作反演變換(inve