浙江大學(xué)大二數(shù)學(xué)專業(yè)《高等代數(shù)》考試B卷及答案

1、高等代數(shù)課程試卷b 專業(yè)：考試日期：所需時間： 120 分鐘總分： 100 分閉卷一、選擇題（ 5 分5）1設(shè) a 為型矩陣， b為型矩陣， e為 m 階單位矩陣，若ab=e ，則（）a、秩 r(a)=m, 秩 r(b)=m b、秩 r(a)=m, 秩 r(b)=n c、秩 r(a)=n, 秩 r(b)=m d、秩 r(a)=n, 秩 r(b)=n 2設(shè)向量組123,線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）. （a）122331,；（b）122331,；（c）1223312,2,2；（d）1223312,2,2. 3線性方程組axb的系數(shù)矩陣式45矩陣，且a的行向量線性無關(guān)，則錯誤的命題是（）.

2、 (a) 齊次方程組0ta x只有零解；（b）齊次方程組0ta ax必有非零解；(c) 對任意的b，方程組axb必有無窮多解；(d) 對任意的b，方程組ta xb必有唯一解 . 4 設(shè)102011101a，矩陣b滿足2ababe，則 be. （a）17；（b）97；（c）97；（d）1. 5 設(shè),a b是滿足0ab的任意兩個非零矩陣，則（）. （a）a的列向量組線性相關(guān)，b的行向量組必線性相關(guān)；（b）a的列向量組線性相關(guān)，b的列向量組必線性相關(guān)；（c）a的行向量組線性相關(guān)，b的行向量組必線性相關(guān)；（d）a的行向量組線性相關(guān)，b的行向量組必線性相關(guān). 二、填空題（5 分5） 6 設(shè)a為 3 階矩

3、陣，2a， 把a按行分塊為123aaaa， 則行列式312123_.aaaa7設(shè)12 3121201 1311 0420 25ka，且a得秩為 3，k=_.8 設(shè)1,(1, ,)tiiinaair rn是n維實向量，且1,r線性無關(guān)，已知1,tnbb是線性方程組11110nrrnaaxaa的非零解，判斷向量組1,r的線性相關(guān)性._ 9 判斷二次型222123123121323,55484fx x xxxxx xx xx x是否正定 _. 10已知平面上三條不同直線的方程分別為230,230,axbycbxcya230,cxayb試證明這三條直線交于一點的充要條件是0abc. 三、解答題 . （

4、10 分5）11 設(shè)n元線性方程組axb，其中2222212121212aaaaaaaaaa，12nxxxx，100 xb院系：專業(yè)班級：姓名：學(xué)號：裝訂線（1）證明行列式(1)nana；（2）當(dāng)a為何值時，該方程組有唯一解，并求1x；（3）當(dāng)a為何值時，該方程組有無窮多解，并求通解12.2 461 23_4 812naa已知，則. 13. 已知向量組=123,， =1234,，=1235,，如果各向量組的秩分別為3，3， 4. 證明：向量組12354,的秩為 4. 14. 已知階矩陣1234,a，其中234,線性無關(guān)，1232，如果1234，求方程組ax的通解15 證明：如果,1fxg x，

5、,1fxh x，則,1fxg x h x. 高等代數(shù)課程試卷b 專業(yè)：考試日期：所需時間： 120 分鐘總分： 100 分閉卷一、選擇題（ 5 分5）1設(shè) a 為型矩陣， b為型矩陣， e為 m 階單位矩陣，若ab=e ，則（）aa、秩 r(a)=m, 秩 r(b)=m b、秩 r(a)=m, 秩 r(b)=n c、秩 r(a)=n, 秩 r(b)=m d、秩 r(a)=n, 秩 r(b)=n 2設(shè)向量組123,線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（a ）. （a）122331,；（b）122331,；（c）1223312,2,2；（d）1223312,2,2. 3線性方程組axb的系數(shù)矩陣式4

6、5矩陣，且a的行向量線性無關(guān)，則錯誤的命題是（ d ）. (a) 齊次方程組0ta x只有零解；（b）齊次方程組0ta ax必有非零解；(c) 對任意的b，方程組axb必有無窮多解；(d) 對任意的b，方程組ta xb必有唯一解 . 4 設(shè)102011101a，矩陣b滿足2ababe，則 be.b （a）17；（b）97；（c）97；（d）1. 5 設(shè),a b是滿足0ab的任意兩個非零矩陣，則（ a ）. （a）a的列向量組線性相關(guān)，b的行向量組必線性相關(guān)；（b）a的列向量組線性相關(guān)，b的列向量組必線性相關(guān)；（c）a的行向量組線性相關(guān)，b的行向量組必線性相關(guān)；（d）a的行向量組線性相關(guān)，b的行

7、向量組必線性相關(guān). 二、填空題（5 分5） 6 設(shè)a為 3 階矩陣，2a， 把a按行分塊為123aaaa， 則行列式312123_.aaaa 67設(shè)12 3121201 1311 0420 25ka，且a得秩為 3，k=_1_.8 設(shè)1,(1, ,)tiiinaair rn是n維實向量，且1,r線性無關(guān)，已知1,tnbb是線性方程組11110nrrnaaxaa的非零解，判斷向量組1,r的線性相關(guān)性._ 【 解 】 根 據(jù) 定 義 來 判 斷 . 設(shè)1,0rs， 這 里11,trsss. 由 題 意 ，0ti，則0ti. 由1,0rs得1110trrrsss，即1110tttrrrsss. 所以

8、10trs，10rs. 又因為1,r線性無關(guān)，10rss.所以向量組1,r的線性無相關(guān) . 9 判斷二次型222123123121323,55484fx x xxxxx xx xx x是否正定 _. 【解】f所對應(yīng)的矩陣為524212425，它的順序主子式院系：專業(yè)班級：姓名：學(xué)號：裝訂線5245250,0, 2120.21425所以f正定 . 10.已知平面上三條不同直線的方程分別為230,230,axbycbxcya230,cxayb試證明這三條直線交于一點的充要條件是0abc. 三、解答題 . （10 分5）11.設(shè)n元線性方程組axb，其中2222212121212aaaaaaaaaa

9、，12nxxxx，100 xb（4）證明行列式(1)nana；（5）當(dāng)a為何值時，該方程組有唯一解，并求1x；（6）當(dāng)a為何值時，該方程組有無窮多解，并求通解【解】（1）方法一：數(shù)學(xué)歸納法證明(1)nndna1k時，12da，假設(shè)1kn時，(1)kkdna則當(dāng)kn時，21221222(1)(1).nnnnnndada danaanana方法二：遞推法由2122nnndada d，得到211212222321()()().nnnnnnnnnndadada da dadadadadada所以，122221212(2)(1)(1).nnnnnnnnnnndaa aadaa dnaadnaadna（2

10、）當(dāng)0a時，0nd，方程組有唯一解11(1)(1)nnnanxnana（3）當(dāng)0a時，()1r an，(| )1r a bn，所以方程組有無窮多解，通解為01100000 xk12.2 461 23_4 812naa已知，則. 【解】21212342221231238 1238444( 8)nnaaaaa1，故111，所以。注： 如果一個矩陣a的秩是 1， 則它可以分解成兩個矩陣的乘積，即12233aaabba1b，同時，122323,aakakbbaa1其中b，試證之。13. 已知向量組=123,， =1234,， =1235,，如果各向量組的秩分別為3，3，4. 證明：向量組12354,的

11、秩為 4. 【證明】方法一：既然的秩為3，則123,線性無關(guān)，的秩為3，則1234,線性相關(guān) . 所以4可以由123,線性表示，設(shè)4112233xxx, 所以1212354123511223312353100010,.0010001xxxxxx所以向量組12354,的秩為 4. 方法二：反證法. 設(shè)12354,線性相關(guān)，則54可由123,線性表示，設(shè)為54112233.yyy所以5111222333xyxyxy，的秩為 3，矛盾 . 14. 已知階矩陣1234,a，其中234,線性無關(guān)，1232，如果1234，求方程組ax的通解【解】方法一：既然1234， 即12341234,1 111t 所

12、以是ax的一個特解又因為234,線性無關(guān)，1232，3r a，其基礎(chǔ) 解 系 的 維 數(shù) 是 12312342,12100t，1210是基礎(chǔ)解系所以方程組ax的通解為xk方 法 二 ： 將1232帶 入 方 程 組1234ax， 其 中1234txxxxx，得到122133442310 xxxxx既然234,線 性 無 關(guān)， 所 以12134230010 xxxxx， 即1234210031010000010 xxxx. 所 以03011210ttxk，kr. 用配方法化二次型123122313,262fx x xx xx xx x為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所有的坐標(biāo)變換. 注明：用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形要分以下類型完成：1 iia中至少有一個不為零，例如110a，作變換111111222njjjnnxya a yxyxy.注意首先要寫出二次型所對應(yīng)的矩陣，以防計算錯誤；2 所有0iia，但是至少有一個101jaj，例如120a作變換11221233nnxzzxzzxzxz. 15. 【解】作變換11221233xyyxyyxy，則222123133223,22