高中數(shù)學(xué)：函數(shù)解析式的十一種方法

1、高中數(shù)學(xué)：函數(shù)解析式的十一種方法一、定義法二、待定系數(shù)法三、換元（或代換）法四、配湊法五、函數(shù)方程組法七、利用給定的特性求解析式. 六、特殊值法八、累加法九、歸納法十、遞推法十一、微積分法一、定義法：【例 1】設(shè)23)1(2xxxf，求)(xf. 2 1)1(31) 1(23) 1(22xxxxxf =6)1(5) 1(2xx65)(2xxxf【例 2】設(shè)21)(xxxff，求)(xf. 【解析】設(shè)xxxxxxff111111121)(xxf11)(【例 3】設(shè)33221)1(,1)1(xxxxgxxxxf，求)(xgf. 【解析】2)(2)1(1)1(2222xxfxxxxxxf又xxxgx

2、xxxxxxxg3)()1(3)1(1)1(3333故2962)3()(24623xxxxxxgf【例 4】設(shè))(sin,17cos)(cosxfxxf求. 【解析】)2(17cos)2cos()(sinxxfxfxxx17sin)172cos()1728cos(. 二、待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法?！纠?1】設(shè))(xf是一次函數(shù)，且34)(xxff，求)(xf【解析】 設(shè)baxxf)()0(a，則babxabbaxabxafxff2)()()(342baba3212baba或32)(12)(xxfxxf或【例 2】已知1392)2(2xxxf，求)(xf. 【解析】顯

3、然，)(xf是一個(gè)一元二次函數(shù)。設(shè))0()(2acbxaxxf則cxbxaxf)2()2()2(2)24()4(2cbaxabax又1392)2(2xxxf比較系數(shù)得：1324942cbaaba解得：312cba32)(2xxxf三、換元（或代換）法：已知復(fù)合函數(shù) ( )f g x的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求( )f x的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。【例 1】 已知xxxf2)1(，求)1(xf【解析】 令1xt，則1t，2)1(txxxxf2) 1(,1) 1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(xxxxxf21)1()1(22)0(x【例 2】已知,11)1

4、(22xxxxxf求)(xf. 【解析】 設(shè),1txx則11tx則xxxxxxxftf11111)1()(2221) 1()1(1111)11(11222tttttt1)(2xxxf【例 3】設(shè)xxf2cos)1(cos，求)(xf. 解：令1cos, 1costxxt又0201cos2, 1cos1txx即0,2,)1()()02(,)1()(22xxxftttf即【例 4】若xxxfxf1)1()(（1）在（ 1）式中以xx1代替x得xxxxxxfxxf11)111()1(即xxxfxxf12)11()1(（2）又以11x代替（ 1）式中的x得：12)()11(xxxfxf（3）)1(11

5、2121)(2:)2()3()1 (23xxxxxxxxxxf得)1(21)(23xxxxxf【例 5】設(shè))0,()1()()(ba，cbacxxbfxafxf且均不為其中滿足，求)(xf?！窘馕觥縞xxbfxaf)1()(（1）用x1來代替x，得xcxbfxaf1)()1(（2）由xbcacxxfbaba222)()(:)2()1(得xbabcacxxfba)()(222【例 6】已知2)(21xafx，求)(xf. 【解析】設(shè)01xat，則txalog1即1log txa代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa3log2log)(2xxxfaa四、配湊法已

6、知復(fù)合函數(shù)( )f g x的表達(dá)式，要求( )f x的解析式時(shí)， 若 ( )f g x表達(dá)式右邊易配成( )g x的運(yùn)算形式，則可用配湊法，使用配湊法時(shí)，要注意定義域的變化?！纠?1】已知(1)2,fxxx求( )f x的解析式。【解析】2xx可配湊成可用配湊法由2(1)2()1fxxxx令1tx01xt則2( )1f tt即2( )1(1)f xxx當(dāng)然，上例也可直接使用換元法令1tx則1tx得222(1)( )(1)2(1)1xtf tttt即2( )1(1)f xxx由此可知，求函數(shù)解析式時(shí)，可以用配湊法來解決的，有些也可直接用換元法來求解?！?例 2 】已知2211(),f xxxx求

7、( )f x. 【解析】此題直接用換元法比較繁鎖，而且不易求出來，但用配湊法比較方便。由222111()()2fxxxxxx令2110txxtxx由0即240t得 tr2( )2ftt即：2( )2()f xxxr實(shí)質(zhì)上，配湊法也缊含換元的思想，只是不是首先換元，而是先把函數(shù)表達(dá)式配湊成用此復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)來表示出來，在通過整體換元。和換元法一樣，最后結(jié)果要注明定義域。五、函數(shù)方程組法。函數(shù)方程組法適用的范圍是：題高條件中，有若干復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)( )f x混合運(yùn)算，則要充分利用變量代換，然后聯(lián)立方程組消去其余部分。【 例 1】設(shè)( )f x滿足1( )2 (),f xfxx求( )f x的解

8、析式?！窘馕觥恳? )f x可消去1()fx,為此，可根據(jù)題中的條件再找一個(gè)關(guān)于( )f x與1()fx的等式，通過解方程組達(dá)到消元的目的。1( )2( )f xfxx 顯然，0 x,將x換成1x得11( )2 ( )ff xxx.由1( )2()11()2( )f xfxxff xxx消去1()fx，得12( )33f xxx小結(jié)：函數(shù)方程組法適用于自變量的對(duì)稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如f(x) 、1()fx；互為相反數(shù)，如f(x)、 f(-x) ，通過對(duì)稱代換構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱方程組，解方程組即得f(x) 的解析式。【 例 2 】已知2)(21xafx，求)(xf. 【解析】設(shè)01xat，則txalo

9、g1即1log txa代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa3log2log)(2xxxfaa【例 3 】設(shè))(xf為偶函數(shù)，)(xg為奇函數(shù)，又,11)()(xxgxf試求)()(xgxf和的解析式【解析】)(xf為偶函數(shù)，)(xg為奇函數(shù)，)()(),()(xgxgxfxf又11)()(xxgxf ，用x替換x得：11)()(xxgxf即11)()(xxgxf解聯(lián)立的方程組，得11)(2xxf，xxxg21)(六、特殊值法：（賦值類求抽象函數(shù)）【例 1】設(shè))(xf是定義在 n上的函數(shù)，滿足1)1 (f，對(duì)于任意正整數(shù)yx,，均有xyyxfyfxf)()(

10、)(，求)(xf. 解：由1)1(f，xyyxfyfxf)()()(設(shè)1y得：xxfxf)1(1)(即：1)()1(xxfxf在上式中，x分別用1, 3 ,2 ,1t代替，然后各式相加可得：tttttf21211)1)(2(21)(2)(2121)(2nxxxxf【例 2】 已知：1)0(f，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，等式) 12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf【解析】對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、 y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0 x，則有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令xy得函數(shù)解析式為：1)(2xxxf七利用給定的特性求解析式. 【例 1】設(shè))(xf是偶

11、函數(shù)，當(dāng)x0 時(shí)，xexexf2)(，求當(dāng) x0 時(shí)，)(xf的表達(dá)式 . 【解析】對(duì)xr，)(xf滿足)1()(xfxf，且當(dāng) x 1，0時(shí)，xxxf2)(2求當(dāng) x9，10時(shí))(xf的表達(dá)式 . 七利用給定的特性求解析式. 八、累加法：（核心思想與求數(shù)列的通項(xiàng)公式相似）【例 1】若af1lg)1 (，且當(dāng)),0(,lg)() 1(,21nxaaxfxfxx滿足時(shí)，求)(xf. 【解析】), 0(lg)1()(1nxaaxfxfx遞推得：2lg)2()1(xaxfxf3lg)3()2(xaxfxf2lg)2()3(affafflg)1()2(以上)1(x個(gè)等式兩邊分別相加，得：122lglg

12、lglg) 1()(xxaaaafxf)1()2(21lg)1 (xxaf12)1(2)1(lglg1lgxxxxaaaaxxlg12)1(九、歸納法：【例 1】已知afnxxfxf)1()(),(212)1(且，求)(xf. 【解析】aaffaf2124212)1 (212)2(,)1(aaff202124)212(212)2(212)3(aaff312124)413(212)3(212)4(aaff422124)81213(212)4(212)5(，依此類推，得axfxx132124)(再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。十、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式?！?例1 】設(shè))(xf是 定 義 在n上 的 函 數(shù) ， 滿 足1) 1(f， 對(duì) 任 意 的 自 然 數(shù)ba,都 有abbafbfaf)()()(，求)(xf【解析】nbaabbafbfaf,)()()(，不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1 ()(，又1)()1(,1)1 (xxfxff故分別令式中的1,21xn得：(2)(1)2,(3)(2)3,( )(1),fffff nf nn將上述各式相加得：nfnf32)1()(，2)1(321)(nnnnfnxxxxf,2121)(2十一、微積分法：（當(dāng)你學(xué)了導(dǎo)