數(shù)值分析第五版課后答案

1、2給出/(x) = Iar數(shù)值表如下：r0.40.50.60.70.8IlLT-0.916 291一 0.693 147-0.510 826-0. 356 675-0.223 144用線性垢值及二次箱值計(jì)算InO. 54的近似值解 依據(jù)插值誤差估計(jì)式選距離054較近的點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，并建立差商 表如下:x0 = 0. 5X = 0.6Xz = 0. 41.823 2102. 027 325二 一 0.204 115-0.693 147-0.510 826一 0. 916 291寫出Newton插值多項(xiàng)式M(h) =0.693 147+ 1.823 210(工一05)N?(j) =4-(-0. 2

2、04 115)(j-0.5)(x0.6)計(jì)算近似值M(O54) =0.693 147+ 1.823 210(0.54 -0.5) =0.620 218 6N2(0. 54) = M (0.54)-0.204 115(0. 54- 0.5X0. 54- 0.6) =-0.616 8394設(shè)二為互異節(jié)點(diǎn)(j = 0.1 山)求證：n(i) 為切(工)三Pd = o, 1，”八99(ii )另(町-(x) = 0 (& = 1, 2,.n).證明(i )令/(工)=工仁若插值節(jié)點(diǎn)為場(chǎng)0 = 0,1 ，”).則八刃的并 次插值多項(xiàng)式為仁”(才)=工才仏(丁)插值余項(xiàng)為R尺(工=/(x) L(j

3、t) =-7770/1 (.r)5 十 1)!又因?yàn)樗試?yán)(C = 0, Rfl(x)二 0所以SS(刃=丿iD L ' ? 'i-o ；-n L ' Z fiI)L ' z z/«o9 *<>' <5設(shè) f(x) 6 C?a$ b且 f(a) = f(b) = 0.求證:£ (")(一刃if = (jr-x)' 三 0max I /(j) IC £(b a)? max I f (x) | gfO證明 令T = «和工=6,以此為插值節(jié)點(diǎn)則插值多項(xiàng)式為L(zhǎng) (x) = /(a) -

4、+ f(b) 7三 0a bb a應(yīng)用插值余項(xiàng)公式有I /(-r) L (r) | =/z (?)(x u)(x 6) |£(a,ZO£ max | /7f) I max | (# a)(r ZO | =Z（6 a）? max |（x） |O6.在一 4<r<4上給出f（x） = b的辛距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用分段二次插值求h的近似值，要使微斷誤差不超過(guò)ICT,問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少？解若插值節(jié)點(diǎn)為X,-, , xf和工小則分段二次插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)為式中爲(wèi)一1 = X, A = X, + A.（IW e* max | （«r 工尸）（工衛(wèi)）（才一才沖

5、）| W 0 齊23< W6 得 y 0.006 5&插值點(diǎn)個(gè)數(shù)44）def葉眾啜”6*】217N 是奇數(shù)，故實(shí)際可采用的函數(shù)值表步長(zhǎng)4 （4）fi"4 =畐"006 5797.若 y. = 2" 求 $ y,及 & y.解根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進(jìn)行求解=（E-（：）（_ lLEy = 2 （：）«_ 1）1”：=（若（：）（_1）_2）幾=（2_1） = ” = 2"歹y, = （E? -E*T = （ETt ）4（E- "% =O'、” = £2（弘）=*2 =&如果/

6、（x）是加次多項(xiàng)式，記f（jr） = f（x + h）- /（j-）.證明f（j-）的 k階差分丁（文）（0 W怡£加）是m-k次多項(xiàng)式，并且A7<x） = 0（2為正 蔓數(shù)）.證明 對(duì)m次多項(xiàng)式/（£應(yīng)用Taylor公式有L?'/"）= /（x + A）/（x）= 門刃/1 +務(wù)門刃+ 4廣"刃 匕！刃！即A/（z）為m-1次的多項(xiàng)式.?。ㄐ? （/（=）,對(duì)7«-1 >0次多項(xiàng)式/（工）應(yīng)用上述推理過(guò)程知 （八工）=圧fS 是m-2次的多項(xiàng)式依此過(guò)程遞推知&/（刃（0$加）為m-k次多項(xiàng)式所以為常數(shù)，故丫*了（工

7、）=0（/為正整數(shù)）.9. ii明 （/>g*） = /* Ag* + g屮 4幾證明 （齊gj = /iigm /*g* = fi gw fkgki + 辦 gw 齊 g» =gz （啟i 一人）+ /*（gii gJ = gw 5 +15.證明兩點(diǎn)三次Hermite *值余項(xiàng)是/?3（-r）= “a f 工及¥ （文工 z？ （如）4!并由此求出分段三次Hermite插值的課差限.證明若工 工-"屮且插值多項(xiàng)式滿足條件= /&）比（工屮）=f（Ti）Hj （Xh-j ） = /（x>+i）知描值余項(xiàng)RQ） = /（t）-H.（x）有二重零點(diǎn)

8、心和工1故設(shè)R（x）=虹工）（工一及尸（工一0*屮）2確定函數(shù)k（x）:當(dāng)工=及或工屮時(shí)k（G取任何有限值均可：當(dāng)丁工才工屮時(shí)，才 （工八工屮），構(gòu)造關(guān)于變ft r的函數(shù) g（r） = /（D-Hj（f） 虹工）（一及嚴(yán)（/一才屮）？ 顯然有g(shù)（x* ）=0,g（j7）0,&（二屮=0g'QJ = 0） = 0在O- !和!，工屮上對(duì)g（x）使用Rolle定理存在中 5 刃及 字G J*ti）使得g'（°） = 0,g'（%）= 0在（小巾），5、/），5、工屮）上對(duì)g'Q）使用Rolle定理，存在0 （I*»中）、巾2 （71 %）

9、和阻屮G （少，才屮）使得g氣 v»j）= g"（ 712）= g"（ %, i）= 0再依次對(duì)g"和廣 使用Roh定理，知至少存莊£ （及.工屮）使得 g"（g） = 0而g=rn（O-Hx）4!，將"弋入，得到機(jī)工）=ee（二工屮）椎導(dǎo)過(guò)程表明E依賴于幾，工屮及幾綜合以上過(guò)程可知R（x） = *廣'応）（才工 J（JT JT屮）2下面建立分段三次Hermite插值的謀差限.記人（Q為/（刃在0, £上的 基于綽距節(jié)點(diǎn)的分段三次Hermite值函數(shù)= a +刨（6 = 0, 1.n）, h = b a在小

10、區(qū)間及 丁屮上有I 2、人（蟲）I = * 丨I（X x*）2（r ）2 <7T max | f） ） max （才一比），（工一工屮尸4! arb而最值max52(5一 I)?護(hù)0Wmax （x進(jìn)而得誤差估計(jì)I 2) A(J)Kmax |oo4 W16.求一個(gè)次數(shù)不高于4次的務(wù)項(xiàng)式P(P使它滿足P(0) = P(0) = 0, P(I) = Pz(l) = 1P(2) = 1.解法一 利用Hermite插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式Xu = 0 才 1 = 11H3（x）= 工恥丿（才）+工巾傷（&）0 /«0切（才）=（_2 匸空）（工一勺）2 = （1 +2z）（

11、x- I）2工。JT | 工u 一一 JT i8（才）=（_2 工二月）（廣乜）2 =（3 2匸）土X）如 Xi Xo伐（工）=x（x- I）2向=（x-l）x2所以Hj（工）=（3 2広）才2 + （丁 一】）才？=才+ 2j*2設(shè)P（p = H3（h） + A（才一竝工一?。?,其中A為待定常數(shù)，令P（2）=1得于是P（T）=丄工譏匸一3尸4建立如下差商表:解法二（帶重節(jié)點(diǎn)的Newion插值法）00112這樣可寫出Newton插值公式P(x) = 0十 0(工一0) + 1(丁一0)? - l(.r-0)2(x- 1) 4-4(才 一0”(2 1)2 =工2一十01) + 4-”(工一】)

12、2 =44”（工 _3）?17設(shè)/（Q =訂占飛在一 5 =工5上取 =10扶爭(zhēng)矩節(jié)點(diǎn)求分段線 1 I性插值函數(shù)Z*（x）.計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處人（才）與/（x）的值并估計(jì)謀差.解 若“ =5工2 = 5,則步長(zhǎng)人= = I =-54- ih = 5 +n10）.在區(qū)間工工宀上，分段線性插值丙數(shù)為11° (x) = /(丄)+ /(g)max45(x jrt )(x .ri41 )2才(1+宀6x2 - 2FTT77工r+1 一攵+不1 + 云 1 + xf+1分段線性插值函數(shù)定義如下：仏（工）=肝（刃=亍甘+升僉'xe x,各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處函數(shù)值及插值函數(shù)值如下所示:X土 0.

13、5土 15±2.5±3.5±4.5/(j)0. 800 00. 307 70.137 90.075 50.047 1/a（J）0. 750 00. 350 00. 150 0 0. 079 40. 048 6估計(jì)誤差：在區(qū)間工工,+門上I fd) |= yj /*(?)( J X.XXXI) £4- max | fS I max | (工jt,(z 一 不申)| 厶5W5zfj而T =兒+出1r r max I $(£ 1) | =-4令廣=箏¥亦> =0得3的駐點(diǎn)0± 1 于是max fix) | = max<

14、 I /*(0) | I f<± 1) |. f (± 5) | = 2 故有結(jié)論IW*X2X# = xe右端與，無(wú)關(guān)故I /（x） fA（x） |<5, 51&求/（x） = X2在s小上的分段線性插值函數(shù)并估計(jì)誤差 解 在區(qū)間上= a 亠=九九=才“一兀（0 W i W n 1） h = max ht.函數(shù)/（x）在工八工宀上的線性插值西數(shù)為2、Q = /（r）幺二"）+/（文沖）*一互=召（如一刃+字（.Z 2xf xr+! x9 hint分段線性插值函數(shù)2 2h （:T）=八"（X）=務(wù)（g JT）+ -<X X, ）

15、才 丁八 X,+ l誤差估計(jì)1/（工）一爐（工）|= 右你）（工一工,）（工切）<i- max | fix'） I max | （=才,）（r - g ） | =* X 2 X （鄉(xiāng)）=牛工 工八g I /（x） h （工）| £ maxn<ra-1I /（）片（jt） I £ max 與19.求f（工）=P在s 6上的分段Hermite輜值，并估計(jì)謀差 解 在區(qū)間ob上兒=。亠=h.hi = T, 令h = max A,.g底lI 在區(qū)間乂,，Xh-1的Hermite插值函數(shù)為/：r,（x） = £（1_2） /£_ZZiiL V

16、+4”（才_(tái)工,）（才_(tái) 斗'+X, Xr+1 /X,匸沖 /XX. X,+1 /-Tr+I T, / X|+| Xi J4#+i （x 于）, 文 k J >4-1J-i /估計(jì)誤差I(lǐng) /（«r）肝（r） | =x, ）?（x xr+i ）2 £7T7 max | /ai （x） | max I （x .r, ）（t Xh-i）I2 = x 24 x j =舘，對(duì)于h<Jr)有I /(x) h(x) |< max | /(x) /*B(jr) |< max 靠=鴛20.終定敎抿裹如下:0.250. 300. 390.450. 530. 50

17、0 00. 547 70. 624 50. 670 80. 728 0試求三次樣條福值S（j）.并滿足條件0.250.250. 300.390.450. 530.531. 000 00. 954 00.853 30.771 70. 715 00. 686 80. 920 0 = /心，x0 xi0. 719 3 = /去，工1 業(yè)0. 544 0 = fjcx,比,小0. 405 0 = /xt.工3 9 x4一 0.352 5 = /j：3, x4. x4(j ) S'(0. 25) = 1. 000 0, S'(0 53) = 0. 686 8；(ii)丫(0.25) =

18、口(0.53)=0.解htt = 0. 30 0. 25 =0. 05,h = 0. 39 -0. 30=0. 09h2 0. 45 0. 39 =0. 06.hi = 0. 53 -0. 45=0. 08rfi “- h 小-1h得/田旳h,+h閃=5=訂.兒=21143 =3=丁.As = T3s T9入3 =建立差商（均差）表（i）已知一階導(dǎo)數(shù)邊界條件彎矩方程組解此方程得2152914392TT394T12 -M-0. 920 0"M?-0. 719 3M：=6一 0. 544 0Ma-0.405 0M-0. 352 5.= 2.027 8.=一 1.464 3. M? =-

19、1.031 3=一 0. 807 2. M, =- 0. 653 9三次樣條表達(dá)式為L(zhǎng) 878 3x3 - 2. 422 7+ 十 1.859 1x4-0. 157 3G0. 25. 0. 300.801 9x3 一 1. 453 8x2 + 1. 568 5x + 0. 186 3“ 60. 622 5x3 一 1.244 Ox2 + 1. 486 6x4-0. 197 0工 60. 30. 0. 390. 39 > 0. 45（0.319 4才彳 一 0.834 8工？ + 1.302 5x + 0. 224 6>x 60.45. 0. 53（II）已知二階導(dǎo)數(shù)邊界條件M

20、76; = 0彎矩方程組2350143解此方程得Mi =一 1.880 9.M2 =一 0.861 6. M3 = L030 4x 6 0. 30, 0. 39x 6 0.39 0.45三次樣條表達(dá)式為（一 6. 269 7F +4. 702 3jr2 -0. 205 9才+ 0.355 5. z 0. 25, 0. 301.887 6x3 - 2. 639 3x2 + 1. 996 6x + 0. 135 3. S（X）= v一 0. 468 9x3 + 0. 117 8x2 +0. 921 3工 + 0.275 1, 2. 146 7x3 - 3.413 2x2 + 2. 510 3才+

21、0.036 7. x 6 O.45 0. 53第三章4計(jì)算下列函數(shù)/(刃在1上的|11/lh與|f 11“ (1> /(T)(X 1)3| f3 = 斗;解 (1) f (£ = 3(陽(yáng)一 W 孑 Q" <0, 1),故 #()單增 *II / II x = max |工一1)' | = max I /(0) | * S /(1 > | = 1m V jf£ 1II / IL = J I /<x) I dx = J (1 z)dx =li / ih = P /(x)dx y =17 = 1I /(JT> | <LrII

22、/ II ? = /3 肛=maxI /<0) L /(y )H_+)在 I /(l) I J-y乩 時(shí)權(quán)函就以工=1十十區(qū)間一11益試求首項(xiàng)承教為1的正交多孑式 睜）* n 0% I« 2* £解 任區(qū)間一叭上定義內(nèi)積 5 g> = |'/（j>g（x）p（x）dz<p (r> = 11=（f爐農(nóng)）_0 =o g、g _ 36 少 517' g，竅、 136/525 1 戸一 ,対）-16715709弱（w）=（囂_ g ）輿血竽=衛(wèi)一 x18- /（.r） = sin 在1* 1上按勒讓德多項(xiàng)式展開求三次最隹平方逼近多頊?zhǔn)?

23、解 記他二為勒it德正交多項(xiàng)式(p“ pj =p;(r)dx =< 7i = 0 1.2-i如十1Q(f><t f) = 0. (/>i f = r, I Pi、f) = 0/r 48(k 10)</>!/)= JJT/(r)的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式為呂 S c 丄 12 亠/、1 八、168(/ 10)亠，、2j 7予*/ = ° + F' 3 + ° +Ps 3 =120(21 -2/r?) k 420(/ 10)彳亠:jc 十；P 7t1.553 2jc - 0. 562 2x19觀測(cè)物體的直.線運(yùn)動(dòng)得出以下數(shù)提：時(shí)間/s0

24、0.91.93.03.95.0距離f/m010305080110求運(yùn)動(dòng)方程.解 經(jīng)描圖發(fā)現(xiàn)/和$近似服從線性規(guī)律故作線性模型& = a + b仁令 Q = span 1. ”.計(jì)算離敵內(nèi)枳有?R(1,1) = £1? = 6.(!./) =另匚= 14.7(f門=£(； = 53. 63SA(1 C = 2801(z> s) = yt,s, = 1 078;=Oj ="求解法方程組得-64. 7 a r 280 -.14. 7 53.63J ib Ll 078.運(yùn)動(dòng)方程為a = 7. 855 048 b = 22. 253 765 =- 7.855

25、048 + 22. 253 76f平方誤差S2 = £勺心)2 心 2 1 X 10*20.已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：JTi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二來(lái)法求形如y = a十虹2的經(jīng)驗(yàn)公式并計(jì)算均方誤差 解 0 spanl.r2 計(jì)算離散內(nèi)積44(1, 1) = 12 = 5,(1. x2)=另才=5 327C尸 e(+ F)=另耳=7 277 69944(1，y) = 271. 4(工？，y) = 乂#» = 369 321. 5/O解法方程組 55 327 * ran r 271.4 -.5 327 7 277 699J LbJ L3

26、69 321. 5.得a q 0. 972 579, b= 0. 050 035均方誤差5= xT* =0.122621.在某化學(xué)反應(yīng)中由實(shí)驗(yàn)得分解物濃度與時(shí)間關(guān)系如下：時(shí)間/0510152025303540455055滾度y(X 10-4)01. 27 2. 16 2.86 3.44 3. 87 4. IS 4.37 4.51 4. 58 4.62 4.64用聶小二來(lái)法求y = /(z).解 觀察所給數(shù)據(jù)特點(diǎn)建立擬合模型y = aeTa,b>0)該模型關(guān)于參 數(shù)非線性兩邊取對(duì)數(shù)得ny = Ina 一記 Ina = A4> = span 1一 |,由于t = 0時(shí)條件自然滿足，內(nèi)積

27、(八g> = 丈心g(I經(jīng)計(jì)算有/"f(1. 1) = 11,(1 一 丄)=一 0.603 975(一+ y ) = 0.062 321.(1, Inj) =一 87. 674 095(-y, lnv)= 5.032 489解法方程組II一 6 603 975一 0. 603 975-1 r0. 062 321LAl一 87.674 095-1.5.032 489.得到擬合模型擬合平方渓差得 A =-7.558 781. b=l, 496 163, a = e' = 5. 215 103 X 10*皿% 5y = 5. 215 103e?一_ X 10-4|帶=E y

28、億 一兇丁 = 3. 376 9 X 10y第四章I*踽定下列求積公式中的持定事戟，使其代數(shù)精瑞度盡苣高并指明所構(gòu) it出的求積公式所具有的代數(shù)精度<(1>w 4-i/(-A) + AV(0)(2) /(x)dx A i/(-A) + AJ(0) + Aj/(A)rJ -鼬(3) f(T)djr =J 和一 )+ 2/(q)+3/X比)(4) fA/(.r)dz 吐幾卩八人門+曲社十(0 廣")1J ii£解 ("將/(工)=b 4 F分別代入公式兩端并令其左右相等.得，Ac + An 4 兒=* 2AhA. - + /l4 i = 0<h A_

29、 -F h'Ai =亍川s解博碼=旳=£ 九=y.所求公式至少具有2次代數(shù)精確度.乂由于J = #(-為)4-令 /?t° d.r H £(力)° -F hr-a33*ALAh故 /(z)dr一力)+斗"(O) +弓/具有3次代數(shù)精確度. A3OO(3)當(dāng)/(x) = 1時(shí)易知有P/(.r)d.r = +/(- 1)+ 2/(廠)+ 3/()令求積公式對(duì)八文)=x. r準(zhǔn)確成立即1 + 2x + 3.tz = 01 + 2卅 + 3x1 = 2則可解得I jj =0. 289 9、 I Xi = 0. 689 9IX2 = 0. 526

30、 6I = 0. 126 6將/(t) = +代入已確定的求積公式，則1 x3dj H £/(- 1)+ 2/(X) + 3/(x2) J-*l0故求積公式具有2次代數(shù)精確度所求節(jié)點(diǎn)為廠=一02899 心= 0.526 6或X = 0. 689 9. x2 = 0. 126 6.2. 分別用梯形公式和辛普淼公式計(jì)算下列積分.«1)f d £ “工刀=8$(2) (* d.r n = 10>(3f y/xdjr n = 4 ；(4)>/4 sin2?如,n = 6.解 (】復(fù)化梯形公式n = 8,a = 0,b = 1 /(x) =.h =亠4 +廣8T

31、* =夸/(a+ 2 乂 /(及)+ /3)= 0. 111 404 = I復(fù)化辛普森公式M = *S =令/(<2)亠 4 7/5+4,) +2另/(工*> +0. Ill 57(3n = 4y=l,6=9/i = 2J(«r)=>/7復(fù)化梯形公式為= #/(。)+ 2乞/(£)+/(» = 17. 227 74乙A I復(fù)化辛普森公式為s, =+ 4+) + /(» = 17. 322 23. 直接驗(yàn)證柯特斯公式(4.9)具有5次代數(shù)精確度.證明 柯特斯公式為/(PcLr =寄7/(如)+ 32/(4 ) + 12/(工2)+ 32/

32、(j-3)+ 7/(xj 令 f(jr) = 1 則/(x)dx = h q“腫 f( j“) + 32/(j|) + 12/(r2 > + 32/(x3)十 7/5 ) = h a令 /(x)=.則/(-r)dj- = xdx = £(/ a?)J wJ aL備*7/(竝)+ 32/(工i)十 12/(x2)+ 32/(-r3 ) + 7£(二)=-y (6? a2) 令 /(x) = jt，得j /(x)dx = J _r'cLr = -y (63 a3)7/(xn) + 32/(j|) + 12/(x2) + 32/(J3 )+7fxK) = -y (6

33、3 a3) 令 /(x) x3,則f /(T)dz = x2djr = a*)Jaa47/(心)+ 32/(t, ) + 12/(x2) + 32/(x3) + 7/(j) = *(" 一 a') 令 /(x) = x1.則J f(jr)<lT = J j4dx =a')7/(%) + 32/() + 12/(工2)+ 32/(匕)+ 7/(x.) = y(6s - a5)令 f(x) = F 則J /(x)d.r = J xsdj = -|-(/ - a")寄7/(幾)+ 32*4 ) + 12/(j-2 ) + 32/(乃)+ 7/(q ) = *

34、(臚 一 d)令/（X）=工6 則/（工）血 H 7/（竝）+ 32/（孑）+ 12/（十）+ 32心）+ 7/（/ ） 因此該柯待斯公式具有5次代數(shù)精度.4. 用辛普森公式求積分'dj并估計(jì)謀差.J0解 S =嶼衛(wèi)e + 4e4 4- e_1 = 0. 632 33 0誤差-L X X e,r = 0. 000 35, 代(0, 1)5. 推導(dǎo)下列三種矩形求積公式.(1) 肛=(b-a)/(G +(2) J = (6 a)/(6) (3) (/3壯= aF.解 (】)左矩形公式將fix)在a處展開得/(x) = f(a) + f"()(jr a) f 6 (a, x)兩邊在

35、"刁上積分得| /(x)djr =(f> a) /(a) + a)djrJ /(r)dx由于x-fl在a. 6上不變號(hào)故由積分第二中值定理有可 （s » 使(6 u)/(a) 4- f (>2)(jt a)d«r故有 八刃山=(6-a)f(a) + */z5)(6-a)?, q £ (a, b)右矩形公式同（1）將/'（才）在6點(diǎn)處展開并積分得（3）中矩形公式，將/（刃在宇處展開，得 心=/佇）+門歲）（字）+（W）（工 _ 蔦， £ a、h兩邊積分并利用積分中值定理得“3也=/（寧）（6 °）十廠（申）專）壯十廠

36、佯（乂_專）3 =（6 - a）/（苓）+*f5）（j一馬dr =（b a）/（"j"） + £f（"（b- a）3 , rj （a, b）7.如果/'（工）>0,證明用梯形公式計(jì)算積分/= |7<-r）<tr所得結(jié)果比準(zhǔn) 瑙值/大并說(shuō)明其幾何意義.證明 由梯形公式的余項(xiàng)R（/） = 3/*（ rf）» q （a, 6）知，若f（q）> 0且b>a、則R（f） < 0.從而= T+R（/） V T即計(jì)算值比準(zhǔn)確值大.其幾何意義為./z（x） > 0.故/（t）為下凸函數(shù)梯形面積大于曲邊梯形 面積

37、如圖4. 1所示.&用龍貝格求積分方法計(jì)算下列積分使謀差不Mil 10-(2)xsinxdr;O(3) X J1 工,dr. Jo解（1）計(jì)算如下表所示,kTW00.771 743 310. 728 069 90.713 512 I20.716 982 80. 713 287 00. 713 272 030. 7)4 200 20. 713 272 60. 713 271 70.713 271 7因此 0. 713 271 1.（2）計(jì)算如下表所示:k7Y)03.451 313X)0718. 628 283 X 107-4. 446 923 X 10因此 J 一 4. 446 923

38、X 10 = 0.9.用n = 23的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分*$irudr1解 因?yàn)椴?1,3,令r =工一2則/ 故j ersinxdx = J eWin(r + 2df當(dāng)n = 2時(shí).esin-rdx = 0. 555 555 6 X /X 0.774 596 7) + /(0. 774 596 7) +0. 888 888 9 X /(O) = 10. 948 4當(dāng)n = 3時(shí).AsirLrd.r a 0.347 854 8 X /X0.861 136 3) +/(O. 861 136 3) +0. 652 145 2 X /<- 0. 339 981 0)十 /(O. 339

39、981 0)= 10.950 14】2用下列方法計(jì)算積分厲.并比較結(jié)呆.(1) 龍貝格方法；(2) 三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式；(3) 將積分區(qū)間四箏分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式. 解(1)計(jì)算見下表：68數(shù)值分析全析稱解kT1*>T0Ti*»01.333 33311.166 667L 111 11121.116 6671. 100 0001.099 25931. 103 2111. 098 7251.098 6401.098 63141. 099 7681.098 6201.098 6131.098 6131.098 613取 / = 1.098 613.(2) 積分區(qū)間13,采用高斯公式

40、時(shí)需先變換到一1,叮上.故作變換 y = *(a+6) + *(b- a)/ = t 4- 2則當(dāng) y 1，3時(shí)，r G 一 1】，且 dy = dr, J：竽=冬. 三點(diǎn)離斯公式ZT2 a °* 555 555 6 ( 2 - 0. 7；4 596 7 + 2 + 0. 74 596 7 )+0. 888 888 9 X = 1-098 039-i FT2 Q 236 926 * ( 2 -0?906 179 8 + 2 +"0 906 179 8)+0. 478 628 912 - 0. 538 469 312 + 0. 538 469 30. 568 888 9 X1

41、2To1.098 609(3) 將區(qū)間1. 3四等分在每個(gè)小區(qū)間上用兩點(diǎn)高斯公式得0. 5df2. 5ToT5z°*5X 2.5 + O.5X (-吉)十2.5 + 05>< 壽= 0.405 405 40 5dr3 5 + 0. 5t°-5X3.5 + 0.5X (- *)十 3.5 + 0.5X* = 0.287 671 2嚴(yán) dy = r 0 5df J2 y J-j 4. 5 + 0. 5f0. 5X14. 5 + 0. 5 X (-壽)+ 4.5 + 0.5X 咅=6 223 140 50e5dz5.5 + 0.51°*5X 55 + 05X

42、(-)+55 + 05X = 0. 182 320 41 = A + h + h + A 1.098 538】3用三點(diǎn)公式和積分方法求/(x) = /一-r在x = 1. 0> 1. 1和1.2處 (1 + JC)的導(dǎo)數(shù)值.并估計(jì)誤圣/(工)的值由下表給出：JT1.01. 11.22、0. 250 00. 226 80.206 6解 由帶余項(xiàng)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式可知 fZ =帶一 3/G+4/(zJ 心)+與廠(&)/(X.)=寺一/5)+/3) 存廠(&)/<X2) - /(Xn) - 4/(x,) 4- 3/(x2) -h y r<6)£ ( d J7

43、? ) i = O I9 2取上表中竝=l.o, 4 = 1.1, r = 1.2分別將有關(guān)數(shù)值代人以上三式即可得導(dǎo)數(shù)近似值.由于廠(£)IM max | 廠(jt) |= max4!(1+x)5戸=0. 75從而可求得誤差上限與導(dǎo)數(shù)值如下表所示:X1.01.11.2三點(diǎn)公式一 0. 247-0.217-0. 187誤差0. 002 50.001 250. 002 5理論解-0.23一 0. 215 959 4-0. 187 828 7數(shù)值積分法.設(shè)卩（刃=/（X）.由f（x屮）=/（x*） + f >H y）（x）dxJ對(duì)積分采用梯形公式，得/匕屮）=f （如）二衛(wèi)祕(mì)丑）+卩

44、（心+）-)JC）" 彳 X* /、P（P 5）* E 5 才2）令女=0. 1,得°(jrQ + c( j'i ) a 勒/(廠)一 /(Jo) no同樣對(duì)卩(才i ) + <p(x2) a /(.r2) fx)fp（x）dx有/（.7屮）=+衛(wèi)山亍°）卩（工屮）+叭工一 ） 一（工n * "11、/*-/12¥（鼻） p （工1 工什 I從而有卩（工0）+ 卩（大2）2 +f（=2）一 /<Xo）代入數(shù)值，解方程即得卩（口）仏=0, 1, 2）如下表所示:1.0L 1L2數(shù)值解-0. 247-0*217-0.187理論解

45、一 6 25-0, 215 959 4-0. 137 828 7溟羞0.0030.001 040 60.000 828 7第五章1*設(shè)才是對(duì)禰陣且。訂經(jīng)過(guò):高斯消去法一步后、A約化為 L 0證明A2是對(duì)稱紙陣.證明由消元公式及A的對(duì)稱性得故如是對(duì)稱矩陣2.設(shè)a = y 是苛稱正定矩陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后a約化為g aj -0 缶其中崗=(躋j證明：(1) A的對(duì)角元素站 > 0仁=1- 2, -* W)；(2) A.是對(duì)稱正定矩陣*證明 (1>因A對(duì)稱正定.故ait Ae, er) => 0, j = 1 * 2丹由其中哥=(0.0, 1, 0, r 0)T為第f個(gè)單位向量

46、.(2)由A的對(duì)稱性及消元公式得故缶也對(duì)稱=L.A"1 一空1其中L.=<2| did1 1 S顯然Li非奇異VxHO.有Ijx H 0(x, L|ALx) = (Lfx, Al.x) > 0 (由 A 的正定性) 故LAL為正定矩陣.又L.Aty = Q° ，而atl >0,故久為正定矩陣.L o £&用追趕法解三對(duì)角方程紐Ar = b其中-2-1一 120_ 1000'0丁0A =0一 12_ 10« b =000_ 12-10-000_ 12.0.解設(shè)有分解2一 100O'' a0000-一 12_

47、 100一 1020000_ 12一 10=0_ 10000_ 12_ 100_ 1aj0-000_ 12_000_ 1as-000-0I念000010300001&-00001-由公式)b = a】 C = apib, = a,p,_i +a, i = 2,345c, = aft,i = 2, 3, 4其中bt. at9 c.分別是系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素及其下邊和上邊的次對(duì)角線元-1素.故有yi丁r0=0740片-0-6了解得解得10.下述矩陣能否分解為L(zhǎng)U（其中L為單位下三角陣為上三角陣）？若能分解那么分解是否唯一？423,1 1r】96 一A =241 B =2 21 c =25

48、15A67.3 3L.61546.解 A中亠=0故不能分解.但det（A） =一10工0故若將A中第一行 與第三行交換則可以分解且分解唯一.B中比= =0但它仍可以分解為-1-11rB =2100 -1_3厶？ 1-_00厶2 -9其中厶？為一任意常數(shù)且U奇異故分解不唯一.對(duì) C4 H 0. , = 1 2 3故C可分解且分解唯一.廠-1J 2 6C=2 11 3.6 3L.L11 設(shè)A=|"°"0,5計(jì)算.4的行范數(shù)、列范數(shù)、2-范戟以及F-范數(shù).Lo. 1 0.3 II A l| 吹=maxS i知I = i】j-1ata|A|叫II A | FS I如丨=0

49、8 -1aj = vO. 71 0. 8420. 6 0. In r0. 6 0. 5.0.5 0.3Lo. 10.3Am(ATA) = 0.685 34 37 330. 33q0. 34 J故12.求證：II A II 2 = J max (" A) = 0. 827 85 II X II :< II x II I < n | x | >：;(2) II A |i F W A I； 2 W I A ：| F證明 （1）由定義知WZ召臊小纖II X | . < HxL <n|x| “II x !| e :即(2)由范數(shù)定義有II A | ; = Am.x

50、(ATA) < A)(ATA) + A?(A7A) 4- +An(ATA)tr(ATA)=為亦 + Sa*- + += S S42? = iiA ii 丨i)丿ldlII A II i =人“(AA) AAll：II FY A II F W II A II 2 II丄Ai (ATA) + A2 (AtA) 4- - -b AR(ATA)=丄 | nn17矩陣第一行乘以一數(shù)成為2入 An9證明當(dāng)入=士 時(shí),Cond(A);e有最小值.證明 設(shè)入工0,則3 I A I.II A | * =2.II A'11216 lA 1+3,Cond<A>. = | 4-' f

51、| . I| A N ='M2o故I A I = y時(shí)*即A =±y時(shí),Cond(4)有最小值此時(shí)min Cond(A) = 7rlOO 991骸設(shè)“999計(jì)算"條件數(shù)S20.一 98一 9999-i一 100.Cond( A)v- = | 4 1 1| A | 屮=39 601r!9 80119 6021Ar A =L19 60219 405 JCond( A);=?！?A)V 九“(AU)=39 20619*證明：若A是正交綽.則Cond(A)2 = 1.證朋 因A正交故A A = A4t = /, A1 ="*從而有11 A | 3 =ptAJA = y/p(l) = 1! A I II 2