第四章應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系PPT

1、地球物理場(chǎng)論地球物理場(chǎng)論 I I海洋地球科學(xué)學(xué)院 地球探測(cè)信息與技術(shù)系宋 鵬第四章 應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系4.1 廣義虎克定律4.2 工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式 4.3 簡(jiǎn)單和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度 4.4 能量密度與能通量密度 在前幾章中，從靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)和幾何學(xué)的觀點(diǎn)分別研究了應(yīng)力和應(yīng)變。前面知道聯(lián)結(jié)應(yīng)力分量(6個(gè))與位移分量(3個(gè))有3個(gè)方程，聯(lián)結(jié)應(yīng)變分量(6個(gè))與位移分量(3個(gè))有6個(gè)方程，15個(gè)未知數(shù)9個(gè)方程，還需要6個(gè)方程才能求解彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系222222yxzxXxyyzyyzxzzuXxyztvYxyztwZxyzt平衡運(yùn)動(dòng)微分方程xyzxy

2、yzzxuxvywzvuxywvyzuwzx 幾何方程 要解決彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，還要研究應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，這種關(guān)系通常被稱為物理方程或本構(gòu)方程。即還需要補(bǔ)充應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系(6個(gè)方程)。應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系反映物質(zhì)固有的物理特性，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在線性彈性范圍內(nèi)，便是廣義虎克定律。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系廣義虎克定律廣義虎克定律-應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線在常溫、靜載情況下，由材料拉伸試件可得到應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系曲線。不同材料得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線不同。圖4 1給出低碳鋼應(yīng)力應(yīng)變曲線。從圖中可看出，該曲線大致可分為四個(gè)階段：圖4 1 某材料應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系曲線廣義虎克定律廣義虎克定律-應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變

3、曲線( (一一) )彈性階段彈性階段OBOB段段 在此段內(nèi)，撤去外力時(shí) ，將沿OB線恢復(fù)回原點(diǎn)O，即變形完全消失。通常為 稱為彈性極限。而OA段為直線，說(shuō)明當(dāng) 時(shí)， 成線性關(guān)系 即 (4-1)( ,) BA( ,) E廣義虎克定律廣義虎克定律-應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線 其中E是與材料有關(guān)的彈性常數(shù)，通常稱為彈性模量，E的量綱與 相同，一般用GN/m2。 則稱為比例極限，上式即為虎克定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。A點(diǎn)與B點(diǎn)非常接近，工程上彈性極限 和比例極限 并不嚴(yán)格區(qū)分。這種情況下，橫向應(yīng)變 與軸向應(yīng)變 絕對(duì)值之比一般是常數(shù)，即ABA稱為橫向變形系數(shù)或泊松比。（4-2）廣義虎克定律廣義虎克定律-應(yīng)力應(yīng)變曲

4、線應(yīng)力應(yīng)變曲線( (二二) )屈服階段屈服階段BCBC段段 當(dāng) 后，出現(xiàn)應(yīng)變?cè)黾雍芸欤鴳?yīng)力在很小范圍內(nèi)波動(dòng)的階段。這種應(yīng)力變化不大，而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱屈服或流動(dòng)，屈服階段的最低應(yīng)力 稱屈服極限。 BS( (三三) )強(qiáng)化階段強(qiáng)化階段CDCD段段 過(guò)了屈服階段以后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它增加變形必須增加拉力，這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化，強(qiáng)化階段中的最高點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的 稱為強(qiáng)度極限。 D廣義虎克定律廣義虎克定律-應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線( (四四) )局部變形階段局部變形階段DGDG段段 過(guò)了D點(diǎn)以后，在局部范圍內(nèi)，橫截面急劇縮小，繼續(xù)伸長(zhǎng)需要拉力相應(yīng)減小，到G點(diǎn)處，試件被拉斷。 在純

5、剪應(yīng)力作用時(shí)， 與 也成正比， ，比例系數(shù)G稱剪切彈性模量xyxyxyGxy廣義虎克定律廣義虎克定律 在空間應(yīng)力狀態(tài)下，描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)需6個(gè)應(yīng)力分量，與之相應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)也要用6個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。它們之間存在一定關(guān)系。假設(shè)應(yīng)力是應(yīng)變的函數(shù)，分量形式表示為：123456(,)(,)(,)(,)(,)(,)xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxxyxyxyzyzzxxyffffff （4-3a）廣義虎克定律廣義虎克定律 在小變形條件下，應(yīng)變分量都是微量，(a)式在應(yīng)變?yōu)榱愀浇鯰aylor展開(kāi)后，忽略2階以上的微量，例如對(duì) ，可得：x1

6、111 0000111000()()()()()()()xxyzxyzyzzxxyyzzxxyfffffff廣義虎克定律廣義虎克定律 展開(kāi)系數(shù)表示函數(shù)在其對(duì)應(yīng)變分量一階導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量等于零時(shí)的值，而 實(shí)際上代表初應(yīng)力，由于無(wú)初應(yīng)力假設(shè) 等于零。 其它分量類推，那么在小變形情況下應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系式簡(jiǎn)化為： 1 0()f1 0()f1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzyzzxxyyxyzyzzxxyzxyzyzzxxyyzxyzyzzxxyzxxyzyzzxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

7、C56616263646566xyxyxyzyzzxxyCCCCCCC（4-3b）廣義虎克定律廣義虎克定律 上式表明在彈性體內(nèi)，任一點(diǎn)的每一應(yīng)力分量都是6個(gè)應(yīng)變分量的線性函數(shù)，反之亦然。簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)已指出在彈性極限以內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，與上式一致。 上式作為虎克定律在復(fù)雜受力情況下的一個(gè)推廣，因此稱為廣義虎克定律。式中系數(shù) 是物質(zhì)彈性性質(zhì)的表征，由均勻性假設(shè)可知這些彈性性質(zhì)與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，稱為彈性常數(shù)。上式也可以寫(xiě)成矩陣形式( ,1,2,6)mnCm n 廣義虎克定律廣義虎克定律1112131415162122232425263132333435364142434445465152535

8、45556616263646566xxyyzzyzyzzxzxxyxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC(4-4) 可以證明對(duì)各向異性體，由于應(yīng)變能存在，也只有21個(gè)彈性常數(shù)獨(dú)立，對(duì)各向同性體，只有兩個(gè)彈性常數(shù)獨(dú)立。各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 如果物體是各向同性的，則在任何方向上彈性性質(zhì)相同，因此在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系相同。 下面來(lái)證明對(duì)于各向同性體，只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。（一）首先證明彈性狀態(tài)下，主應(yīng)力和主應(yīng)變方向重合。（一）首先證明彈性狀態(tài)下，主應(yīng)力和主應(yīng)變方向重合。圖4 2 應(yīng)變主軸各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義

9、虎克定律, ,x y z132231312cos1801 cos01cos900lnmllmmnn 如圖4 2所示，設(shè)1，2，3軸為物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)變主軸，對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變 ?，F(xiàn)取 軸分別為1，2，3軸，則由廣義虎克定律第4式得：23311202341 1422433CCC123333( ,)l m n111( ,)l m n222( ,)l m n（a） 式中 , 和 為該點(diǎn)主應(yīng)變(對(duì)應(yīng)1，2，3軸)。將此坐標(biāo)系繞2軸轉(zhuǎn)180，得新的坐標(biāo)軸1，2，3，以 , 和 分別表示1，2，3軸對(duì)原坐標(biāo)系O123各軸的方向余弦，知:各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律, ,x y z2341 14

10、22433CCC 因此新坐標(biāo)軸也指向應(yīng)變主軸方向，剪應(yīng)變也應(yīng)該等于零，且因各向同性時(shí)，彈性系數(shù)C41，C42和C43應(yīng)該不隨方向面改變，故取 分別為1，2和3軸，同樣由式（4-3）第4式得：12323322323n m 式中， 和 為該點(diǎn)主應(yīng)變(對(duì)應(yīng)1，2，3軸)，而由轉(zhuǎn)軸應(yīng)力分量變換公式得：（b）各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律又由轉(zhuǎn)軸應(yīng)變分量變換公式(3-12)得211112222223333lmn(d) (c)，(d)代入(b)則有2341 1422433CCC(e)（a）與(e)比較，可知2323 各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 欲使上式成立，只有 。

11、同理可證 。這說(shuō)明，若1，2，3是應(yīng)變主軸，也是應(yīng)力主軸。從而證明對(duì)各向同性彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸重合。 23012310( (二二) )再來(lái)確定各向同性彈性體獨(dú)立彈性常數(shù)的個(gè)數(shù)再來(lái)確定各向同性彈性體獨(dú)立彈性常數(shù)的個(gè)數(shù) 設(shè)所取的坐標(biāo)軸為應(yīng)力和應(yīng)變主軸，則111 1122133221 1222233331 1322333CCCCCCCCC(f)各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 式中表示 表示在 軸方向單位主應(yīng)變引起 軸方向的主應(yīng)力大小。對(duì)于各向同性體， 對(duì) 的影響應(yīng)與 對(duì) 的影響， 對(duì) 的影響相同，故： ijCji1122332332211aCCC(g) 由于各向同性

12、，2和3對(duì) 的影響相同，2和3 對(duì) 的影響應(yīng)與 和 對(duì) 的影響， 和2對(duì) 的影響相同，這樣 1131213 (h)bCCCCCC322331132112各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 由(g)和(h)可知，對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變主軸而言，只有兩個(gè)彈性常數(shù)是獨(dú)立的分別用a和b表示，則由(f)知112322313312()()()ababab (i)令 ， 且 則（i）變?yōu)?abb123 t112233222ttt (j) 常數(shù) 和 稱為拉梅(Lame)彈性常數(shù)，簡(jiǎn)稱拉梅常數(shù)。 各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律( (三三) )最后通過(guò)坐標(biāo)變換，進(jìn)一步建立任意正交坐標(biāo)系最后通

13、過(guò)坐標(biāo)變換，進(jìn)一步建立任意正交坐標(biāo)系應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系2221 1213 1 1 21122123xxylmnllmmn n(k) 在各向同性彈性體中，設(shè) 為任意正交坐標(biāo)系，它的三個(gè)軸與坐標(biāo)系 應(yīng)力主軸的方向余弦分別為 、 和 ，因?yàn)?，2，3軸是主軸，主軸方向的剪應(yīng)變和剪應(yīng)力等于零。根據(jù)轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量變換公式得oxyz123O111( ,)lmn222( ,)lmn333( ,)lmn各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律2221 1213 1 1 2 11221232()xxylmnl lm mn n又由轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量變換公式得(l) 將(j)代入(k)中有222222

14、1111 1213 1 1 212121 21122123()2 ()()2 ()xtxytlmnlmnl lm mn nl lm mn n (m) 各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律 比較式(l)和(m)并注意到 得222 1111 212121,0lmnl lm mn n2xtxxyxy 式中 是一不變量， 。同理可得其它應(yīng)力分量與應(yīng)變分量關(guān)系，綜合為： ttxyz222xtxytyztzyzyzzxzxxyxy(4-5n)各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律上式即為各向同性彈性體的虎克定律。寫(xiě)成矩陣形式為：200020002000000000000000000

15、xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-6）各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律（4-7）(32 )xyzt 將式中前三式相加得 其中 為第一應(yīng)變不變量，式稱為體積應(yīng)變的虎克定律 利用式(4-6)，可以寫(xiě)出用應(yīng)力表示應(yīng)變的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律各向同性體的廣義虎克定律22(32)22(32)22(32)111xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-8）各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律 均勻各向同性完全彈性的假設(shè)是對(duì)實(shí)際介質(zhì)的近似。當(dāng)使用精細(xì)觀測(cè)手段研究較為復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，要考慮介質(zhì)的不均性，以及介質(zhì)的各向異性和介質(zhì)的非完全彈性。若介質(zhì)的彈性性質(zhì)

16、依方向而變化，稱為各向異性。 ( ,1,2,6,)ijjiCCi jijxxyy 對(duì)于各向異性介質(zhì)的模型，在方程中，彈性常數(shù) ,而其它常數(shù)不同，這樣總共有21個(gè)彈性常數(shù)， 對(duì) 的影響和 對(duì) 影響一樣。這樣可以導(dǎo)出復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系。實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用簡(jiǎn)化模型，如橫向均勻且各向同性介質(zhì)(TI)(transverse isotropy)。 這種介質(zhì)彈性性質(zhì)在一個(gè)平面上是相同的的，它沿著平面的法線方向變化，如沉積巖(層理)，沿層理方向是均勻的，彈性性質(zhì)在垂直于層理方向變化。各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律這種簡(jiǎn)化的彈性介質(zhì)層狀介質(zhì)模型有5個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)， ， 和 為 平面上和垂

17、直于該平面方向的拉梅系數(shù)， 而 表示垂直平面上切應(yīng)力和切應(yīng)變的關(guān)系，廣義虎克定律為：,Oxy*(2)(2)(2)*xxyzyxyzzxyzyzyzzxzxxyxy （4-9）各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律寫(xiě)成矩陣形式(2)000(2)000(2)000000*000000*000000 xxyyzzyzyzzxzxxyxy（4-10）各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律即（4-11）112233122113312332445566111222*1()20CCCCCCCCCCCCCCothers各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律各向異性介質(zhì)中的廣義虎克定律

18、在地震勘探中一般用Thomsen參數(shù)描述各向異性113333664444221314334433334422()()2()CCCCCCCCCCCCC（4-12） Thomsen參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是其大小恰恰反映了各向異性的強(qiáng)弱。工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式 在工程上，通過(guò)簡(jiǎn)單拉伸和純剪切試驗(yàn)可以測(cè)定楊氏彈性模量E，泊松比和剪切模量G等彈性常數(shù)，所以用工程彈性常數(shù)來(lái)表達(dá)廣義虎克定律更有實(shí)際意義。 首先考慮簡(jiǎn)單拉伸。如沿 軸方向，應(yīng)力分量除 外，其它為零，在彈性極限內(nèi)， 與沿 軸方向正應(yīng)變成正比，其比例系數(shù)就是楊氏模量，橫向正應(yīng)變 ， 與 之比的絕對(duì)值就是泊松比 ，而且 方向拉伸，

19、 和 方向必然收縮，故xxxxyzxxyzyzxx 工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式即00yzyzzxxyxxyzxyzzxxy （4-13a） 將(4-13a)式代入均勻各向同性體廣義虎克定律式，前三個(gè)式子相加，得:(23 )xt 222xtxytyztzyzyzzxzxxyxy廣義胡克定律工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式即23xt(4-13b) 再把(4-13b)式代回到第一式中，得(23 )xx(4-13c) (4-13a)和(4-13c)比較得：(23 ) (4-13d)工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式再由式(4-5n)第二式

20、， ，得 2yty2yt (4-13e) (4-13c)代入(4-13b)，再代入(4-13e)中，得2()yx (4-13f) (4-13a)和(4-13e)比較得：2()(4-14)由(4-13d)和(4-14)式，可用楊氏模量 和泊松比 表示拉梅常數(shù) 和E工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式(1)(1 2 )2(1)根據(jù)試驗(yàn)（4-15）10,02 所以 。0,0工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式 再考慮純剪切情況。如設(shè)在 面內(nèi)，應(yīng)力分量除 外，其余應(yīng)力分量均為零，又 ， 為剪切彈性模量，即： xoyxyxyxyGG00 xyzyzzxxyzyzzxxyx

21、yG(f) (f)與(4-5n)后三式比較，得G （4-16）工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式將(4-15)、(4-16)式代入(4-8)式，整理可得:1()1()1()xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyGGG （4-17）工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式 與(4-8)式對(duì)應(yīng)。前三個(gè)式相加得到用 E和表示的體積應(yīng)變虎克定律： 12t（4-18）式中 ，若物體受到均勻壓縮，則xyz 0 xyzzxxyp yz常數(shù),則， 3(12 )tp （4-19）工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式式（4-19）反映了體積應(yīng)變與壓強(qiáng)p的關(guān)系

22、，令 3(1 2 )K則tpK 其中K稱為膨脹系數(shù)。工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式 在均勻各向同性介質(zhì)中，經(jīng)常使用拉梅彈性常數(shù) 及其楊氏彈性模量 ，泊松比 剪切模量 和圍壓膨脹模量 ，它們對(duì)彈性力學(xué)研究十分重要，特別是對(duì)地震波傳播，直接反映介質(zhì)的彈性性質(zhì)或彈性波傳播速度。它們六個(gè)可分為三組，兩者間可以轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換關(guān)系總結(jié)如下： , EGK工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式工程彈性常數(shù)及相互間關(guān)系式，制E，制K，G制(E)/(1+)(1-2)K-(2/3)GE/2(1+)G(3+2)/(+)E(6GK)/K+(4/3)G/2(+)K-(2/3)G/2K+(4/3)G+(2/3)(1

23、/3)E/2(1+)K簡(jiǎn)單和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度簡(jiǎn)單和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度 彈性體在外力作用下，發(fā)生變形，微元體要發(fā)生位移，這時(shí)外力對(duì)物體做了功，這個(gè)功以應(yīng)變能的形式貯存在物體內(nèi)。這種彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量稱為彈性變形位能，簡(jiǎn)稱變形能，又稱應(yīng)變位能或應(yīng)變能。在物體彈性范圍內(nèi)，當(dāng)卸去外力時(shí)，這個(gè)彈性應(yīng)變能又完全釋放出來(lái)，使物體恢復(fù)原來(lái)形狀。簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算 設(shè)有一拉桿上端固定，下端掛一小盤(pán)，與盤(pán)同高的水平面上放有許多重塊，每塊重量為F，如圖4 3(a)所示，在應(yīng)力小于比例極限范圍內(nèi)加入載荷的重量與拉

24、桿伸長(zhǎng)成正比，是一條傾斜直線，如圖4 3 (b)所示。簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算（a） (b)圖4 3 載荷與桿件拉伸的關(guān)系簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算逐漸增加重塊時(shí)，每增加一重塊，拉桿就伸長(zhǎng) 。這時(shí)。載荷下沉而做功，但損失位能，而桿件則獲得變形能。載荷損失的位能在數(shù)量上等于它所做的功A(載荷緩慢增加，動(dòng)能無(wú)明顯變化，故可忽略不計(jì))。根據(jù)能量守恒定律，載荷損失的位能等于拉桿所獲得的變形能。即應(yīng)變能 ，當(dāng) 時(shí)， ，由 ，在整個(gè)加力過(guò)程中，F(xiàn)從 ， 從 ，載荷做功0A。于是，()dlUAFFd

25、F()lldl ()dAF dl10Fl10l 10()lAF dl簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算再利用應(yīng)力、應(yīng)變定義及虎克定律：()1dldFlSl式中E為彈性模量，S為橫截面積， 為拉桿原長(zhǎng)度，于是12102FF llAF dFSS根據(jù)虎克定律，當(dāng)載荷為 時(shí)， 1F111 FllS 簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算故1112AF l也就是應(yīng)變能為2111122F lUF lES1F 由于拉桿整個(gè)體積內(nèi)有各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)均相同，故當(dāng)載荷 為時(shí)，原體積內(nèi)每單位體積的變形能都等于 2211112222

26、F lUuVS l稱為應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度。（4-20）簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下彈性應(yīng)變能和應(yīng)變能密度計(jì)算 在純剪應(yīng)力情況下，通過(guò)薄壁面扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可知，當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，扭轉(zhuǎn)角 與外力偶矩 成正比，同理可得剪切應(yīng)變能 ，剪切應(yīng)變能密度 m12Um2122111222mUeGVS lG其中SFlFm/,空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度 在空間應(yīng)力狀態(tài)下，變形能數(shù)值上仍等于外力所作的功，它也決定于作用力的最終數(shù)值，而與加力先后順序無(wú)關(guān)。用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為1 12233111222u (4-21a)將廣

27、義虎克定律代入(4-21a)式，用應(yīng)力表示應(yīng)變能密度為22212312233112 ()2u (4-21b)空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度 若正立方體形狀單元體上的三個(gè)主應(yīng)力不相等，相應(yīng)的主應(yīng)變也不相等，單元體三個(gè)棱邊的變形不同。單元體的變形表現(xiàn)為體積的增加或減小，形狀的改變(正方體變?yōu)殚L(zhǎng)方體)。因此可以認(rèn)為應(yīng)變能密度由兩部分組成：(1)因體積變化而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度稱體積改變應(yīng)變能密度 ；(2)因形狀改變而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度稱形狀改變應(yīng)變能密度 ，于是 tuxutxuuu(4-22a) 空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度若單元體上以

28、主應(yīng)力的平均值1233m 代替主應(yīng)力，而單位體積的改變 與 ， ， 作用時(shí)仍相等。但以 代替主應(yīng)力后，由于三個(gè)棱邊的變形相同，所以只有體積變化而形狀不變，所以t123m(4-22b)11132222tmmmmmmmmu 空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度由廣義虎克定律(4-17)式得：(1 2 )()mmmmmEEEE代入(4-22b)式中得212312()6tu(4-22c) 根據(jù)（4-21b）和(4-22a)式得：2221223311()()() 6xu(4-22d) 空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度若不是用主應(yīng)力表示應(yīng)變能量，

29、一般情況為1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu (4-22e) 證明：由1 122332221231223311()212 ()2u 空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度)(2)(2)(211332211332212321Eu 根據(jù)(2-11)式中第，第，第應(yīng)力不變量定義和關(guān)系：133221222321zxyzxyxzzyyxzyxIII而：)(1 (2)(221)(1 (2)(221)(1 (2)(212222222222222222zxyzxyxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxxzzyyxzyxzxyzxyxzzyyxzyxvvEvEvEu于是

30、：空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度進(jìn)一步 1()21()21()212(1)12(1)12(1)222xxyzyyxzzzyxxyxyyzyzzxzxu 根據(jù)廣義虎克定律(4-17)式，可得:1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzxu 證畢?？臻g應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度同理可得出以應(yīng)變表示的應(yīng)變能密度。22222221 ()2 ()()2xyzxyzyzzxxyu (4-23) 進(jìn)一步，應(yīng)力與應(yīng)變分量可用應(yīng)變能密度的偏導(dǎo)數(shù)表示空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度xxyyzzy zy zz xz

31、xx yx yuuuuuu(4-24) 空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能和應(yīng)變能密度 最后給出彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題解的唯一性定理：假如彈性體受已知體力作用，在物體表面處面力已知，或位移已知，或一部分上面力已知，而另一部分上位移已知；此外，初始條件已知，則彈性體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量，應(yīng)變分量與位移分量均是唯一的。 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度 前節(jié)僅討論應(yīng)變能（變形位能），即處于平衡狀態(tài)情形。當(dāng)物體既運(yùn)動(dòng)又變形時(shí)，其內(nèi)部通常既有動(dòng)能又有應(yīng)變能。單位體積內(nèi)所含的動(dòng)能稱為動(dòng)能密度，記作 ，單位體積所含的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，記作 ，單位體積內(nèi)所含總能量(指動(dòng)能和應(yīng)變

32、能即機(jī)械能，內(nèi)能不考慮熱能。注：內(nèi)能包括勢(shì)能和熱能)， kPuPu2221()21()()() 2kxxyyzzxyxyyzyzzxzxuvwttt (4-25) 式中 為材料的密度。 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度利用廣義虎克定律(4-5n)式，將 u1()2xxyyzzxyxyyzyzzxzx )()(2)(212222222xyzxyzzyxzyxuPuP考慮物體處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，即波傳播時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變還應(yīng)是時(shí)間的函數(shù)。為討論彈性介質(zhì)機(jī)械能的變化規(guī)律，先研究 對(duì)時(shí)間的變化率。中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示（即(4-23)式）：能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度()()2 ()(

33、)(2)(2)(2)yuxzxyzyxzxyzxyyzzxxyyzzxyxztxtytzxyyzzxxyyzzxyxzxyzttttGtttGtttGGGtttGGGttttt 222222222()()()xyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxttttuvwt xt yt zvuwvuwt xt yt yt zt zt x (4-26) 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度 再研究動(dòng)能密度 對(duì)時(shí)間 的變化率，并利用運(yùn)動(dòng)微分方程(2-19)式，得 kPt222222()()()()kyxxyyzyyzxzxxzzxyxxzyxyyzzxuuvvwwtttttttuvwtxyztxyzt

34、xyzuvwtxtxtxuvwtytytyuvtzzyzwtztz(4-27) 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度顯然， 將(4-26)和(4-27)代入，合并同類項(xiàng)，利用 和 互易性得到 ukttttx()()()xxyxzyxyyzzxzyzuvwtxtttuvwytttuvwzttt(4-28) 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度定義一個(gè)矢量場(chǎng)()()() xxyxzyxyyzzxzyzuvwitttuvwjtttuvwkttt (4-29) 稱為能通量密度矢量場(chǎng)能通量密度矢量場(chǎng)。則能量密度對(duì)時(shí)間的變化率divt 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度即能量密度對(duì)時(shí)間的變化

35、率等于能流密度矢量的散度，表示 單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)與 方向垂直的單位面積的能量，稱為能量密度矢量場(chǎng)，它又表明機(jī)械能(包括動(dòng)能和應(yīng)變能)以多大數(shù)量沿什么方向傳播，即彈性波傳播，這里給出了彈性波的一種定義，即機(jī)械能在彈性介質(zhì)中的傳播。例子，已知介質(zhì)密度，圓頻率，振幅A，試求沿 軸傳播的平面簡(jiǎn)諧波 x( , )cos()cos()xu x tAtKxAta能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度的能通量密度， ，稱圓波數(shù)， 為波的傳播速度。 Ka2Ga解：由2(2 ),sin(),sin();xtuuuuAtKxAKtKxxxtx 將， 代入能通量密度（4-29）式中得 0yzxyyzzx2222sin ()xxuAtkxt 能量密度與能通量密度能量密度與能通量密度 當(dāng)平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中傳播時(shí)，同一點(diǎn)介質(zhì)的能通量密度是隨時(shí)間變化的，其最大值與振幅平方、圓頻率的平方，介質(zhì)密度成正比。 研究能量密度