安徽省長(zhǎng)豐縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué)二教案：3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2 。2 直線的兩點(diǎn)式方程整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本節(jié)課的關(guān)鍵是關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k 不存在或斜率k=0 時(shí)對(duì)兩點(diǎn)式的討論及變形。 直線方程的兩點(diǎn)式可由點(diǎn)斜式導(dǎo)出。若已知兩點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上（非原點(diǎn)）,則可用兩點(diǎn)式的特例截距式寫出直線的方程。由于由截距式方程可直接確定直線與x 軸和 y 軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便。在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí),經(jīng)常使用截距式。但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過(guò)原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零。在這兩種情況下都不能用截距式。三維目標(biāo)1.讓學(xué)生掌握直線方程兩點(diǎn)式和截距式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)

2、程，并能運(yùn)用這兩種形式求出直線的方程。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).2.了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線方程兩點(diǎn)式和截距式.教學(xué)難點(diǎn)：關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k 不存在或斜率 k=0 時(shí)對(duì)兩點(diǎn)式方程的討論及變形 .課時(shí)安排1 課時(shí)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路 1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式，請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)斜式方程是什么？點(diǎn)斜式方程是怎樣推導(dǎo)的? 利用點(diǎn)斜式解答如下問(wèn)題：(1）已知直線 l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) p1(1,2),p2(3,5), 求直線 l 的方程。

3、(2）已知兩點(diǎn) p1(x1，y1)，p2（x2，y2）(其中 x1x2，y1y2)，求通過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程 .思路 2.要學(xué)生求直線的方程，題目如下： a（8，1)，b(2,4） ； a（6，-4） ，b(1,2）; a（x1，y1） ，b(x2，y2）(x1x2)。（分別找 3 個(gè)同學(xué)說(shuō)上述題的求解過(guò)程和答案，并著重要求說(shuō)求k及求解過(guò)程 )這個(gè)答案對(duì)我們有何啟示？求解過(guò)程可不可以簡(jiǎn)化？我們可不可以把這種直線方程取一個(gè)什么名字呢?推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題已知兩點(diǎn) p1（x1,y1） ，p2（x2,y2)(其中 x1x2,y1y2),求通過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程 .若點(diǎn) p1（x1,y1)，p2（x2

4、，y2)中有 x1=x2或 y1=y2，此時(shí)這兩點(diǎn)的直線方程是什么？?jī)牲c(diǎn)式公式運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意什么？學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精已知直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 a(a， 0） ，與 y 軸的交點(diǎn)為 b(0,b） ，其中 a 0,b 0，求直線 l 的方程 . a、 b 表示截距是不是直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？截距式不能表示平面坐標(biāo)系下哪些直線？活動(dòng)： 教師引導(dǎo)學(xué)生：根據(jù)已有的知識(shí)，要求直線方程，應(yīng)知道什么條件？能不能把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題呢？在此基礎(chǔ)上,學(xué)生根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程.師生共同歸納：已知直線上兩個(gè)不同點(diǎn)，求直線的方程

5、步驟：a.利用直線的斜率公式求出斜率k；b。利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程。x1x2,k=1212xxyy,直線的方程為 y-y1=1212xxyy(x-x1） 。l 的方程為 yy1=1212xxyy（xx1). 當(dāng) y1y2時(shí),方程可以寫成121121xxxxyyyy。由于這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，因此叫做直線方程的兩點(diǎn)式.注意： 式是由式導(dǎo)出的，它們表示的直線范圍不同。式中只需 x1x2,它不能表示傾斜角為90的直線的方程；式中x1x2且y1y2,它不能表示傾斜角為0或 90的直線的方程，但式相對(duì)于式更對(duì)稱、形式更美觀、更整齊，便于記憶.如果把兩點(diǎn)式變成學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（yy1)

6、（x2-x1）=（x-x1)(y2-y1),那么就可以用它來(lái)求過(guò)平面上任意兩已知點(diǎn)的直線方程。使學(xué)生懂得兩點(diǎn)式的適用范圍和當(dāng)已知的兩點(diǎn)不滿足兩點(diǎn)式的條件時(shí)它的方程形式.教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖、觀察和分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1=x2時(shí),直線與 x 軸垂直，所以直線方程為x=x1；當(dāng) y1=y2時(shí)，直線與 y 軸垂直，直線方程為y=y1.引導(dǎo)學(xué)生注意分式的分母需滿足的條件.使學(xué)生學(xué)會(huì)用兩點(diǎn)式求直線方程；理解截距式源于兩點(diǎn)式，是兩點(diǎn)式的特殊情形.教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中所給的條件有什么特點(diǎn)？可以用多少方法來(lái)求直線l 的方程？哪種方法更為簡(jiǎn)捷？然后求出直線方程。因?yàn)橹本€ l 經(jīng)過(guò)（ a，0)和（0，b）兩點(diǎn)，將這兩

7、點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得aaxby000. 就是byax=1. 注意： 這個(gè)方程形式對(duì)稱、美觀，其中a 是直線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱 a為直線在 x 軸上的截距， 簡(jiǎn)稱橫截距； b 是直線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱 b 為直線在 y 軸上的截距 ,簡(jiǎn)稱縱截距。因?yàn)榉匠淌怯芍本€在x 軸和 y 軸上的截距確定的 ,所以方程式叫做直線方程的截距式 .注意到截距的定義 ,易知 a、b 表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ,與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是距離.考慮到分母的原因，截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x 軸上或 y軸上截距為 0的直線的方程 ,即過(guò)原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用學(xué)必求其心

8、得，業(yè)必貴于專精截距式。討論結(jié)果： 若 x1x2且 y1y2,則直線 l 方程為121121xxxxyyyy。當(dāng) x1=x2時(shí)，直線與 x 軸垂直 ,直線方程為 x=x1；當(dāng) y1=y2時(shí)，直線與 y 軸垂直 ,直線方程為 y=y1.傾斜角是 0或 90的直線不能用兩點(diǎn)式公式表示 (因?yàn)?x1x2，y1y2） 。byax=1. a、 b 表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ,與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo) ,而不是距離。截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x 軸上或 y 軸上截距為 0 的直線的方程，即過(guò)原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用截距式.應(yīng)用示例思路 1例 1 求出下列直線的截距式方程:（1）

9、橫截距是 3，縱截距是 5；（2)橫截距是 10，縱截距是 7；（3)橫截距是 4，縱截距是 8。答案： （1）5x+3y-15=0;（2)7x-10y 70=0;（3)3x+4y+12=0。變式訓(xùn)練已知 rt abc的兩直角邊 ac=3，bc=4，直角頂點(diǎn) c 在原點(diǎn)，直角邊 ac 在 x 軸負(fù)方向上， bc 在 y 軸正方向上，求斜邊ab 所在的直線方程 .答案： 4x3y+12=0.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精例 2 如圖 1，已知三角形的頂點(diǎn)是a（5，0） 、b(3，3)、c （0,2) ，求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程.圖 1活動(dòng)： 根據(jù) a、b、c 三點(diǎn)坐標(biāo)的特征，求ab 所在的直線

10、的方程應(yīng)選用兩點(diǎn)式； 求 bc 所在的直線的方程應(yīng)選用斜截式；求 ac 所在的直線的方程應(yīng)選用截距式。解：ab 所在直線的方程 ,由兩點(diǎn)式，得)5(3)5(030 xy，即 3x+8y+15=0.bc 所在直線的方程，由斜截式，得y=-35x+2,即 5x+3y-6=0.ac 所在直線的方程，由截距式，得25yx=1，即 2x-5y+10=0。變式訓(xùn)練如圖 2，已知正方形的邊長(zhǎng)是4，它的中心在原點(diǎn)，對(duì)角線在坐標(biāo)軸上 ,求正方形各邊及對(duì)稱軸所在直線的方程。圖 2活動(dòng)：由于正方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,所以可用截距式求正方形各邊所在直線的方程 .而正方形的對(duì)稱軸pq,mn，x 軸,y 軸則不能用截距學(xué)必

11、求其心得，業(yè)必貴于專精式，其中 pq，mn 應(yīng)選用斜截式 ;x 軸，y 軸的方程可以直接寫出。解：因?yàn)閨ab =4，所以 oa=|ob|=2224。因此 a、b、c、d 的坐標(biāo)分別為（ 22,0)、(0，22)、(22,0)、(0，22)。所以 ab 所在直線的方程是2222yx=1,即 x+y-22=0。bc 所在直線的方程是2222yx=1,即 xy+22=0.cd 所在直線的方程是22722x=1,即 x+y+22=0。da 所在直線的方程是22722x=1,即 x-y-22=0。對(duì)稱軸方程分別為x y=0 ， x=0,y=0。思路 2例 1 已知 abc 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 a（-1，5)、

12、b（-2，-1） 、c（4,3） ，m 是 bc 邊上的中點(diǎn)。(1）求 ab 邊所在的直線方程 ;(2)求中線 am 的長(zhǎng)； （3）求 ab 邊的高所在直線方程。解： （1）由兩點(diǎn)式寫方程 ,得121515xy,即 6xy+11=0。(2）設(shè)m 的坐標(biāo)為 (x0,y0） ，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得 x0=242=1，y0=231=1，故 m（1，1)，am=22)51 () 11 (=25。（3)因?yàn)橹本€ ab 的斜率為 kab=2315=-6，設(shè) ab 邊上的高所在直線的斜率為 k,則有 kkab=k( -6)= 1, k=61。所以 ab 邊高所在直線方程為y3=61（x4） ，即 x-6y+

13、14=0。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精變式訓(xùn)練求與兩坐標(biāo)軸正向圍成面積為2 平方單位的三角形，并且兩截距之差為 3 的直線的方程 .解:設(shè)直線方程為byax=1,則由題意知 ,有21ab=3， ab=4.解得 a=4,b=1 或 a=1,b=4.則直線方程是14yx=1 或41yx=1，即 x+4y4=0 或 4x+y4=0。例 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(1，2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條 ?請(qǐng)求出這些直線的方程 .解：當(dāng)截距為 0 時(shí),設(shè) y=kx,又過(guò)點(diǎn) a（1，2)，則得 k=2，即 y=2x.當(dāng)截距不為 0 時(shí)，設(shè)ayax=1 或ayax=1，過(guò)點(diǎn) a（1，2)，則得 a=3

14、,或 a=1，即 x+y-3=0 或 x-y+1=0.這樣的直線有 3 條：2x-y=0，x+y-3=0 或 x-y+1=0。變式訓(xùn)練過(guò)點(diǎn) a（-5,4)作一直線 l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5。答案： 2x5y10=0，8x5y+20=0。知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí) 1、2、3.拓展提升問(wèn)題：把函數(shù) y=f(x)在 x=a 及 x=b 之間的一段圖象近似地看作直線，設(shè) a c b，證明 f（c）的近似值是 f(a）+abacf(b)f(a) 。證明： a、b、c 三點(diǎn)共線, kac=kab,即abafbfaccfcf)()()()(。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精 f （c）-f（a)= a