數(shù)理統(tǒng)計(jì)之多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、1）第三章 隨機(jī)變量及其分布3）下列系統(tǒng)中，每個(gè)元件的壽命分別為隨機(jī)變量下列系統(tǒng)中，每個(gè)元件的壽命分別為隨機(jī)變量 X,Y ，它們相互獨(dú)立同分布。求系統(tǒng)壽命它們相互獨(dú)立同分布。求系統(tǒng)壽命 Z 的分布。的分布。),min(YXZ ),max(YXZ YXZ 2）退 出前一頁后一頁目 錄5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(YX例例1 1求求 X+Y, X-Y, XY 的分布律。的分布律。一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布概率概率),(YX)2,

2、1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122解解等價(jià)于等價(jià)于XY012 1 21312312112101211221220122概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13XY 101 52325321 2101 6 0XYYX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122所以分布律分別為：所以分布律分別為：-X YP1 013252351

3、21121123122121122122XYP6 1 12 012121121512122121122例例2 2 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與與 Y 的分布律為的分布律為XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z=max(X,Y) 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因?yàn)橐驗(yàn)?X 與與 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0max(,)ZX Y 2434所以所以ma

4、x(,)ZX Y P34218. 00.420.40YX421318. 012. 042. 028. 0例例3: 從從1,2,3,4中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)記為中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)記為X,再從再從1到到X中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)記為中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)記為Y.求求X+Y, X-Y, Y2的分布律的分布律.求求X+Y, X-Y, Y 2的分布律的分布律+ 2 3 4 5 6 7 81157711 482448481616X YP 0 1 2 3 251371 48484816XYP 2 1 4 9 16 251371 48484816YP例例 4的的分分布布律律機(jī)機(jī)變變量量，試試求求隨隨分分布布，令令的的與與參參數(shù)數(shù)為

5、為相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且分分別別服服從從與與設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量ZYXZYX Poisson21 解：解：，的的取取值值都都是是與與由由隨隨機(jī)機(jī)變變量量210YX，的的取取值值也也是是可可知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量210YXZ 而而且且， nZP nYXP 第三章 隨機(jī)變量及其分布 nkknYkXP0，退 出前一頁后一頁目 錄 nkknYkXP0， nkknkeknek02121! nkknYPkXP0 nkknkknke021!121 nkknkknknne021!21 第三章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁后一頁目 錄 nkknkknCne021!21 nne21!21 即，即， 21!21 en

6、nZPn ，210 n第三章 隨機(jī)變量及其分布5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布分分布布的的服服從從參參數(shù)數(shù)為為Poisson21 YXZ分分布布，則則的的與與參參數(shù)數(shù)為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且分分別別服服從從與與若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量Poisson21 YX結(jié)論：結(jié)論：退 出前一頁后一頁目 錄解題步驟：解題步驟： ，的的分分布布函函數(shù)數(shù)，先先求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)zFYXgZZ ，的的密密度度函函數(shù)數(shù)，再再求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)zFzfYXgZZZ 第三章 隨機(jī)變量及其分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知二維隨機(jī)變量（已知二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度

7、為）的聯(lián)合密度為 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元連續(xù)函數(shù)，欲求隨機(jī)變量是二元連續(xù)函數(shù)，欲求隨機(jī)變量 Z=g (X,Y)的概率密度。的概率密度。退 出前一頁后一頁目 錄1）一般函數(shù)的分布）一般函數(shù)的分布2）和的分布）和的分布 ，數(shù)為數(shù)為，其聯(lián)合密度函，其聯(lián)合密度函是二維連續(xù)型隨機(jī)變量是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)設(shè)yxfYX，令令：YXZ 的的分分布布函函數(shù)數(shù)首首先先計(jì)計(jì)算算隨隨機(jī)機(jī)變變量量zFYXZZ zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf，第三章 隨機(jī)變量及其分布5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布xyOx + y = z xzdyyxfdx，退 出前一頁后一頁目 錄,xuy

8、 作作變變換換：則有則有 zZduxuxfdxzF， dxxuxfduz，第三章 隨機(jī)變量及其分布5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 xzzdyyxfdxzF，)(的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為導(dǎo)導(dǎo)，可可得得求求之之間間的的關(guān)關(guān)系系，上上式式對對由由分分布布函函數(shù)數(shù)與與密密度度函函數(shù)數(shù)YXZz zFzfZZ dxxzxf，退 出前一頁后一頁目 錄由于由于 X , Y 的對稱性可得的對稱性可得 dyyyzfzfZ，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則有有與與特特別別地地，如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX .yfxfyxfYX ，此此時(shí)時(shí)，我我們們有有 dxxzfxfzfYXZ或者或者 dyyfyzfzfYXZ第三章 隨機(jī)變量及

9、其分布5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布退 出前一頁后一頁目 錄例例5解：解： 的的密密度度函函數(shù)數(shù)，試試求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量，令令，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，與與設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量ZYXZNYNXYX 1010由由題題意意，可可知知 ，則有，則有的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ ,2122xexfxfxYX dxeexzx222221 第三章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁后一頁目 錄，代入上式，有，代入上式，有則有則有，作積分變換作積分變換dxduzxu 222作作配配方方法法，得得的的指指數(shù)數(shù)上上對對在在上上式式中中xe dxeezfzxzZ222421

10、21 dueezfuzZ22222221221 2222221 ze ，這這表表明明，20 NZ第三章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁后一頁目 錄結(jié)結(jié) 論：論： ,211 ，NX相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且與與如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX，YXZ 222 ，NY 222121 ，則則NZ第三章 隨機(jī)變量及其分布5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布退 出前一頁后一頁目 錄77頁（96頁）： 2iiiNX ，結(jié)結(jié)論論：更更一一般般地地，我我們們有有如如下下相相互互獨(dú)獨(dú)立立，如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量nXXX21，令：令： niiiXaZ1 ni，21 niiiniiiaaNZ1221 ，則則個(gè)實(shí)常數(shù)，個(gè)實(shí)常數(shù)，為為，

11、又又naaan21第三章 隨機(jī)變量及其分布退 出前一頁后一頁目 錄例例 6解：解： 的密度函數(shù)的密度函數(shù)，試求隨機(jī)變量，試求隨機(jī)變量均勻分布，令均勻分布，令上的上的，相互獨(dú)立，都服從區(qū)間相互獨(dú)立，都服從區(qū)間與與設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量ZYXZYX 10由由題題意意，可可知知 ., 0, 10, 1其其它它xxfX ., 0, 10, 1其其它它yyfY ，則有，則有的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ第三章 隨機(jī)變量及其分布 dxxzfxfzfYXZ5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布退 出前一頁后一頁目 錄, 20 zz，或或若若 . 0 zfZ，若若10 z

12、 zZdxzf01. z 第三章 隨機(jī)變量及其分布 dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzx 111zZdxzf.2 z ，若若21 z的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為綜上所述，我們可得綜上所述，我們可得YXZ ., 0, 21,2, 10,其它其它zzzzzfZ5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布例例 6（續(xù)）（續(xù)）退 出前一頁后一頁目 錄xz0 xz1 xz0112. .的概率密度的概率密度求電阻求電阻其他其他它們的概率密度均為它們的概率密度均為相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)設(shè)串聯(lián)聯(lián)接串聯(lián)聯(lián)接和和兩電阻兩電阻在一簡單電路中在一簡單電路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的的概概

13、率率密密度度為為由由題題意意知知 R.d)()()( xxzfxfzfR例例7 ,100,100 xzx當(dāng)當(dāng),10,100時(shí)時(shí)即即 zxzx102010 zxzx Ozx10 x.d)()()(中被積函數(shù)不為零中被積函數(shù)不為零 xxzfxfzfRxxf x10,010,( )500,. 其其他他 ., 0,100,50)(10)(其他其他xzxzxzf)1(., 0,2010,d50)(105010,100,d50)(105010)(10100 其他其他zzRzxxzxzxxzxzf102010 zxzx Ozx10 x ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600(

14、)(332其其他他zzzzzzzfR整理得整理得),()(,yFxFYXYX和和的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為它們它們變量變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)設(shè)設(shè)對任意的實(shí)對任意的實(shí)數(shù)數(shù) z 有有)(1maxzZPzF )()(zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX 12max(, ),min(, )ZX YZX Y 的的分分布布三、三、極值分布極值分布).(1)(1 1zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX )(2minzZPzF 12zZP ,1zYzXP 1zYPzXP 推廣推廣的

15、的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為及及則則),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為量量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變是是設(shè)設(shè)).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 則則分布函數(shù)分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同的相互獨(dú)立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .(ii),(i),21并并聯(lián)聯(lián)串串聯(lián)聯(lián)連連接接的的方方式式分分別別為為聯(lián)聯(lián)接接而而成成統(tǒng)統(tǒng)由由兩兩個(gè)個(gè)

16、相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的子子系系設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)LLLXY1L2LXY2L1L例例8度分別為度分別為已知它們的概率密已知它們的概率密的壽命分別為的壽命分別為設(shè)設(shè),21YXLL0,0. 其其中中且且 , 0, 0, 0,e)(xxxfxX , 0, 0, 0,e)(yyyfyY分別對以上兩種聯(lián)接方式給出系統(tǒng)分別對以上兩種聯(lián)接方式給出系統(tǒng) L 的壽命的壽命Z的概率密度。的概率密度。 , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由解解串聯(lián)情況串聯(lián)情況(i),21就停止工作就停止工作系統(tǒng)系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí)中有一個(gè)損壞時(shí)由于當(dāng)由于當(dāng)LLL的壽命為的壽命為所以這時(shí)所以這時(shí) L).,min(YXZ ,0,0,0,e1)(xxxFxXXY1L2L ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e