《中考課件初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》專題26第5章相似三角形之X型相似備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）（解析版）

1、26第5章相似三角形之x型相似一、單選題1如圖，abc中，acb90°，ab12，點d，e分別是邊ab，bc的中點，cd與ae交于點o，則od的長是( ) a1.5b1.8c2d2.4【答案】c【解析】根據(jù)直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，求得cd的長，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到deac，求得aoceod，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出od和oc的關(guān)系，進(jìn)而得出od和cd的關(guān)系，然后即可求解【解答】解： abc為直角三角形，d點為ab的中點，cd=ab=6d和e點分別為ab，bc的中點，deac，aoceod，故選c【點睛】本題考查了中位線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練

2、掌握中位線的性質(zhì)，能夠利用平行線判定兩三角形相似2如圖，在abc中，ab15cm，ac12cm，ad是bac的外角平分線，deab交ac的延長線于點e，那么ce等于（ ）cma32b24c48d64【答案】c【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解【解答】解：標(biāo)出字母，如圖：在abc中，ad是bac的外角平分線，ead=mad，deab交ac的延長線于點e，eda=mad，bac=ced，ead=eda，ed=ea，在三角形abc與三角形ced中，bac=ced，bca=ecd，abcced，ab=15cm，ac=12cm，設(shè)ed=15k，ce=12k，ed=15k=ea=ec

3、+ca=12k+12，3k=12，k=4，ce=12k=48（cm），故選：c【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的解題關(guān)鍵是由三角形相似邊的比例關(guān)系即可得出答案3如圖，在平行四邊形abcd中，abc的平分線交ac于點e，交ad于點f，交cd的延長線于點g，若af2fd，則的值為（）abcd【答案】c【解析】由af2df，可以假設(shè)dfk，則af2k，ad3k，證明abaf2k，dfdgk，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題【解答】解：由af2df，可以假設(shè)dfk，則af2k，ad3k，四邊形abcd是平行四邊形，adbc，abcd，abcd，afbfbcdfg，a

4、bfg，be平分abc，abfcbg，abfafbdfgg，abcd2k，dfdgk，cgcd+dg3k，abdg，abecge，故選：c【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵4如圖，已知的內(nèi)接中，于，直徑交邊于點，有下列四個結(jié)論：；當(dāng)時，的面積取得最大值；三角形外接圓直徑等于它的任兩邊的積與第三邊上的高的比其中正確結(jié)論有（ ）a1個b2個c3個d4個【答案】c【解析】本題需根據(jù)三角形外接圓、相交弦定理、相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理、二次函數(shù)的性質(zhì)去解答.【解答】由相交弦定

5、理得是正確的；由條件并不能得出與相似，故是錯誤的；由條件可證與相似，從而可得，進(jìn)而可得的半徑，設(shè)，的半徑為，則有，故當(dāng)時，的最大面積為，故是正確的；由這一結(jié)論一般化，得是正確的，故選c【點睛】本題主要考查三角形外接圓、相交弦定理、相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解運用這些性質(zhì)定理.5如圖，在正方形中，分別為的中點，連接交于點，將沿對折，得到，延長交延長于點若則的值為（ ）a1b2c3d【答案】d【解析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到bcfbpf，rtabmrtbmp，在rtdmf中，mf2fd2dm2,列式求出am，再根據(jù)相似三角形求出aq，得到bq的長，再根據(jù)勾股定理求出a

6、e的長，代入即可求解【解答】如圖，連接bm，在正方形中，分別為的中點，折疊，bcfbpfbcbp，cbfpbf,cf=pf=df=abbp=且bmbmrtabmrtbmp在rtdmf中，mf2fd2dm2（am）2（）2+（am）2am，dm-=，dfaqdfmaqm即解得aq=bq=aq+ab=+=1e點是ae的中點，be=,則ae=1+=故選d【點睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵二、填空題6已知中，分別是直線和上的點，若且，則_【答案】4或8【解析】通過比例式，可以確定ae的長度，點e是直線ab上的點，沒有限定e的位置，

7、只限定ae的長度，以點a為圓心，ae長為半徑的圓與直線ab的交點是點e位置，有兩個，要分類求即可【解答】如圖ab=6，ac=9，ad=3，ae=2，當(dāng)e在ab上,be=ab-ae=6-2=4,當(dāng)e在ab延長線上，be=ab+ae=6+2=8,則be的長為4或8故答案為：4或8【點睛】本題考查比例式下的線段問題，用比例求出的線段只限定長度，要考慮線段的位置，要會分類計算是解題關(guān)鍵7如圖，在中，點為上一點，連接，為上一點，于點，當(dāng)時，求的長【答案】【解析】將補(bǔ)成矩形，延長交于點，可得，結(jié)合已知可求、，再由即可求出ce【解答】解：如解圖，補(bǔ)成矩形，延長交于點，設(shè)，則，又在矩形中，即，解得【點睛】本題

8、是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，直角三角形的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵8如圖，在中，是邊上的中線，是上的一點，且，連結(jié)并延長交于點，則等于（_）【答案】【解析】先過點d作gdec交ab于g，由平行線分線段成比例可得bg=ge，再根據(jù)gdec，得出，最后根據(jù)，即可得出答案【解答】解：過點d作gdec交ab于g，ad是bc邊上中線，即bg=ge，又gdec，【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，用到的知識點是平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是求出ae、eb、eg之間的關(guān)系9如圖abc中，ab=ac=5，bc=8，g是abc的重心，ghab于h，則gh的長為_ 【答

9、案】【解析】首先證明，求得，再證明即可得到結(jié)論【解答】連接并延長交于e，連接并延長交ac于f，連接ef，如圖，點是重心，是的中線，f分別是，邊的中點，是的中位線，e為bc的中點又在中，故答案為：【點睛】本題考查了三角形重心，三角形重心的性質(zhì)為重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1 也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)10如圖rtabc中，bac90°，ab3，ac4，點p為bc上任意一點，連接pa，以pa，pc為鄰邊作平行四邊形paqc，連接pq，則pq的最小值為_【答案】【解析】利用勾股定理得到bc邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知op最短即為pq最短，利用垂線段最短得到點

10、p的位置，再證明cabcpo利用對應(yīng)線段的比得到op的長度，繼而得到pq的長度【解答】bac90°，ab3，ac4，bc5，四邊形apcq是平行四邊形，poqo，coao，pq最短也就是po最短，過o作bc的垂線op，acbpco，cpocab90°，cabcpo，op，則pq的最小值為2op，故答案為：【點睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題三、解答題11如圖，是一個照相機(jī)成像的示意圖（1）如果像高mn是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度ab是4.9m，拍攝點離景物

11、有多遠(yuǎn)？（2）如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m，像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？【答案】（1）7 m（2）70mm【解析】試題分析：（1）利用相似三角形對應(yīng)邊上的高等于相似比即可列出比例式求解（2）和（1）一樣，利用物體的高和拍攝點距離物體的距離及像高表示求相機(jī)的焦距即可解：根據(jù)物體成像原理知：lmnlba，（1）像高mn是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度ab是4.9m，解得：ld=7拍攝點距離景物7 m（2）拍攝高度ab是2m的景物，拍攝點離景物lc=4m，像高mn不變，是35mm，解得：lc=70相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm12如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸

12、正半軸上，軸，點的橫坐標(biāo)都是，且，點在上，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且（1）求點坐標(biāo)；（2）將沿著折疊，設(shè)頂點的對稱點為，試判斷點是否恰好落在直線上，為什么【答案】（1）；（2）不在直線上，理由見解析【解析】（1）先根據(jù)ao：bc=3：2，bc=2得出oa的長，再根據(jù)點b、c的橫坐標(biāo)都是3可知bcao，故可得出b點坐標(biāo)，再根據(jù)點b在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上可求出k的值，由acx軸可設(shè)點d(t，3)代入反比例函數(shù)的解析式即可得出t的值，進(jìn)而得出d點坐標(biāo)；（2）過點a作efoa交ac于e，交x軸于f，連接oa，根據(jù)acx軸可知aed=afo=90°，由相似三角形的判定定理得出dea

13、afo，設(shè)a(m，n)，可得出，再根據(jù)勾股定理可得出m2+n2=9，兩式聯(lián)立可得出m、n的值，故可得出a的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點d(1，3)，點b（3，1）的直線函數(shù)關(guān)系式為y=-x+4，再把x=代入即可得出結(jié)論【解答】（1）解：（1）ao：bc=3：2，bc=2，oa=3，點b、c的橫坐標(biāo)都是3，bcao，b(3，1)，點b在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上，1=，解得k=3，acx軸，設(shè)點d(t，3)，3t=3，解得t=1，d(1，3)；（2）結(jié)論：點a不在此反比例函數(shù)的圖象上理由：過點a作efoa交ac于e，交x軸于f，連接oa（如圖所示），acx軸，aed=afo=90°

14、，oad=90°，ade=oaf，deaafo，設(shè)a(m，n)，又在rtafo中，m2+n2=9，m=，n=，即a(，)，設(shè)直線bd的解析式為y=kx+b，點d(1，3)，點b(3，1)在y=kx+b，y=-x+4，當(dāng)x=時，y= ，點a不在直線bd上【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點等知識，難度適中13已知，如圖，在梯形abcd中，adbc，對角線ac與bd相交于點o.若，sbocm.試求aod的面積.【答案】【解析】由題意可知三角形aod和三角形doc中ao和co邊上的高相等，所以面積比等于對應(yīng)邊ao，co的

15、比值，進(jìn)而求出ao：co的值，又因為aodboc，利用兩三角形相似，面積比等于相似比的平方即可求出saod：sboc的值；從而求出aod的面積.【解答】過點d作deac于e，則，又ao+ocac，adbc，()2，即，saod.14如圖，是的內(nèi)接三角形，為的切線，為切點，為線段上一點，過點作的平行線，交直線于點，交直線于，求證：【答案】見解析【解析】欲證papb=pepf即證,觀察圖形可得：證明線段所在的兩個三角形paf與peb相似即可再根據(jù)弦切角和平行線的性質(zhì)證出對應(yīng)角相等，利用相似三角形的判定證出pafpeb，從而使命題得證【解答】證明：如圖bt為切線，ba為弦，abe=c，又efbc，c

16、=afp，abe=afpapf=epb，apfepb，papb=pepf【點睛】本題給出圓內(nèi)接三角形和圓的切線，求證線段的積相等著重考查了弦切角定理、平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題15如圖，、是的兩條高，連（1）求證：；（2）若，點為的中點，求的值【答案】(1)見解析;(2)1.【解析】（1）由be、cd是abc的高得aeb=adc=90°，加上eab=dac，根據(jù)相似三角形的判定方法得到aebadc，則ab：ac=ae：ad，利用比例性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連結(jié)me，由bac=120得到bae=60°，則eba=30°，由點m為bc的中點

17、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到mb=me=md=mc，于是可判斷點b、e、d、c在以m點為圓心，md為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理得dme=2ebd=60°，則可判斷med為等邊三角形，所以de=dm所以的值為1【解答】（1）證明：be、cd是abc的高， aeb=adc=90°，而eab=dac，aebadc，ab：ac=ae：ad，aeac=abad；（2）連結(jié)me，如圖，bac=120，bae=60°，eba=30°，點m為bc的中點，mb=me=md=mc，點b、e、d、c在以m點為圓心，md為半徑的圓上，dme=2ebd=2

18、15;30°=60°，med為等邊三角形，de=dm【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比等于相等，都等于相似比也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及圓周角定理16如圖，在四邊形中，與相交于點，線段，試問：與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】【解析】根據(jù)，得到，進(jìn)一步證明，因為，于是可得，因此可證得并推出為等腰三角形，因此【解答】解：如圖，線段，又，而，又，為等腰三角形，【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵17如圖，矩形的對角線、相交于點，過點

19、作交于，連交于，若，的面積為5，求的值【答案】【解析】先由矩形的性質(zhì)和勾股定理求得oa=2，oe= ，然后證四點共圓得，再證得最后由相似的性質(zhì)求出的值【解答】如題圖，為矩形對角線的交點，為的中點又，在中根據(jù)勾股定理可知在中在中又，四點共圓 ，【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)此題難度適中，注意四點共圓在本題中的應(yīng)用18如圖，在等腰中，分別過點、作兩腰的平行線，經(jīng)過點的直線與兩平行線分別交于點、，連結(jié)、，與邊相交于點，與邊相交于點，求證：（提示：關(guān)鍵是找出題中的“a”型與“x”型寫出比例線段進(jìn)行等比線段的代換）【答案】見解析【解析】首先延長db、ec交于點p，由bd

20、ac，abec，可得四邊形abpc為平行四邊形，又由ab=ac，即可證得：abpc是菱形，可得ab=bp=pc=ca，又可證得：eacedp與amcpcd，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，則可證得：cn=am【解答】證明：延長db、ec交于點p，bdac，abec，四邊形abpc為平行四邊形， ab=ac，abpc是菱形，ab=bp=pc=ca，bdac，eacedp，同理：四邊形abpc是平行四邊形，bac=p，acdp，acd=cdp，amcpcd，ac=cp，ac=bp，am=cn【點睛】此題考查了平行四邊形，菱形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)此題綜合性很強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，

21、注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19已知，拋物線yx2x+與x軸分別交于a、b兩點（a點在b點的左側(cè)），交y軸于點f（1）a點坐標(biāo)為 ；b點坐標(biāo)為 ；f點坐標(biāo)為 ；（2）如圖1，c為第一象限拋物線上一點，連接ac，bf交于點m，若bmfm，在直線ac下方的拋物線上是否存在點p，使sacp4，若存在，請求出點p的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，d、e是對稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的兩點，直線ad、ae分別交y軸于m、n兩點，若omon，求證：直線de必經(jīng)過一定點【答案】（1）（1，0），（3，0），（0，）；（2）在直線ac下方的拋物線上不存在點p，使sacp4，見解析；（3）見解析【解析】（1）

22、根據(jù)坐標(biāo)軸上點的特點建立方程求解，即可得出結(jié)論；（2）在直線ac下方軸x上一點，使sach4，求出點h坐標(biāo)，再求出直線ac的解析式，進(jìn)而得出點h坐標(biāo)，最后用過點h平行于直線ac的直線與拋物線解析式聯(lián)立求解，即可得出結(jié)論；（3）聯(lián)立直線de的解析式與拋物線解析式聯(lián)立，得出，進(jìn)而得出，再由得出，進(jìn)而求出，同理可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論【解答】（1）針對于拋物線，令x0，則，令y0，則，解得，x1或x3，綜上所述：,；（2）由（1）知，bmfm，直線ac的解析式為：，聯(lián)立拋物線解析式得：，解得：或，如圖1，設(shè)h是直線ac下方軸x上一點，aha且sach4，解得：，過h作lac，直線l的解析式為，聯(lián)立

23、拋物線解析式，解得，即：在直線ac下方的拋物線上不存在點p，使；（3）如圖2，過d，e分別作x軸的垂線，垂足分別為g，h，設(shè)，直線de的解析式為，聯(lián)立直線de的解析式與拋物線解析式聯(lián)立，得，dgx軸，dgom，即，同理可得，即，直線de的解析式為，直線de必經(jīng)過一定點【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，交點的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等方法式解決本題的關(guān)鍵.20如圖1，a（4，0）正方形obcd的頂點b在x軸的負(fù)半軸上，點c在第二象限現(xiàn)將正方形obcd繞點o順時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形oefg（1）如圖2，若60°，oeoa，求直線ef的函數(shù)表

24、達(dá)式（2）若為銳角，tan，當(dāng)ae取得最小值時，求正方形oefg的面積（3）當(dāng)正方形oefg的頂點f落在y軸上時，直線ae與直線fg相交于點p，oep的其中兩邊之比能否為：1？若能，求點p的坐標(biāo)；若不能，試說明理由【答案】(1)yx+；(2);(3) oep的其中兩邊的比能為：1，點p的坐標(biāo)是：p（0，4），p（4，12），p（12，24），p（4，0），p（12，4）【解析】（1）過點e作ehoa于點h，ef與y軸的交點為m，由已知條件證明aeo為正三角形，求出點e的坐標(biāo)及om的長度，再利用e、m的坐標(biāo)即可求出解析式；（2）無論正方形邊長為多少，繞點o旋轉(zhuǎn)角后得到正方形oefg的頂點e在射線

25、oq上，當(dāng)aeoq時，線段ae的長最小利用為銳角，tan及勾股定理求出邊長oe2，即可求出正方形的面積；（3）分點f在y軸的正半軸上或負(fù)半軸上，且點p與點f或點a重合或不重合時，利用oep的兩邊之比為：1分別求出點p的坐標(biāo).【解答】（1）如圖1，過點e作ehoa于點h，ef與y軸的交點為moeoa，60°，aeo為正三角形，則oh2，eh2，故點e（2，2），eom30°，om， 設(shè)ef的函數(shù)表達(dá)式為：ykx+，將點e的坐標(biāo)代入上式并解得：k，故直線ef的表達(dá)式為：yx+；（2）射線oq與oa的夾角為（為銳角，tan）無論正方形邊長為多少，繞點o旋轉(zhuǎn)角后得到正方形oefg的頂點e在射線oq上，當(dāng)aeoq時，線段ae的長最小在rtaoe中，設(shè)aea，則oe3a，則a2+（3a）242，解得：a2，oe3a，正方形oefg的面積（3a）2； （3）設(shè)正方形邊長為m當(dāng)點f落在y軸正半軸時如圖3，當(dāng)p與f重合時，peo是等腰直角三角形，有或 在rtaop中，ap