圓錐曲線的極坐標(biāo)方程、焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式good

1、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程知識(shí)點(diǎn)精析橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn)) 的距離和一條定直線 ( 準(zhǔn)線)的距離的比等于常數(shù)e 的點(diǎn)的軌跡以橢圓的左焦點(diǎn) (雙曲線的右焦點(diǎn)、 拋物線的焦點(diǎn) ) 為極點(diǎn)，過點(diǎn) f作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線， 垂足為 k，以 fk的反向延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為：cos1eep. 其中 p 是定點(diǎn) f 到定直線的距離， p0 當(dāng) 0e1 時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng) e1 時(shí)，方程表示雙曲線，若 0，方程只表示雙曲線右支，若允許0，方程就表示整個(gè)雙曲線；當(dāng) e=1時(shí)，方程表示開口向右的拋物線. 引論（ 1）若1+ cosepe則 0e1

2、當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)時(shí)，方程表示開口向左的拋物線當(dāng) e1 方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線（2 ）若1- sinepe當(dāng) 0e1 時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向上的拋物線當(dāng) e1 時(shí)! 方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線（3）1+ sinepe當(dāng) 0e1 時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向下的拋物線當(dāng) e1 時(shí)! 方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線（2）圓錐曲線弦長(zhǎng)問題若圓錐曲線的弦 mn經(jīng)過焦點(diǎn) f，1、橢圓中，cbccap22，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepmn. 2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問

3、題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若 m 、n在雙曲線同一支上，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepmn；若 m 、n在雙曲線不同支上，2222cos2cos1cos1acabeepeepmn. 3、拋物線中，2sin2)cos(1cos1pppmn例 1 過雙曲線22xy-145的右焦點(diǎn)，引傾斜角為3的直線，交雙曲線與a、b兩點(diǎn)，求ab解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系即得所以又由得注釋：求橢圓和拋物線過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，無需對(duì) v 加絕對(duì)值，但求雙曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，一定要加絕對(duì)值，這是避免討論做好的方法。點(diǎn)睛由于橢圓 , 拋物線的弦的兩個(gè)端點(diǎn)極徑均為正值, 所以

4、弦長(zhǎng)都是 ;對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)都在雙曲線右支上的弦, 其端點(diǎn)極徑均為正值, 所以弦長(zhǎng)也是 ;對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)分別在雙曲線左、右支上的弦, 其端點(diǎn)極徑一個(gè)為正值一個(gè)為負(fù)值, 所以弦長(zhǎng)是 - 或?yàn)榻y(tǒng)一起見，求雙曲線時(shí)一律加絕對(duì)值，使用變式練習(xí)：等軸雙曲線長(zhǎng)軸為2，過其右有焦點(diǎn)，引傾斜角為6的直線，交雙曲線于a,b兩點(diǎn)，求ab求ab解：523cos12(,),(,)33ab12|ab5580|723cos23cos()33121212-12112 cos附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式設(shè) p（x,y ）是圓錐曲線上的點(diǎn)，1、若1f、2f分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則exapf1，exapf2；2、若1f、2f分別是雙

5、曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) p在雙曲線右支上時(shí)，aexpf1，aexpf2；當(dāng)點(diǎn) p在雙曲線左支上時(shí)，exapf1，exapf2；3、若f是拋物線的焦點(diǎn)，2pxpf. 利用弦長(zhǎng)求面積高考題（ 08 年海南卷）過橢圓22154xy的焦點(diǎn)f作一條斜率為 2 的直線與橢圓交于a，b兩點(diǎn)， o為坐標(biāo)原點(diǎn)，求aob 的面積簡(jiǎn) 解 首 先 極 坐 標(biāo) 方 程 中 的 焦點(diǎn) 弦 長(zhǎng) 公 式222|1cosepabe求 弦 長(zhǎng) ， 然 后 利 用公 式b1|b | | si n2aosaofafo直接得出答案。變式(2005 年全國(guó)高考理科 ) 已知點(diǎn)f為橢圓2212xy的左焦點(diǎn) . 過點(diǎn)f的直線1l與橢圓交于p

6、、q兩點(diǎn)，過f且與1l垂直的直線2l交橢圓于m、n兩點(diǎn)，求四邊形pmqn面積的最小值和最大值 . 解析以點(diǎn)f為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：2221cos2設(shè)直線1l的傾斜角，則直線2l的傾斜角為090，由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知：22|11cos2pq，20222|111cos (90 )1sin22mn12(,),(,)66ab12|ab11|12cos12cos()66（）22|26264用他們來表示四邊形的面積1|2spqmn22111sincos242111sin 2216即求2111sin 2216的最大值與最小值由三角知識(shí)易知：當(dāng)sin21時(shí)，面積取得最小值169；當(dāng)

7、sin20時(shí)，面積取得最大值2利用弦長(zhǎng)公式解決常量問題例一過橢圓)0(12222babyax的左焦點(diǎn) f，作傾斜角為 60 的直線l交橢圓于 a、b兩點(diǎn)，若fbfa2，求橢圓的離心率 . 簡(jiǎn)解，建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為cos1epe則00240cos1,60cos1epefbepefa，21221epeepe，解得32e；變式求過橢圓23cos的左焦點(diǎn)，且傾斜角為4的弦長(zhǎng)ab和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：2311cos3則離心率13e，23ep，2p所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè)125(,),(,)44ab，代入極坐標(biāo)方程，則弦

8、長(zhǎng)1222245173cos3cos44ab（3）定值問題例 1. 拋物線22(0)ypx p的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b 的兩段，證明：11ab定值。解：以焦點(diǎn)f 為極點(diǎn)，以fx 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為1cosp，設(shè)( , ),( ,)a ab b將 a,b 兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得,1cos1cos()ppab則11ab=1cos1cos()pp=2p（定值）點(diǎn)睛，引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論：若圓錐曲線的弦mn 經(jīng)過焦點(diǎn) f，則有epnfmf211例二： 經(jīng)過橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦ab和弦 cd,求證11abcd為定值。證 明 ： 以 橢 圓 的 左 焦

9、 點(diǎn) 建 立 極 坐 標(biāo) 系 ， 此 時(shí) 橢 圓 的 極 坐 標(biāo) 方 程 為cos1eep， 又 設(shè)112343a, b,+, c,+, d,+22則代入可得222|1cosepabe，222|1sinepabe則2112-e=abcd2ep注釋。此公式對(duì)拋物線也成立，但對(duì)雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣 1 若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程。推廣 2 若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。例三(2007 重慶理改編 ) 中心在原點(diǎn)o的橢圓2213627xy，點(diǎn)f是其左焦點(diǎn)， 在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)123p ,p ,p使0122331120p fp

10、p fpp fp證明：213111fpfpfp為定值，并求此定值解析：以點(diǎn)f為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：92cos，設(shè)點(diǎn)1p對(duì)應(yīng)的極角為，則點(diǎn)2p與3p對(duì)應(yīng)的極角分別為0120、0120，1p、2p與3p的極徑就分別是1|fp92cos、2|fp092cos(120 )與3|fp092cos(120 )， 因 此213111fpfpfp002cos2cos(120 )2cos(120 )999，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道00coscos(120 )cos(120 )0，因此21311123fpfpfp為定值點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示1|fp、2|fp與3|fp，這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)極徑就不會(huì)象解析幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn)推廣 1 若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？推