第二章 生物統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí) 2 正態(tài)與抽樣分布

1、1. 頻率頻率 Frequency 定義定義 Definition：在大量重復(fù)試驗(yàn)中：在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件，事件A已已發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)次數(shù)a占占試驗(yàn)總次數(shù)的比率。試驗(yàn)總次數(shù)的比率。nAfna)( 特點(diǎn)特點(diǎn)（Characteristics）：一個(gè)事件的頻率不是常數(shù)，）：一個(gè)事件的頻率不是常數(shù)，但隨重復(fù)試驗(yàn)或觀察次數(shù)但隨重復(fù)試驗(yàn)或觀察次數(shù) n 增加，增加，頻率的波動(dòng)會(huì)不斷減小，頻率的波動(dòng)會(huì)不斷減小，逐步趨于穩(wěn)定逐步趨于穩(wěn)定，稱為，稱為頻率的穩(wěn)定性。頻率的穩(wěn)定性。2. 概率概率 Probability 性質(zhì)性質(zhì) Property 1）0 P（A） 1 2）P（A）= 1，表明該事件為，表明該事件為

2、必然事件必然事件； P（A）= 0，表明該事件為，表明該事件為不可能事件不可能事件； 0 P（A） 1，表明該事件為，表明該事件為隨機(jī)事件隨機(jī)事件。 定義定義 Definition：同一條件下，試驗(yàn)或觀察次數(shù)：同一條件下，試驗(yàn)或觀察次數(shù) n 無限無限增大，隨機(jī)事件增大，隨機(jī)事件 A 發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 a / n 必然穩(wěn)定接近某一常數(shù)必然穩(wěn)定接近某一常數(shù)P，P就稱為隨機(jī)事件就稱為隨機(jī)事件 A 的概率。的概率。 取值取值 Evaluation：一般情況下：一般情況下 P 的取值不可能準(zhǔn)確獲的取值不可能準(zhǔn)確獲得，以得，以 n 充分大時(shí)事件充分大時(shí)事件 A 發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率/ n 作為作為 P

3、 的近似值。的近似值。1）若事件）若事件 A 的概率為的概率為 P(A)，那么其對立事件，那么其對立事件 B 的概率為：的概率為： P（B）=1 - P（A）運(yùn)算法則運(yùn)算法則 Calculation rule2）若事件）若事件 A 和和 B 是是互斥的互斥的，其概率各為，其概率各為 P(A) 和和 P(B)， 那么兩事件的和事件的概率為：那么兩事件的和事件的概率為： P（A+B）= P（A）+ P（B）3）若事件）若事件 A 和和 B 是獨(dú)立的，其概率各為是獨(dú)立的，其概率各為P（A）和和 P（B）， 那么兩事件同時(shí)出現(xiàn)的概率為：那么兩事件同時(shí)出現(xiàn)的概率為： P（AB）= P（A） P（B）二、

4、頻數(shù)與頻率分布二、頻數(shù)與頻率分布 Number and frequency distribution1. 頻數(shù)與頻率分布頻數(shù)與頻率分布在一定條件下，總體或樣本中某觀察值在一定條件下，總體或樣本中某觀察值或某區(qū)間（或某區(qū)間（Interval）的觀察值所出現(xiàn)的）的觀察值所出現(xiàn)的次數(shù)。次數(shù)。總體或樣本中某觀察值或某區(qū)間的觀察總體或樣本中某觀察值或某區(qū)間的觀察值出現(xiàn)的次數(shù)在整個(gè)區(qū)間的分布情況。值出現(xiàn)的次數(shù)在整個(gè)區(qū)間的分布情況?？傮w或樣本中某觀察值或某區(qū)間的觀察總體或樣本中某觀察值或某區(qū)間的觀察值出現(xiàn)的頻率整個(gè)區(qū)間的分布情況。值出現(xiàn)的頻率整個(gè)區(qū)間的分布情況。頻數(shù)頻數(shù)Number 頻數(shù)分布頻數(shù)分布 Num

5、ber distribution頻率分布頻率分布F2. 統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法 Presentation method of data(1) 求出極差（求出極差（R）(2) 確定組數(shù)（確定組數(shù)（G）及組距（）及組距（B） 組數(shù)：組數(shù)：n100時(shí)，時(shí)， G：815 n 100時(shí)，時(shí)， G：不少于：不少于 6 組；組； n 很大時(shí)，很大時(shí)， G：不大于：不大于 30 組。組。 組距：組距：B = R/G 對于連續(xù)變量，組距精度與觀察值相同；對于連續(xù)變量，組距精度與觀察值相同； 對于非連續(xù)變量，組距取整數(shù)。對于非連續(xù)變量，組距取整數(shù)。(3) 確定組限確定組限 Group limit 組限就是每一組的上限（

6、組限就是每一組的上限（Upper limit）和下限（）和下限（Lower limit） 。(4) (4) 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和頻率頻數(shù)和頻率 通常是采用制作頻數(shù)（頻率）分布表或頻數(shù)（頻率）分通常是采用制作頻數(shù)（頻率）分布表或頻數(shù)（頻率）分布圖的方法。布圖的方法。例例1：有有一小麥品種，隨機(jī)采集一小麥品種，隨機(jī)采集100株，量其株高，試說明不同株，量其株高，試說明不同株高的理論分布株高的理論分布規(guī)律規(guī)律。行號(hào)行號(hào)株高株高行號(hào)行號(hào)株高株高行號(hào)行號(hào)株高株高行號(hào)行號(hào)株高株高行號(hào)行號(hào)株高株高19021834198619481100210422994299621028296310323101439363958

7、394410224934410164938494510625994594659785916106269346936688869678327904794679187968106289548896894888591052910249926910489961099309550987098909311993190511037197911011293329152867210092861310233965395739293971410134985485749994951594359055967588959716963695569676989699179737995795779897951810538935

8、8967895989619893995599779949910420964010660918010410096表表1 1001 100株小麥株高（株小麥株高（cmcm）(1) 求出極差：求出極差：R=106-83=23 cm表表2 100株小麥株高頻數(shù)株小麥株高頻數(shù)與頻率分布表與頻率分布表(2) 確定組數(shù)（確定組數(shù)（G）及組距（）及組距（B） 組組數(shù)：數(shù)：G = 9 組距：組距：B =23/9=2.56 cm(3) 確定組限確定組限 第第 1 組組：81.5 84.49 第第 2 組組：84.5 87.49 第第 3 組組：87.5 90.49 (4) (4) 統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和頻率統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和頻率組號(hào)

9、組號(hào)組組 限限 中值數(shù)中值數(shù)頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率 %1 1 81.5-84.4983 2 2 2 2 84.5-87.4986 4 4 3 3 87.5-90.4989 8 8 4 4 90.5-93.4992 14 14 5 5 93.5-96.4995 30 30 6 6 96.5-99.4998 20 20 7 7 99.5-102.49101 10 10 8 8 102.5-105.49104 8 8 9 9 105.5-108.49107 4 4 0510152025303581.5-84.4984.5-87.4987.5-90.4990.5-93.4993.5-96.4996.5-9

10、9.4999.5-102.49102.5-105.49105.5-108.49頻頻次次小麥株高小麥株高 （cm）頻數(shù)頻數(shù)圖1 100株小麥株小麥的的頻頻數(shù)分布數(shù)分布圖2 100株小麥株小麥的的頻率頻率分布分布00.010.020.030.040.050.060.070.080.090510152025303581.584.587.590.593.596.599.5102.5105.5頻頻率率頻頻次次小麥株高小麥株高 （cm）頻數(shù)正態(tài)分布曲線2)(2121)(Pex1. 概念概念 Definition 1）概念）概念 正態(tài)分布隨機(jī)變量的正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 為：為：式中：式

11、中： 正態(tài)分布中的隨機(jī)變量；正態(tài)分布中的隨機(jī)變量； 2.718，是自然對數(shù)的底數(shù)；，是自然對數(shù)的底數(shù)； 正態(tài)分布總體的平均數(shù)，是曲線最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)；正態(tài)分布總體的平均數(shù)，是曲線最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 正態(tài)分布總體的標(biāo)準(zhǔn)差，其大小表達(dá)曲線高低胖瘦程度。正態(tài)分布總體的標(biāo)準(zhǔn)差，其大小表達(dá)曲線高低胖瘦程度。xe概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) Probability density function 定義定義：當(dāng)：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增加，直方圖趨近于光試驗(yàn)次數(shù)無限增加，直方圖趨近于光滑曲線，曲線下包圍的面積表示概率。該曲線稱為滑曲線，曲線下包圍的面積表示概率。該曲線稱為概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)。 分布函數(shù)分布函數(shù) D

12、istribution function 設(shè)設(shè)X是一是一個(gè)個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量，x是是任意任意實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)，函數(shù)函數(shù) F(x)=PXx 如果將如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，那么，分布那么，分布函數(shù)函數(shù) F(x) 在在 x 處處的的函數(shù)值函數(shù)值就就表示表示X落在區(qū)間落在區(qū)間(-, x上的概上的概率。率。 正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形是關(guān)于直線正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形是關(guān)于直線x=對稱的；在對稱的；在x =處達(dá)到最大值處達(dá)到最大值21（1）什么樣？）什么樣？（2）兩個(gè)參數(shù)）兩個(gè)參數(shù)（3）正態(tài)分布曲線的解釋）正態(tài)分布曲線的解釋3）正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)）正態(tài)分布曲線的特點(diǎn) Cha

13、racteristics of the curve of normal distribution（1 1）圖中）圖中 為總體平均數(shù)，為總體平均數(shù)， 為總體標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)樣品數(shù)為總體標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)樣品數(shù)越來越多，處于無窮多時(shí)，就構(gòu)成了以總體平均數(shù)越來越多，處于無窮多時(shí)，就構(gòu)成了以總體平均數(shù)為為軸軸的的正態(tài)分布形式。變數(shù)的次數(shù)分布規(guī)律是以平均數(shù)正態(tài)分布形式。變數(shù)的次數(shù)分布規(guī)律是以平均數(shù)為軸心形成對稱的分布規(guī)律，變數(shù)值越靠近平均數(shù)，為軸心形成對稱的分布規(guī)律，變數(shù)值越靠近平均數(shù)，出現(xiàn)的次數(shù)越多，遠(yuǎn)離平均數(shù)值的變數(shù)次數(shù)越少出現(xiàn)的次數(shù)越多，遠(yuǎn)離平均數(shù)值的變數(shù)次數(shù)越少。落入（落入（ ）的概率：）的概率：68.3 %

14、；落入（落入（ ）的概率：）的概率：95.4 %；落入（落入（ ）的概率：）的概率：99.7 %；落入（落入（ ）的概率：）的概率：95 %；落入（落入（ ）的概率：）的概率：99 %。（2）正態(tài)分布總體觀察值正態(tài)分布總體觀察值 落入以下特殊區(qū)間的概率落入以下特殊區(qū)間的概率,2,23,396. 1,96. 158. 2,58. 2x（3 3）數(shù)學(xué)家根據(jù)有關(guān)公式，計(jì)算出了正態(tài)曲線下不同距離）數(shù)學(xué)家根據(jù)有關(guān)公式，計(jì)算出了正態(tài)曲線下不同距離內(nèi)的面積和概率積分表以備應(yīng)用內(nèi)的面積和概率積分表以備應(yīng)用。 P336 P336 附表附表2 2 正態(tài)分布表正態(tài)分布表（4 4）t t 檢驗(yàn)檢驗(yàn)、方差分析等，采用的

15、、方差分析等，采用的0.050.05、0.010.01顯著性判斷，顯著性判斷，其原理就是來源于其原理就是來源于此。此。 正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布的應(yīng)用例例2 2 測得一小麥品種的株高為測得一小麥品種的株高為120cm120cm，試問這個(gè)小，試問這個(gè)小麥品種株高和例麥品種株高和例1 1所選樣品小麥株高有無本質(zhì)差異？所選樣品小麥株高有無本質(zhì)差異？例例1 小麥小麥品種平均株高為品種平均株高為95.9cm,標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 5.2cm，用正態(tài)，用正態(tài)曲線概率分布判斷：曲線概率分布判斷： x2*5.2cm,即株高在即株高在90.7-101.1cm范圍內(nèi)的概率占范圍內(nèi)的概率占95.5%， x3*5.2cm，

16、即株高，即株高80.3-111.5cm范圍內(nèi)的概率占范圍內(nèi)的概率占99.74%。而而這一小麥品種株高為這一小麥品種株高為120cm，顯然不在其范圍內(nèi)。說明，顯然不在其范圍內(nèi)。說明二者有極顯著的差異，這種二者有極顯著的差異，這種判斷有判斷有99.74%以上的把握性，以上的把握性，判錯(cuò)的可能性只有判錯(cuò)的可能性只有0.26%。4）正態(tài)分布）正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化為了便于計(jì)算概率和一般化應(yīng)用，將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化。令：為了便于計(jì)算概率和一般化應(yīng)用，將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化。令：且以且以 為度量單位，則概率密度函數(shù)可被標(biāo)準(zhǔn)化為：為度量單位，則概率密度函數(shù)可被標(biāo)準(zhǔn)化為：xu 式中式中 叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差、正態(tài)離差或概率度

17、。任何叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差、正態(tài)離差或概率度。任何正態(tài)分布都可以根據(jù)以上變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。正態(tài)分布都可以根據(jù)以上變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2)(2121)(e22121)(ueuu u 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.00.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.50.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.00.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.90.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.60.0548 0.0526 0.0505 0.

18、0485 0.0465-1.00.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.50.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 00.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積(u)0u例：某正態(tài)總體的例：某正態(tài)總體的 ，求，求 落入?yún)^(qū)落入?yún)^(qū) 間（間（1.08，1.21）的概率。）的概率。013. 008. 108. 11au113. 008. 121. 12bu3413. 05000. 08413. 0) 0() 1 ()()(12PPuPuPP查附表2：P33613. 0,08. 1x（二）（二）小

19、概率事件和小概率小概率事件和小概率原理原理 在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把概率小于在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把概率小于 5%的事件，稱的事件，稱為為小概率事件小概率事件（Small probability event）。）。 小概率事件在一次試驗(yàn)中小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能事件幾乎是不可能事件，這一規(guī)律稱為這一規(guī)律稱為小概率原理小概率原理（The small probability principle）。1. 1. 概念概念 Definition1）抽樣）抽樣 Sampling從從總體中抽取個(gè)體組成樣本進(jìn)行研究以了解總體特性的過程?？傮w中抽取個(gè)體組成樣本進(jìn)行研究以了解總體特性的過程。抽樣分布抽樣分布Samp

20、ling distribution 從總體中獨(dú)立抽取隨機(jī)樣本從總體中獨(dú)立抽取隨機(jī)樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)的概率分布，稱為的統(tǒng)計(jì)數(shù)的概率分布，稱為抽樣分布。抽樣分布。統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷Statistical postulation從一個(gè)樣本或一系列樣本所得從一個(gè)樣本或一系列樣本所得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)，去推斷原總體的到的統(tǒng)計(jì)數(shù)，去推斷原總體的參數(shù)，稱為統(tǒng)計(jì)推斷。參數(shù)，稱為統(tǒng)計(jì)推斷。（1）樣本均值抽樣分布的均值等于總體均值）樣本均值抽樣分布的均值等于總體均值幾個(gè)重要的結(jié)論：幾個(gè)重要的結(jié)論：（2）樣本均值抽樣分布的方差樣本均值抽樣分布的方差等于原總體方差與樣本容量之比等于原總體方差與樣本容量之比樣本的平均數(shù)所構(gòu)成的新總體的

21、標(biāo)準(zhǔn)差樣本的平均數(shù)所構(gòu)成的新總體的標(biāo)準(zhǔn)差均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差:nnxEnxnExE1)(1)1()(nnnxDnxnDxDx/1)(1)1()(22222nxnssx/1. 概念概念置信區(qū)間置信區(qū)間 Confidence interval 在一定概率保證下，誤差的合理存在范圍或區(qū)間稱為置信區(qū)間或在一定概率保證下，誤差的合理存在范圍或區(qū)間稱為置信區(qū)間或置信距。區(qū)間的上下限稱為置信限。置信距。區(qū)間的上下限稱為置信限。置信概率置信概率 Confidence level 保證誤差合理存在范圍的概率，稱為置信概率、置信保證誤差合理存在范圍的概率，稱為置信概率、置信度。度。用用 P 表表示。示。否定區(qū)間否定區(qū)間 Negation interval 不屬于合理誤差的范圍或區(qū)間，稱為否定區(qū)間。不屬于合理誤差的范圍或區(qū)間，稱為否定區(qū)間。否定概率否定概率 Negation probability 不合理誤差存在范圍或區(qū)間的概率，稱為否定概率，不合理誤差存在范