光學(xué)工程原理習(xí)題解答

1、光學(xué)工程原理習(xí)題解答（同步配套光學(xué)工程原理王志堅(jiān) 王鵬 劉智穎 著國防工業(yè)出版社）李洪偉 云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院光學(xué)工程專業(yè)由于個(gè)人解答水平有限，不妥和錯(cuò)誤之處，敬請讀者批評指正。歡迎大家交流學(xué)習(xí)Emal：lihongwei0617第一章 光的電磁理論1. 由亥姆霍茲方程求平面光波和球面光波在各向同性均勻介質(zhì)中自由傳播的光矢量振幅表達(dá)式。解：由亥姆霍茲方程得平面光波復(fù)振幅表達(dá)式：（光矢量主要指電矢量）同樣解微分方程式得球面光波在各向同性均勻介質(zhì)中自由傳播的光矢量振幅表達(dá)式：。2 玻璃折射率=1.5，空氣折射率，波長的光波由空氣射向玻璃，求（1）反射光波在線偏振光時(shí)光線的入射角；（2）入

2、射角時(shí)界面的反射率；（3）光波由玻璃折射入空氣時(shí)的全反射臨界角。解：（1）反射光波在線偏振光時(shí)，即光波中只有S波，沒有P波為線偏振光。此時(shí)的入射角稱為起偏角或布儒斯特角，即為。由布儒斯特定律（2）由菲涅爾公式知S波的反射系數(shù)和P波的反射系數(shù)光波在分界面反射和折射時(shí)，宏觀表現(xiàn)為能量密度之比，稱為反射率R和透射率T。能量密度之比正比于，即。對于自然光已知入射角，玻璃折射率=1.5，空氣折射率，由折射定律解得代入上式即可求解。（3）由反射臨界角解得3寫出倏逝波的振幅表達(dá)式，并解釋其物理意義。解：（r為反射波矢量）倏逝波是全反射時(shí)，界面處的光矢量中的波數(shù)為復(fù)數(shù)，透射波是一個(gè)沿界面方向傳播，振幅沿界面法

3、線按指數(shù)哀減的波。4K9玻璃對波長的光波的折射率為,對波長的光波的折射率，寫出兩光波在K9玻璃中傳播時(shí)合成波的相速度和群速度的表達(dá)式，并計(jì)算。解：已知兩合成波的表達(dá)式式中 即合成波是一個(gè)頻率為而振幅受到調(diào)制的波。由相位不變條件并利用公式（，），求得合成波的相速度。由群速度與相速度有如下關(guān)系且（）可求得合成波的群速度。第二章 光的干涉及干涉系統(tǒng)1. 菲涅爾雙棱鏡干涉裝置如習(xí)題圖2-1所示。S為點(diǎn)光源，發(fā)出波長的光波，S100mm 900mm棱鏡頂角(rad),玻璃折射率n=1.5,各元件尺寸如圖所示。求：條紋間隔e接收屏上最多能觀察到多少亮條紋？光源允許寬度。解：條紋間距 ，已知對于菲涅爾雙棱鏡

4、,所以光線經(jīng)雙棱鏡折射后，偏向角，所以屏上重疊區(qū)域?yàn)榻邮掌辽献疃嗄苡^察到多少亮條紋光源允許寬度(其中)2. 一臺(tái)F-P干涉儀，標(biāo)準(zhǔn)具兩反射面間距，單色光源波長，兩反射面反射率，求條紋精細(xì)度S；色分辨本領(lǐng)；自由光譜范圍。解：已知條紋精細(xì)度F-P干涉儀色分辨本領(lǐng)為；F-P干涉儀的自由光譜范圍（為平均波長）。3. 同位素發(fā)出波長的光波，光譜寬度，氦氖激光器發(fā)出波長的光波，光譜寬度，分別求他們的相干長度。解：波列長度又稱為相干長度，即4用鈉光燈做F-P干涉儀的光源，鈉光燈包含兩條譜線，和為兩反射面。和間距，求第四個(gè)干涉環(huán)中兩波長的角間距；當(dāng)連續(xù)移動(dòng)時(shí)，兩個(gè)波長的干涉不周期性重疊，問等于多少重疊一次？解

5、： 對于條紋中心點(diǎn)，兩光波干涉級差為，式中為兩個(gè)波長的同級條紋的相對位移；為同一波長的條紋間距。第四個(gè)干涉環(huán)中兩波長條紋間距為。條紋間距，故第四個(gè)干涉環(huán)中兩波長的角間距為 （其中）即角間距為當(dāng)兩組同級條紋的相對位移大于條紋間距時(shí)，不同級的干涉條紋會(huì)發(fā)生重疊，即時(shí)，所以時(shí)剛好發(fā)生重疊，即。5用斐索干涉儀（見圖2-12）測一平行玻璃板的平行差，玻璃折射率n=1.5，在照明區(qū)內(nèi)有10個(gè)亮條紋，求此平行玻璃板的平行差。 L3 G L2氫氖激光器PQ 圖2-12 斐索干涉儀解： (其中，=632.3nm為氦氖激光器波長)6. 有一干涉濾光片，在正入射的條件下，透射峰值波長是鎘紅線（）且光學(xué)厚度，觀察者通

6、過這個(gè)干涉濾光片看太陽光，在轉(zhuǎn)動(dòng)濾光片時(shí)，觀察者能看到什么現(xiàn)象?在入射角時(shí),若膜層折射率n=1.32，求透射光波長。解：能看到不同顏色的單色光斜入射時(shí)，透射光產(chǎn)生極大光強(qiáng)條件為透射光波長7.指出F-P干涉儀和邁克爾遜干涉儀的異同點(diǎn)。解：相同點(diǎn)：利用光束的干涉原理不同點(diǎn)：一個(gè)是雙光束干涉，一個(gè)是多光束干涉。8計(jì)算兩個(gè)7層高反膜的反射率， ;。 解：多層高反膜的反射率為,一般取2p+1層。膜層越多，反射率越高。由已知數(shù)據(jù)代入即可解得和。第三章 光的衍射1. 利用巴比涅定理導(dǎo)出圓屏（球）菲涅耳衍射的振幅和光強(qiáng)表達(dá)式。解: 巴比涅指出：在一對衍射屏中，如果一個(gè)屏的透光部分恰為另一個(gè)屏的遮光部分，稱此二

7、屏為互補(bǔ)屏。設(shè)其中一個(gè)屏的衍射光場復(fù)振幅分布為，另一個(gè)衍射光場復(fù)振幅分布為，則互補(bǔ)屏產(chǎn)生的衍射光場，即合成復(fù)振幅為自由傳播的復(fù)振幅：，這就是巴比涅定理。如圖所示：兩個(gè)互補(bǔ)屏根據(jù)巴比涅定理，將圓屏（球）菲涅耳衍射復(fù)振幅分為兩部分：一部分為自由傳播的光波，其到達(dá)接收屏上P點(diǎn)的復(fù)振幅為 另一部分為半徑為a的圓孔（與圓屏尺寸相等）的衍射復(fù)振幅為式中和分別為的模和輻角，由巴比涅定理得圓屏（球）菲涅耳衍射后接收屏上的復(fù)振幅為光強(qiáng)為2. 利用巴比涅定理導(dǎo)出圓環(huán)菲涅耳衍射的振幅和光強(qiáng)表達(dá)式。解：同樣根據(jù)巴比涅定理，將圓環(huán)衍射視為大小兩圓孔衍射復(fù)振幅之差，得光強(qiáng)為3. 在雙縫夫朗禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中，照明波長，透鏡焦

8、距，觀察到兩相鄰亮條紋間距e=1.5mm，第四級缺級，求：雙縫間距和寬度;第1、第2、第3級亮條紋和中心亮點(diǎn)的相對光強(qiáng)。解：因?yàn)?，所以可求。由缺級條件，已知第四級缺級（）可求得雙縫衍射光強(qiáng)，（其中為單縫衍射時(shí)光強(qiáng)）。對于:亮紋. 對于: 為波數(shù), , 為縫寬,( 為衍射角光柵方程)所以,又因?yàn)?所以既得: 將分別代入得第1、第2、第3級亮條紋和中心亮點(diǎn)的相對光強(qiáng).(中央亮紋所以; )所以.4. 有一望遠(yuǎn)鏡，物鏡焦距為口徑，（視為理想薄透鏡）求：沿軸方向第一個(gè)暗點(diǎn)的位置（離焦時(shí)中心亮點(diǎn)為暗點(diǎn)的位置）和菲涅耳數(shù)；沿軸方向中心亮點(diǎn)光強(qiáng)為愛里班（焦平面處光斑）中心點(diǎn)光強(qiáng)的0.8倍的位置和菲涅耳數(shù)；求理

9、論分辨率。解：由圓屏衍射 ，沿軸方向既 （），令解得MN（其中，= ，對于平面波衍射M=1；一些論述激光的書中定義為菲涅耳數(shù)），即可求得L已知菲涅耳數(shù)同理求得時(shí)MN，求得位置L；同時(shí)菲涅耳數(shù)即可求得。由瑞利判據(jù)可得理論分辨率。5. 一銅絲，用平行光照明，后面放一焦距口徑理想透鏡。若中心暗紋寬度為，求銅絲直徑，并用巴比涅定理給出物鏡焦面光強(qiáng)表達(dá)式。解：單縫中央亮紋的角半寬度，所以其中心亮紋寬度為，一銅絲，用平行光照明與單縫形成互補(bǔ)，既直徑。因?yàn)閱慰p衍射光強(qiáng)表達(dá)式為，巴比涅定理指出：互補(bǔ)屏合成復(fù)振幅為自由傳播的復(fù)振幅：，所以物鏡焦面光強(qiáng)表達(dá)式為。6. 一激光點(diǎn)光源，距衍射孔距離，衍射孔直徑，問接收

10、屏在衍射孔后125mm處衍射斑中心是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)。解：由菲涅耳衍射波帶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中心點(diǎn)是亮的；波帶數(shù)是偶數(shù)時(shí)，中心點(diǎn)是暗的。既 由已知，代入解得m。第四章 光的偏振1. 一束自然光以入射到空氣玻璃界面。玻璃折射率，計(jì)算反射光的偏振度。若反射光為線偏振光，入射角應(yīng)為何值。解：設(shè)入射自然光的光強(qiáng)為,將自然光分解為方向和方向的兩束線偏振光，兩束光的強(qiáng)度相等。,反射系數(shù)為，所以偏振度為當(dāng)若反射光為線偏振光，入射角應(yīng)為布儒斯特角，故。2. 格蘭付科棱鏡由兩塊直角棱鏡構(gòu)成，均用方解石制造。方解石的折射率，如習(xí)題圖4-1所示。光線垂直直角面和光軸入射，分別求（a）（b）兩種情況時(shí)，角滿足什么條件透射光才變

11、為線偏振光，并求其透射率。 （a）光軸垂直入射面 （b）光軸平行入射面習(xí)題圖4-1解：這種棱鏡的作用是使自然光入射時(shí)晶體中其中的一束線偏振光在偏振棱鏡內(nèi)發(fā)生全反射，而只出射一束線偏振光。圖（a）（b）兩種制造方式其光的透過率有很大不同。對于圖（a）當(dāng)自然光垂直入射時(shí)，在第一塊棱鏡產(chǎn)生的o光和e光不分開，但o光振動(dòng)平行于圖面，e光振動(dòng)垂直于圖面，由于兩塊棱鏡的光軸相互平行，所以在第一塊棱鏡的o光和e光在第二塊棱鏡還是o光和e光，顯然在空氣層處發(fā)生了布儒斯特全偏振，。由菲涅耳公式S分量的振幅透射率為（其中為入射角為折射角），S分量的光強(qiáng)透射率為，運(yùn)用折射定律逐次求得其透射率。同理對于圖（b）當(dāng)自然

12、光垂直入射時(shí)，在第一塊棱鏡產(chǎn)生的o光和e光不分開，但o光振動(dòng)垂直于圖面，e光振動(dòng)平行于圖面，由于兩塊棱鏡的光軸相互平行，所以在第一塊棱鏡的o光和e光在第二塊棱鏡還是o光和e光，顯然在空氣層處發(fā)生了布儒斯特全偏振，。P分量的振幅透射率為, P分量的光強(qiáng)透射率為，運(yùn)用折射定律逐次求得其透射率。3洛匈棱鏡如習(xí)題圖4-2所示，兩直角棱鏡也用同樣單軸晶體制成，但光軸互相垂直，光線垂直直角面入射，假設(shè)光在斜面入射角很小，證明兩光束的出射光夾角。習(xí)題圖4-2證明：當(dāng)平行光垂直入射棱鏡時(shí)，光在第一棱鏡中沿著光軸方向傳播，因此不產(chǎn)生雙折射現(xiàn)象，o光和e光都以o光速度沿同一方向傳播。進(jìn)入第二棱鏡后，由于光軸轉(zhuǎn)過9

13、0度，所以平行于圖面振動(dòng)的e光在第二棱鏡中變?yōu)閛光，這支光在兩塊棱鏡中的速度不變，故無偏折地射出棱鏡；垂直于圖面振動(dòng)的o光在第二棱鏡中則變?yōu)閑光，由于石英的，故在斜面上折射光線偏向法線，在中間界面發(fā)生的情形是：由到介質(zhì)，入射角為，折射角為且。再考慮光線在最后界面的折射情形。根據(jù)幾何關(guān)系，此時(shí)入射角為，相應(yīng)的折射角為，兩光束的出射光夾角。4. 渥拉斯頓棱鏡如習(xí)題圖4-3所示，兩直角棱鏡也用同樣單軸晶體制成，但光軸互相垂直，假設(shè)光和光在斜面入射角均很小，證明兩出射光夾角。 習(xí)題圖4-3證明：在中間界面發(fā)生的情形是：光線1由折射率到介質(zhì)，光線2由到介質(zhì)，入射角均為，折射角分別為和。此時(shí)兩光線在第二塊

14、棱鏡中的傳播方向仍由通常的折射定律確定，代入，得。再考慮1,2兩條光線在最后界面的折射情形。根據(jù)幾何關(guān)系，此時(shí)它們的入射角分別為，相應(yīng)的折射角為。兩光線夾角第五章 幾何光學(xué)的基本定律及光學(xué)系統(tǒng)1一厚度為200mm的平行玻璃板，玻璃折射率n=1.5，下面放一直徑為1mm的金屬片。若在玻璃板上蓋一紙片，要求在玻璃板上任何方向上均看不到金屬片，問紙片最小直徑為多少？解：如圖 d 200mm 1mm x因?yàn)樵诮饘俸屑埫孢吘壡『冒l(fā)生了全反射由折射定律，且，解得，即2導(dǎo)出球面反射鏡的高斯公式。解：已知由近軸光線的光路計(jì)算得單個(gè)折射球面的物像位置關(guān)系（其中）球面反射鏡的物空間和像空間位于同一空間相反方向，所

15、以將代入上式得此即為球面反射鏡的高斯公式。（其中r為球面半徑，且已知高斯公式是以主點(diǎn)為原點(diǎn)的物象公式的一般形式：）3游泳池水深1.8m，水折射率n=4/3,人站在池邊覺得水深為多少？解： a/2n=4/3 h 1.8m假設(shè)游泳池面積為,則由折射定律得（其中）解得，則水深。4一玻璃半球，折射率n=1.5, ，平面鍍銀，一物高y=10mm的物體放在頂點(diǎn)前100mm處，求像高。解：已知得透鏡的光學(xué)間隔，由此得出透鏡的焦距為（其中）運(yùn)用高斯公式求出物距，且解出像高第六章 理想光學(xué)系統(tǒng)1. 兩薄透鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)，間隔求組合系統(tǒng)的焦距。解：由組合系統(tǒng)的物房焦距解得（其中）2. 一透鏡，厚度，求此透鏡的焦

16、距。解：由式把已知數(shù)據(jù)代入解得。3. 作圖法求像和共軛光線。解： B H H A AB做三條光線（也可做兩條）交點(diǎn)B即為像點(diǎn)。4一光學(xué)系統(tǒng)由3個(gè)薄透鏡組成，其焦距分別為間隔分別為求此光學(xué)系統(tǒng)的焦距和截距。解：根據(jù)多個(gè)光組的組合關(guān)系：已知；;所以由得。5一薄透鏡，物體不動(dòng)，若透鏡沿光軸像右移動(dòng)，求移動(dòng)后的垂軸放大率和像點(diǎn)位移。解：由等效節(jié)點(diǎn)沿光軸方向移動(dòng)（沿光線方向?yàn)檎┊a(chǎn)生的像點(diǎn)位移和垂軸放大率變化為解得。6一塊厚透鏡，求其焦距和主面位置。如物距問像距為何值？等效節(jié)點(diǎn)位置在何處。若平行光入射，等效節(jié)點(diǎn)又在何處。解：由公式（其中）且解得。 。同理解得。已知由高斯公式即可求得。等效節(jié)點(diǎn)位置：（，分

17、別為等效節(jié)點(diǎn)到物方主點(diǎn)和像方主點(diǎn)的距離，）當(dāng)平行光入射時(shí)，式對取極限（由牛頓公式得），可見平行光入射，等效節(jié)點(diǎn)和像方主點(diǎn)重合。第七章 平面和平面鏡系統(tǒng)1如習(xí)題圖7-1所示，直角棱鏡的玻璃折射率n=1.5,分別求A點(diǎn)和B點(diǎn)的像。 E A BC D10 30 15習(xí)題圖7-1解:將反射棱鏡展開成等效平板，其展開過程和方法是追跡光軸。可知A經(jīng)反射棱鏡展開成等效平板厚度為，由平行平板的高斯成像特性物點(diǎn)A經(jīng)平行平板成像后像點(diǎn)前移為A2，兩者間距。同理可求B點(diǎn)的像點(diǎn)B2。2分別求習(xí)題圖7-2中的像坐標(biāo)。 yy z xz x x =-2X yy(a) z' x(b)習(xí)題圖7-2解：根據(jù)反射棱鏡系統(tǒng)的

18、靜態(tài)方向共軛關(guān)系作圖，如圖7-2所示。3求習(xí)題圖7-3中直角棱鏡分別繞軸軸軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的像偏轉(zhuǎn)。并求此棱鏡的作用矩陣。yz xy zx習(xí)題圖7-3解：若反射棱鏡繞空間軸軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)角，則產(chǎn)生的像偏轉(zhuǎn)可用下式計(jì)算（其中，）其作用矩陣可由下式求得：4設(shè)計(jì)一個(gè)線陣CCD掃描系統(tǒng)。已知線陣CCD2048像元尺寸0.014mm，視場，求物鏡焦距和選用什么透鏡。解： 物鏡 別漢棱鏡 像面 線陣CCD別漢棱鏡掃描系統(tǒng)已知視場，像元尺寸0.014mm即，則得（為凸透鏡焦距）。第八章 光學(xué)系統(tǒng)中的光束限制1 135照相機(jī)底片尺寸36mm24mm,物鏡焦距，求最大視場角。解：由（其中為半視場角），可解得全視場（最大視場

19、角）。2一照相物鏡，設(shè)其由三個(gè)薄透鏡組成，間隔孔徑光闌位于第二塊透鏡前5mm,口徑，求入射直徑和相對孔徑。解：孔徑光闌經(jīng)其前面光學(xué)系統(tǒng)所成的像為入射光瞳，由高斯公式，且解得即為入射直徑。（其中為第一塊透鏡的焦距，）。相對孔徑等于出瞳直徑除以焦距，同樣由高斯公式且解得即為出瞳直徑。（其中為第二，三兩塊透鏡的組合焦距， 為兩透鏡組合系統(tǒng)物方主面到第二塊透鏡物方主面的距離），相對孔徑。3一望遠(yuǎn)系統(tǒng)，視場，物鏡焦距，目鏡焦距，分別視為薄透鏡，物鏡框?yàn)榭讖焦怅@，,求出瞳直徑和出瞳距，和50%漸暈時(shí)目鏡的口徑。解：由望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)性質(zhì)知出瞳直徑,則入瞳直徑( )即可解得。出瞳離目鏡最后一面距離即為出瞳距。已知

20、視場，可知像方視場，則。50%漸暈即視場邊緣成像光束寬度只有軸上點(diǎn)寬度的一半，已知視場，可由解得目鏡的口徑。（式中） 4一測量顯微鏡，物鏡放大倍率，共軛距，目鏡焦距，問孔徑光闌應(yīng)置于何處。設(shè)物鏡為薄透鏡，數(shù)值孔徑，求物鏡焦距、口徑及孔徑光闌口徑和出瞳直徑、出瞳距。解：一般的顯微鏡系統(tǒng)中成像光束的口徑往往由物鏡框限制，物鏡框是孔徑光闌。已知，由放大鏡放大率可解得物鏡焦距?？趶郊翱讖焦怅@口徑即為物鏡直徑，已知,所以在傍軸條件下, (已知 )。設(shè)顯微鏡的出瞳直徑為,則（已知，）。由于我國歸定160mm作為物鏡和目鏡定位面的標(biāo)準(zhǔn)距離，這樣出瞳距。第九章 光度學(xué)基礎(chǔ)和色度學(xué)簡介1. 直徑為2m的圓桌面，

21、中央上方2m處有一發(fā)光強(qiáng)度為50cd的點(diǎn)光源，求桌面中心和邊緣的光照度。解：已知點(diǎn)光源發(fā)光強(qiáng)度,所以。點(diǎn)光源在距離處的面元上產(chǎn)生的照度為。由于桌面中心距離，所以桌面中心光照度；同理可求得桌面邊緣光照度2. 分別求135照相機(jī)在F=5.6及F=8時(shí)拍攝遠(yuǎn)處光亮度的物體時(shí)，底片中心和最邊緣點(diǎn)的光照度。（135相機(jī),底片尺寸透過率）。解：由成像系統(tǒng)像面的軸上像點(diǎn)光照度，已知F（光圈數(shù)）即相對孔徑的倒數(shù)，可求出出瞳直徑,進(jìn)而求出（為135相機(jī)的相距）從而解得；已知軸外像點(diǎn)的照度，（其中為半視場角）。3. 氦氖激光器發(fā)出的激光，光束口徑，發(fā)散角為1毫弧度，已知一瓦輻射通量等于638流明（lm）0.632

22、8 光波的光通量，求此激光器的發(fā)光強(qiáng)度，光亮度及距激光器10m處屏上的光照度。解：已知發(fā)光強(qiáng)度（其中）;光亮度();光照度。4. 一光學(xué)系統(tǒng)共有10個(gè)界面，其中反射面2個(gè)，反射率，折射面8個(gè)，透過率，光學(xué)玻璃總厚度，吸收率，求系統(tǒng)的透過率。解：透過率T=（其中為光能損失），把已知數(shù)據(jù)代入即可解得系統(tǒng)的透過率T。第十章 眼睛與目視儀器1. 證明對于望遠(yuǎn)系統(tǒng)而言，將物體放在物鏡前任何有限距離，其垂軸放大率恒等于視放大率的倒數(shù)。證明：，且（為垂軸放大率，為視放大率）。2. 有人說45歲以后的遠(yuǎn)視眼又稱老花眼，這種說法對嗎?為什么？解：錯(cuò)誤。50歲以后的遠(yuǎn)視眼又稱老花眼。調(diào)節(jié)能力隨年齡增大而減小。3. 一顯微鏡，已知物鏡焦距，光學(xué)間隔，數(shù)值孔徑，目鏡焦距，物鏡框?yàn)榭讖焦鈻?，照明波長，求其理論分辨率、視放大率和出瞳直徑，并求其景深。解：其理論分辨率按瑞麗判斷：;按道威判斷：，視放大率，出瞳直徑。人眼通過顯微鏡調(diào)焦在某一平面時(shí)，在平面前和后的一定范圍內(nèi)物體也能清晰成像，能清晰成像的遠(yuǎn)近之間的距離稱作顯微鏡的景深:其數(shù)值（，n=1）。4一望遠(yuǎn)系統(tǒng)，視放大率，視場，物鏡焦距，求目鏡焦距望遠(yuǎn)系統(tǒng)的理論分辨率及出瞳直徑。解：望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視放大率望遠(yuǎn)系統(tǒng)的理論分辨率按瑞麗判斷;按道威判斷即入瞳直徑越大，極限分辨率越高。望遠(yuǎn)鏡分伽利略望遠(yuǎn)鏡和開普勒望遠(yuǎn)鏡。伽利略望遠(yuǎn)鏡一般將眼瞳作為孔