線性代數(shù)課件：5-1 方陣的特征值和特征向量

1、方陣的特征值和特征向量 特征值和特征向量的概念 特征值和特征向量的求法 特征值和特征向量的性質(zhì)一、特征值與特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的對應于特征值的對應于特征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立使關(guān)系式使關(guān)系式維非零列向量維非零列向量和和如果數(shù)如果數(shù)階矩陣階矩陣是是設(shè)設(shè)定義定義 AxAxAxxnnA 說明說明1.0 x 特征向量()3.,0,0.nAEA xEAAllll-=-=階方陣 的特征值 就是使齊次線性方程組有非零解的值 即滿足方程的 都是矩陣 的特征值2.特征值問題是對方陣而言的00. .|0AEAll-=31

2、若是矩陣 的特征值的充分必要條件是000. .()0AEA xVlll-=32對應于特征值的全體特征向量再添上零向量構(gòu)成的解空間，稱之為特征子空間，記為。4.0EAl-=1112121222120nnnnnnaaaaaaaaalll-=-LLLLLLL次方程次方程為未知數(shù)的一元為未知數(shù)的一元稱以稱以n 0EAl-=. 的的為為A特征方程特征方程,次多項式次多項式的的它是它是n 記記( )fEAll=-稱其稱其. 的的為方陣為方陣A特征多項式特征多項式()125.,ijnnAal ll=L設(shè)階方陣的特征值為則有121122(1);nnnaaatrAlll+=+=LL.)2(21An 求矩陣特征值

3、與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： ;det . 1EAA 的特征多項式的特征多項式計算計算 ;,0det . 2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEAn ()1113. , ,0,.iiiiirrijiijijriiiAE xkkllaala=-=對于特征值求齊次方程組的基礎(chǔ)解系。設(shè)一個基礎(chǔ)解系為那么(k為不同時為零的任意常數(shù))就是對應于 的全部特征向量二、特征值與特征向量的求法解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多項式為的特征多項式為A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221

4、的特征值為的特征值為所以所以A,00231123,2211 xx對應的特征向量應滿足對應的特征向量應滿足時時當當 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取為取為所以對應的特征向量可所以對應的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由時時當當 .11 ,221 pxx取為取為所以對應的特征向量可所以對應的特征向量可解得解得11(0)2.kp kl=所以是對應于的全部特征向量22(0)4.kp kl=所以是對應于的全部特征向量例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 A解解,)1( )2(2010340

5、11 2 EAA的特征多項式為的特征多項式為. 1, 2321 的特征值為的特征值為所以所以A由由解方程解方程時時當當. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11(0)2.kp kl=所以是對應于的全部特征向量由由解方程解方程時時當當. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系223(0)1.kp kll=所以是對應于的全部特征向量例例 設(shè)設(shè),314020112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2

6、 令令. 2, 1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解方程解方程時時當當. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系的的全全體體特特征征向向量量為為故故對對應應于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程時時當當. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對對應應于于 ).0,(323322不不同同時時為為kk pkpk .,., 121212121線性無關(guān)線性無關(guān)則則各不相等各不相等如果如果向量向

7、量依次是與之對應的特征依次是與之對應的特征個特征值個特征值的的是方陣是方陣設(shè)設(shè)定理定理mmmmppppppmA 證明證明使使設(shè)設(shè)有有常常數(shù)數(shù)mxxx,21. 02211 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 類推之，有類推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk三、特征值和特征向量的性質(zhì)把上列各式合寫成矩陣形式，得把上列各式合寫成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等

8、時時當當各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號號左左端端第第二二個個矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以向向量量組組mppp注意注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特

9、征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值一個特征向量不能屬于不同的特征值 即即有有的的特特征征向向量量的的的的屬屬于于特特征征值值同同時時是是如如果果設(shè)設(shè)因因為為,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由于由于, 0 x則則.與定義矛盾與定義矛盾21111112121,.,sisiirirrssrAsAllaalaaaaaa設(shè)是 的 個不同的特征值，是矩陣 對應于特征值 的線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān)推論推論定理二定理二00nAkAll設(shè)為 階矩陣 的 重特征值，則與對應矩陣至多有k個線性無關(guān)的特

10、征向量。000kVlll稱為的代數(shù)重數(shù)，的維數(shù)稱為的幾何重數(shù)。例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆時可逆時當當 AA 證明證明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特對應于對應于是是且且的特征值的特征值是矩陣是矩陣故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 ( )2,A當 可逆時., 1111的的特特征征向向量量對對應應于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣