萬有引力定律學(xué)案(2)

1、萬有引力定律學(xué)案一、開普勒行星運(yùn)動定律：開普勒運(yùn)動定律內(nèi)容：（1） 第一定律：所有的行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點(diǎn)上。（2）第二定律：對于每一個行星而言， 太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。（3）第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等?！镜湫皖}例】1 某行星沿橢圓軌道運(yùn)行，遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽的距離 a,近日點(diǎn)離太陽的距離 b,過遠(yuǎn)日點(diǎn)時行星的速率va，則過近日點(diǎn)時的速率 vb為（A Vb =bvaaVbabVaD VbN年，該行星會運(yùn)行到日地連線的延2 某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓。每過長線上，如圖所示，該行星與地球的公

2、轉(zhuǎn)半徑之比為（川+1鳥A ()3NB (-N 1C-（寧）2D.(旦)2N 14幅圖是用來描述這些行星運(yùn)3太陽系中的8大行星的軌道均可以近似看做圓軌道。下列動所遵從的某一規(guī)律的圖像。圖中坐標(biāo)系的橫軸是lg （T/To）,縱軸是lg （ R/Ro）;這里T和R分別是行星繞太陽運(yùn)行周期和相應(yīng)的圓軌道半徑,T。和Ro分別是水星繞太陽運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑。下列4幅圖中正確的是（)C4 飛船沿半徑為在軌道上的某一點(diǎn)r的圓周軌道繞地球運(yùn)動的周期T,如圖所示。如果飛船要返回地面，可A處將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動，橢圓和地球表面在B點(diǎn)相切。已知地球的半徑為R。求飛船

3、由A點(diǎn)到B點(diǎn)所需要的時間。二、萬有引力定律1萬有引力定律（1） 計(jì)算公式：F =G mim，其中引力常量由 卡文迪許測量G =6.67 10-11N m2 / kg2。r（2）適用條件：嚴(yán)格地說公式只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用；對于均勻的球體，r是兩球心間的距離。2. 萬有引力與重力（1 ）考慮星球自轉(zhuǎn)時，重力不是引力，引力的一個分力為重力，另一個分力提供向心力。在赤道處：G 1 22 =mg m .2R ;在兩極處:R隨著緯度增高，星球表面的重力增大。（2） 一般地星球自轉(zhuǎn)而導(dǎo)致的重力與引力得差別很小m1m2R2,物體所受的重力近似等于萬有引力Mm亠口丄亠、 ，斗GMm在星球表面：G 2 mg

4、;離星球咼度h的軌道：mghRR h【典型題例】1對于萬有引力定律的表達(dá)式F =G n2 2，以下說法正確的是（）rA 公式中G為引力常數(shù)，是人為規(guī)定的B. r趨近于零時，萬有引力趨于無窮大C. m1、m2之間的萬有引力總是大小相等，與m1、m2是否相等無關(guān)D. m1、m2之間的萬有引力總是大小相等、方向相反，是一對平衡力2. 兩個用同種材料制成半徑都為 R的均勻球體緊靠在一起，它們之間的萬有引力為F。用上述材料制成兩個半徑都為 R/2的均勻球體緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為（）A. 4FB. F/4C. 16FD. F/16，如圖所示，一個B . 1/9C . 1/4D . 1/163.

5、 兩個質(zhì)量均為 M的星體，其連線的垂直平分線為 HN ,0為其連線的中點(diǎn) 質(zhì)量為m的物體從O沿OH方向運(yùn)動，則它受到的萬有引力大小變化情況是（A . 一直增大B . 一直減小C.先減小后增大D.先增大后減小4. 火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球1/10和1/2，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（）A . 0.2gB . 0.4gC . 2.5gD . 5g5. 設(shè)地球表面的重力加速度為go,物體在距離地心 4R （ R是地球的半徑）處，由于地球的作用產(chǎn)生的加速度為 g,則g/ g0為（）6假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體

6、的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(7.g,物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為 飄”起來，則地球的轉(zhuǎn)速應(yīng)是原來轉(zhuǎn)速的(地球赤道上的重力加速度a,要使赤道上物倍B .倍C.如圖所示，在一個半徑為R、質(zhì)量為 M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大?R/2的球形空腔后，對位于球心和空腔中心連線上與球心相距9某星球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，自轉(zhuǎn)周期為T。在它的兩極處用彈簧測力計(jì)測得某物體的重力P,在它的赤道上彈簧測力計(jì)測同一物體的重力為0.9P,引力常量為G。求該星球的密度是多少？1 110已知月球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的，月球的半徑是地球半徑的；求：813.8(

7、1) 在月球和地球表面上，以相同的初速度分別豎直上拋一個物體，不計(jì)空氣阻力，上升的最大高度之比是多少？(2) 在月球和地球表面上相同的高度處(此高度遠(yuǎn)小于星球半徑)，以相同的初速度分別水平拋出一個物體，不計(jì)空氣阻力，物體的水平射程之比是多少？11. 一物體在地球表面用彈簧測力計(jì)測得的重力16N，在以5m/s2的加速度上升的火箭中用彈簧測力計(jì)測得其重力為 9N，已知地球表面的重力加速 g=10m/s2，則此時火箭離地球表面 的距離為地球半徑的多少倍？三、人造衛(wèi)星：（一）人造衛(wèi)星的運(yùn)行1. 人造衛(wèi)星運(yùn)動的穩(wěn)定軌道（1）當(dāng)衛(wèi)星圍繞地球勻速圓周運(yùn)動時，引力提供圓周運(yùn) 動的向心力， 只有當(dāng)衛(wèi)星圓軌道的圓

8、心與地球球心重合 時，衛(wèi)星才能穩(wěn)定運(yùn)行， 如圖所示。（2） 當(dāng)衛(wèi)星繞地球是橢圓軌道時，只有當(dāng)?shù)厍蛭挥谛l(wèi)星橢圓軌道的一個焦點(diǎn)上時，衛(wèi)星才能穩(wěn)定運(yùn)行?！镜湫皖}例】可以發(fā)射一顆這樣的人造衛(wèi)星，使其圓軌道（A .與地球表面上某一緯度（非赤道）是共面的同心圓B 與地球表面上某一經(jīng)度所決定的圓是共面的同心圓C.與地球表面上的赤道線是共面的同心圓，且衛(wèi)星相對地球表面是靜止的 D 與地球表面上的赤道線是共線的同心圓，且衛(wèi)星相對地球表面是運(yùn)動的 2研究天體運(yùn)行的基本方法一一 繞行天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動。 兩個基本思路：（1）在星球表面或表面附近：g= mg0（黃金代換）R2（2 ）環(huán)繞天體以中心天體的球心

9、為圓心做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力。即2=mjmaT2則：4*，a卑GMr2結(jié)論：高軌道，低速度，長周期。【典型題例】1如圖所示，a, b是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R （R為地球半徑）。下列說法中正確的是（）A. a、b的線速大小之比是*B. a、b的角速度大小之比是 3 6:4 /C. a、b的周期之比是1:2 2 J 4 L *D. a、b的向心加速度大小之比是 4： 92開普勒第三定律告訴我們：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方 的比值都相等是一個常數(shù)，這一規(guī)律同樣適用于地球的衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動。已知地球的半徑為R,地球的質(zhì)量

10、為 M，衛(wèi)星的質(zhì)量為 m,地球表面的重力加速度為 g,萬有引力恒量常數(shù) 為G ,則此常數(shù)等于（）GM4二2B. Gm4 二2C.gR24 二2gR4:23. 地球繞太陽的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，太陽對地球的引力提供運(yùn)動所需的向心力。由于太陽內(nèi)部的核反應(yīng)使太陽發(fā)光，在整個過程中，太陽的質(zhì)量在不斷減小。根據(jù)這一事實(shí)可以推知，在若干年后，地球繞太陽的運(yùn)動情況與現(xiàn)在相比（）A .運(yùn)動半徑變大B .運(yùn)動周期變大C .運(yùn)動速率變大D .運(yùn)動角速度變大4土星的外層有一個環(huán)，為了判斷它是土星的一部分，即土星的連續(xù)群”，還是土星的 衛(wèi)星群”，可以通過測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離 R之間的關(guān)系來作

11、出相應(yīng)的判斷（）1A .若v R，則該層是土星的連續(xù)群B .若v，則該層是土星的連續(xù)群RC. 若v2二R，則該層是土星的衛(wèi)星群D 若v2二丄，則該層是土星的衛(wèi)星群R5.人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)地球半徑為 R,地面處的重力加速度為g,則人造地球衛(wèi)星（）a .繞行的線速度最大為、.gRb .繞行的周期最小為2二、,RrgC .距地面高為 R處的繞行速度為,gR 2 D.距地面高為 R處的周期為 2 . 2R/ g6. 據(jù)報(bào)道，天文學(xué)家近日發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的"超級地球”，名為"55Cancrie ”,該行星繞母星（中心天體）運(yùn)行的周期約為地球繞太陽運(yùn)行周期的太

12、陽的60倍。假設(shè)母星與太陽的密度相同,，母星的體積約為480“55Cancrie”與地球均做勻速圓周運(yùn)動，貝U"55Ca ncrie ”與地球的（A .軌道半徑之比約為喘）；B .軌道半徑之比約為（益）31C .向心加速度之比約為（60 4 8021D .向心加速度之比約為（60 480滬7.宇宙飛船以周期 T繞地球做圓周運(yùn)動時,由于地球遮擋陽光，會經(jīng)歷日全食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為R,地球質(zhì)量為M,引力常量為 G,地球自轉(zhuǎn)周期為T0,太陽光可看作平行光。航員在 A點(diǎn)測出地球的張角為 aA .飛船繞地球運(yùn)動的線速度為Tsi n（"）B .一天內(nèi)，飛船經(jīng)歷日全食”的

13、次數(shù)為T/T。C.飛船每次 日全食”過程的時間為 旦D .飛船的周期為 T - si n（： / 2） GM si n（： / 2）（二）宇宙速度（1）第一宇宙速度 （環(huán)繞速度）：即衛(wèi)星繞地球表面 做勻速圓周運(yùn)動時 的速度；第一宇宙速度的大小計(jì)算：2I方法1：引力提供圓周運(yùn)動的向心力；由 GMmm =m得：v = . GM = 7.9km/sR2RV R2方法2：地球表面附近，重力和引力相等；由 mg =mV得：v = gR = 7.9km/s。R第一宇宙速度是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是衛(wèi)星繞地球勻速圓周運(yùn)行的最大速度。（2） 第二宇宙速度（脫離速度）：使物體掙脫地球引力束縛（不再繞地球運(yùn)行）的

14、最小 發(fā)射速度；v2 = . 2v1 = 11.2km/s。（3） 第三宇宙速度（逃逸速度）：使物體掙脫太陽引力束縛 （飛離太陽系）的最小發(fā)射速度；V3=16.7km/s。（三）地球同步衛(wèi)星：相對于地面靜止的、跟地球自轉(zhuǎn)同步的人造衛(wèi)星，主要用途是通信，也叫通信衛(wèi)星。地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行特點(diǎn)：（1）周期一定：運(yùn)行周期等于地球自轉(zhuǎn)周期（24h）；（2 ）軌道平面一定：在赤道平面上運(yùn)行；只能在赤道正上某一點(diǎn)相對地面靜止。（3）離地高度- 定：由Mm(R h)2(R - h)解得:h=3.6 xi04km ；（4）運(yùn)行快慢一定：GMmr22一 5=m m - r = ma 解得 v=3km/s, 3=7

15、.5 x 10 rad/s, a=0.23m/s。 r【典型題例】1 關(guān)于第一宇宙速度，下面說法中正確的是（）A 第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星繞地球飛行的最小速度B 第一宇宙速度是近地圓形軌道上人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行速度C 第一宇宙速度是能使衛(wèi)星進(jìn)入近地圓形軌道的最小發(fā)射速度D 第一宇宙速度是衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行時在近地點(diǎn)的速度2 關(guān)于我國發(fā)射的“亞洲一號”地球同步通訊衛(wèi)星的說法，正確的是（）A 若其質(zhì)量加倍，則軌道半徑也要加倍B 它在北京上空運(yùn)行，故可用于我國的電視廣播C.它以第一宇宙速度運(yùn)行D .它運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同3我國繞月探測工程的預(yù)先研究和工程實(shí)施已取得重要進(jìn)展。設(shè)地球、月球

16、的質(zhì)量分別為mm2，半徑分別為 尺、R2,人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度為v,對應(yīng)的環(huán)繞周期為 T,則環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的探測器的速度和周期分別為（A 丁叭, :mi R2miR； T:m2R-|3m1R2 v ,B.r m2Rim2Ri3T:m1R214. a是地球赤道上一幢建筑，C.m2RlV ,:.R2Tm1R2,v ,'m2Rib是在赤道平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動、距地面9.6 XOQm的衛(wèi)星,c是地球同步衛(wèi)星，某一時刻c的大致位置是圖乙中的（取地球半徑b、c剛好位于a的正上方，如圖甲所示，經(jīng)過48h后，a、b、6 2R= 6.4氷0 m，地球表面重力加速度g取10m/s ,薦

17、niO )()Fi，向心加速度ai，線5.地球赤道上有一物體隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動，所受到的向心力速度Vi,角速度3仁繞地球表面附近做圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星（高度忽略）所受到的向心力F2,向心加速度 a2,線速度V2，角速度32 ；地球同步衛(wèi)星所受到的向心力F3,向心加速度a3,線速度V3,角速度33；地球表面的重力加速度為g,第一宇宙速度為V,假設(shè)三者質(zhì)量相等，則（A . Fi= F2>F3B.ai= a2= g> a3 C. vi = V2= v> V3d .3 1 = 33 V 32w,向心加速度為R,6.如圖所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運(yùn)行速率為的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心

18、加速度為a2,第一宇宙速度為V2,地球半徑為的是（）aj;地球赤道上 則下列比值正確A .色 -a2RB . IPC.Vi 二V2D .丄v2R（四）“雙星”模型同少也呈1雙星系統(tǒng)宇宙中往往會有相距較近的兩顆星球,它們離其他星球都較遠(yuǎn)， 因此其他星球?qū)λ麄兊娜f有引力可以忽略不計(jì)。它們 繞兩星連線上的某一固定點(diǎn)、保持距離不變做勻速圓周運(yùn)動, 這種結(jié)構(gòu)叫做雙星系統(tǒng).2. 雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)（1 ）兩星之間的萬有引力提供圓周運(yùn)動的向心力，所以它們的向心力大小相等；（2）兩星繞它們連線上的一點(diǎn)、且距離不變的勻速圓周運(yùn)動，兩星的角速度、周期相等。【典型題例】1. 宇宙中遠(yuǎn)離其他星球的兩顆相距較近的天體稱為雙

19、星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動而不至因萬有引力的作用吸引到一起。(1) 證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比。(2) 設(shè)兩者的質(zhì)量分別為 mi和m2，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達(dá)式。2. 冥王星與其附近的另一顆星體卡戎星可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量之比約為7:1 ,同時繞它們連線上某點(diǎn)0做勻速圓周運(yùn)動，由此可知，冥王星繞0點(diǎn)運(yùn)動的( )A 軌道半徑約為卡戎星的1/7B.角速度大小約為卡戎星的1/7C.線速度大小約為卡戎星的7倍D 向心力大小約為卡戎星的 7倍3 雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周 期相同的勻速圓周運(yùn)動。研

20、究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動的周期為T,經(jīng)過一段時間演化后，兩星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運(yùn)動的周期()A .IB.:Tt4宇宙中存在著一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，忽略其他一種是三顆星位于同一直線星體對它們的引力。穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行；設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m。(a)(b)(1) 試求第一種形式下，星體運(yùn)動的線速度和周期；(

21、2) 假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？5宇宙中存在著一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的引力。 穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定的分布在邊長為a的正方形的四個頂點(diǎn)上，均圍繞正方形的重心做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動周期為T1；另一種形式是有三顆星位于邊長為a的等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，運(yùn)動周期為T2；第四顆星剛好位于三角形的中心不動。求兩種形式下星體運(yùn)動的周期之比。（五）衛(wèi)星的變軌問題及追及相遇問題1衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行與變軌運(yùn)行分析（1）衛(wèi)星在圓軌道 穩(wěn)定運(yùn)行萬有引力提供圓周運(yùn)

22、動的向心力:2v=m r24兀2=m r = m r。T2（2）衛(wèi)星變軌運(yùn)行 分析當(dāng)運(yùn)行速度v增大，所需的向心力2m-增大,r萬有引力小于所需的向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，軌道半徑變大；進(jìn)入新的圓軌道穩(wěn)定運(yùn)行，由可知，運(yùn)行速度變小。當(dāng)運(yùn)行速度v減小，2所需的向心力m»減小,r萬有引力大于所需的向心力，衛(wèi)星將做向心運(yùn)動，軌道半徑變??；進(jìn)入新的圓軌道穩(wěn)定運(yùn)行，由GM可知，運(yùn)行速度增大。2 衛(wèi)星的追及相遇問題衛(wèi)星通過在穩(wěn)定軌道上的速度變化，進(jìn)行變軌運(yùn)行，超前或落后其它衛(wèi)星， 以及實(shí)現(xiàn)飛 船與空間站的對接等?！镜湫皖}例】1 如圖所示，北京飛控中心對天宮一號”的對接機(jī)構(gòu)進(jìn)行測試，確保滿足交會對接

23、要求，在神舟八號”發(fā)射之前20天，北京飛控中心將通過 3至4次軌道控制，對 天宮一號”進(jìn)行 軌道相位調(diào)整，使其進(jìn)入預(yù)定的交會對接軌道，等待神舟八號到來，要使神舟八號”與 天宮一號”交會，并最終實(shí)施對接， 神舟八號”為了追上天宮一號”（ ）A .應(yīng)從較低軌道上加速B .應(yīng)從較高軌道上加速C 應(yīng)在從同空間站同一軌道上加速D .無論在什么軌道上只要加速就行2位于東經(jīng)103。處某通信衛(wèi)星若要 挪移”定點(diǎn)在赤道上空東經(jīng) 104。處，可以短時間啟動衛(wèi) 星上的小型噴氣發(fā)動機(jī)調(diào)整衛(wèi)星的高度，改變其周期，使其漂移”到預(yù)定經(jīng)度后，再短時間啟動發(fā)動機(jī)調(diào)整衛(wèi)星的高度，實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)，兩次調(diào)整高度的方向依次是（）A .向下、向上B.向上、向下C.向上、向上D.向下、向下3 發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道1,然后點(diǎn)火使其沿橢圓軌道2運(yùn)行 最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1與2相切于Q點(diǎn)，軌道2與3相切于P點(diǎn)，如圖所示。當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時，以下說法正確的是（）A .衛(wèi)星在軌道3上的速率大于它在軌道 1上的速率B .衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于它在軌道 1上的角速度C.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時的加速