線性代數(shù)課件第7章 線性空間與線性變換

1、第7章 線性空間與線性變換 本章介紹線性空間的基本概念與基本運算，介紹線性變換的基本概念以及線性變換的矩陣。通過本章的學習，應該掌握以下內(nèi)容： 線性空間的概念、基、維數(shù)與坐標 基變換與坐標變換公式 線性變換的概念、簡單性質(zhì)與運算 線性變換的矩陣表示和線性變換在不同基下的矩陣之間的關系 線性變換運算所對應的矩陣 線性變換的矩陣為對角矩陣的充要條件 維線性空間的概念7.1 維線性空間 n7.1.1 n定義定義1 設 是一個非空集合， vp是一個數(shù)域,在 中定義了兩種代數(shù)運算： v1加法 對于 v中任意兩個元素 , 按某一法則,在 中都有惟一的一個元素 v 與它們對應,稱為 , 的和,記作 2數(shù)量乘

2、法 對于 v任意元素 和數(shù)域 p中的任意數(shù) k按某一法則,在 中都有惟一的一個元素 v 對應,稱為 與它們k與 的數(shù)量乘積，記作 k 一般稱集合 v對于加法和數(shù)量乘法這兩種運算封閉 如果加法和數(shù)量乘法滿足以下八條運算規(guī)律，則稱 v是數(shù)域 p上的一個線性空間其中： (1) (2)()() （3）在 v中有一個元素 0,對于 v中任一元素 ,都有 0 .稱元素 為 v的零元素（4）對于 v中每一個元素 ,都有 中的元素 v 使得 0 .稱元素 0為 的負元素,記作 () 0 ,即(5)對數(shù)域 p中的數(shù)1和 中的任一元素 v ,都有 1. (6) ()()k lkl (7)()klkl (8) ()

3、kkk ( , k l是任意實數(shù)) 注: 凡滿足八條運算規(guī)律的加法及數(shù)量乘法，就稱為線性運算；凡定義了線性運算的集合，就稱為線性空間 線性空間具有下列性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1 線性空間的零元素是惟一的；性質(zhì)性質(zhì)2 線性空間 中每個向量的負向量是惟一的；v性質(zhì)性質(zhì)3 0( 1),k 0,00 性質(zhì)性質(zhì)4 如果 k 0 ,則 0k 或 0 7.1.2基、維數(shù)與坐標定義定義2 在線性空間 中,如果存在 (2)vn個元素 12,n 滿足: 12(1),n 中任一元素 總可以由 線性表示, 12,n 那么, 12,n 稱為線性空間 vv的一組基, 稱為線性空間 n的維數(shù) v線性無關;定義定義3 設 12,n n

4、是維線性空間 的一組基 v是v中任一元素，如果 1122nnxxx12,nx xx這組有序數(shù)組就稱為元素 在12,n 這組基下的坐標，并記作： t12( ,)nx xx 建立了坐標后，就把抽象的向量（元素）與具體的數(shù)組向量 聯(lián)系起來了并且,還可把抽象的線性運算與數(shù)組向量的元素聯(lián)系起來t12(,)nx xx設,nv 12,n 為一組基1122nnxxx1122nnyyy于是 111222()()()nnnxyxyxy1122nnkkxkxkx 7.1.3基變換與坐標變換公式 設12,n 與12,n 是線性空間 nv中的兩個基 11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaa

5、aaaa利用分塊矩陣的乘法形式，可將上式記為 1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 或1212(,)(,)nna 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa其中稱為由基 12,n 12,n 到過渡矩陣.中的每一列元素分別是基 a12,n 在基12,n 下的坐標； 1212(,)(,)nna 稱為基變換公式 定理定理1設 nv中的元素 在基 12,n 下的坐標為 t12(,)nx xx,在基 12,n 下的坐標為 t12(,)ny yy,若兩個基滿足 1212(,)(,)nna 則有坐標變換公式 1122nnxyxyaxy或11221nny

6、xyxayx例例8 設 1211,01 是線性空間 22vr的一組基 2113a為一個二階可逆矩陣，令 11211122011 21211433013 顯然， 12, 也線性無關，因此 12, 22vr的一組基,并且滿足 也是121221,13 2113a是由基12, 到12, 的過渡矩陣.例例9 設由所有二階矩陣組成的線性空間 2m的兩個基為： 11112212210010000:,00001001seeee212341011111 1:,0000101 1sbbbb（1）求由基 1s到基2s （2）分別求 的過渡矩陣；abpcd在上述兩個基下的坐標； （3）求一個非零矩陣 x,使x在兩個基

7、下的坐標相同 解解 （1）因為 111211123111221411122122,bebeebeeebeeee寫成矩陣形式，就有 12341112212211110111,00110001b b b beeee于是矩陣 1111011100110001a1s到基的過渡矩陣；2s即是由基（2）由 111221221111221221234,abpaebecedecdaabbeeeeb b b baccdd于是, p在基1s下的坐標為t, , ,a b c dp在基2s下的坐標為11100011000110001aaabbbbcacccdddd(3)設 1234xxxxx在上述兩個基下坐標相同,由

8、(2)知,應有 112223234334440 xxxxxxxxxxxxxx,故 11110,(0)00xxxr x為在給定的兩組基下坐標相同的非零的二階矩陣 7.2 線性變換 7.2.1線性變換的定義定義定義4 設有兩個非空集合 ,v u如果對于 v中的任一元素 ,按照一定的規(guī)則,總有 u中一個確定的元素 對應,那么,這個對應規(guī)則就稱為從集合 和它v到集合u的變換(或映射).我們常用字母來表示一個變換，譬如把上述變換記作 a( ) a( ),v a,并記 或定義定義5 設 mu分別是實數(shù)域上的 nm維和空間, 維線性a是一個從 nv到,nmv u的變換,如果變換滿足: （1）任給 12, n

9、v1212()()()aaa,有（2）任給 ()( )kkaa,有nv那么 a就稱為從 munv到的線性變換如果 nmvu,那么,稱 a為nv中的線性變換. 7.2.2線性變換的簡單性質(zhì)線性變換有以下性質(zhì): 性質(zhì)性質(zhì)1 ( ) 00,aaa性質(zhì)性質(zhì)2 若 1122nnkkk,則 1122( )()()()nnkkkaaaa性質(zhì)性質(zhì)3 若 12,n ,則 12(),(),()naaa線性相關.線性相關性質(zhì)性質(zhì)4 線性變換 的像集 a()nva稱為線性變換的像空間； 是一個線性空間,性質(zhì)性質(zhì)5 使 ( ) 0 a的 的全體 ,( )nsv 0 aa也是一個線性空間, sa稱為線性變換 a的核. 例

10、例17 設有 階矩陣 n11121212221212,nnnnnnnaaaaaaaaaa 121,2,iiiniaaina 其中,nr中的變換 ( )xaxa為線性變換 的像空間為 a112212(),nnnnrkkkk kkr aa的核 sa就是齊次線性方程組 ax 0的解空間 7.2.3線性變換的運算1.線性變換的加法定義定義6 設 ,a b是線性空間 nv定義它們的和 的兩個線性變換,ab為()( )( )( ), ()nvabab容易證明,線性變換的和還是線性變換. 線性變換的加法滿足結(jié)合律與交換律.即 ()()a+ b+c = a+ b +cab = ba2線性變換的數(shù)量乘法 定義定

11、義7 設 a是線性空間 nv的線性變換, k定義它們的數(shù)量乘法 為實數(shù)，ka為 ()( )( ), ()nkkvaa顯然 ka,仍然是線性變換. 線性變換的數(shù)量乘法滿足以下運算規(guī)律： ()()klk laa()klklaaa()kkka+ bab1,0 0aaa( 1) aa稱為 a的負變換 () 0aa() abab3.線性變換的乘法定義定義8 設 ,a b是線性空間 nv定義它們的乘積 的兩個線性變換,ab為()( )( ( ), ()nvaba b容易證明,線性變換的乘積還是線性變換. 線性變換的乘法滿足結(jié)合律.即 ()()ab ca bc但不滿足交換律,即一般地abba對于乘法,單位變

12、換 e有特殊的地位,對任意變換aeeaa 還可以證明線性變換的加法與乘法滿足乘法對加法的左右分配律： () a b+cab+ ac()b+c a = ba+ca滿足a4線性變換的逆變換定義定義9 設 a是線性空間 nv的線性變換,如果有 nv的線性變換b存在,使 abbae,則稱線性變換 a可逆，并稱 b是a的逆變換. 可以證明可逆變換的逆變換是惟一的 可逆變換a的逆變換記做1a11aaa ae,即可以證明,線性變換 a的逆變換1a也是線性變換 7.3 線性變換的矩陣表示7.3.1線性變換在一個基下的矩陣 定義定義10 設 a是n維線性空間nv的線性變換， 在中取定一組基， nv12,n ,如

13、果這組基在線性變換 下的像（用這個基線性表示）為 a11112121212122221122()()()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa1212( (),(),()(,)nn aaaa記上式可以表示為 1212(,)(,)nna a111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa其中那么, a就稱為線性變換a在基12,n 下的矩陣 顯然，矩陣由基的像12(),(),()naaa惟一確定a特別地,在nv中取定一組基以后, 線性變換aa矩陣例例18 求 3r中的線性變換 11223( )0aaaaaaa在如下基下的矩陣： 123100(1)0 ,1 ,0001 123111(2

14、)0 ,1 ,1001 解解 （1）因為 1123212331231000010000000000 a,aa所以,在基123, 下線性變換 a的矩陣為100010000a（2）因為112321233123100001100011000 aaa所以，在基123, 下線性變換a的矩陣100011000b 例例20 設 212,34br的線性變換為 ( )b a求在基 1211,10 下的矩陣.解解 因為111222121213()7434171211()323403abab 所以,線性變換 a在基 1211,10 下的矩陣為7342a定理定理 2設 12,n 是n維線性空間nv的一組基， 的線性變

15、換 nva在這組基下的矩陣為 a,向量 ,( )a在基 12,n 下的坐標為 , ,x y其中 1112111212222212,nnnnnnnnaaaxyaaaxyaaaaxyxy則ayx即1122nnyxyxayx7.3.2線性變換在不同基下的矩陣之間的關系 定理定理3 設 12,n 12,n 與是線性空間nv的兩組不同的基,由基 12,n 12,n 到的過渡矩陣為 ,p中的線性變換 nva矩陣分別為 在這兩組基下的a和b,那么 1bp ap證明證明 按定理的假設，有11212,nnp 可逆，從而 p1212,nnp 1212(,)(,)nna a及1212(,)(,)nnb a12121

16、21212112(,)(,), , (,)nnnnnnbppapp ap a= aa于是因為 12,n 線性無關,所以 1bp ap于是 例例21 設2v中的線性變換 a在基 12, 下的矩陣為11122122aaaaa ,求 a在基 21, 下的矩陣.解解 211201,10 即由 12, 到21, 的過渡矩陣0110p,求得10110p a在基 21, 下的矩陣.1112212222211212211121211010101101010aaaaaabp apaaaaaa可逆,則矩陣7.3.3線性變換運算所對應的矩陣 定理定理4 設 12,n 是n維線性空間nv的一組基, 在這組基下,線性變換 ,a b的矩陣分別為 ,a b,則在基 12,n 下 （1）線性變換 ,a b的和ab的矩陣為 ;ab（2）線性變換a的數(shù)量乘法ka的矩陣為矩陣;ka（3）線性變換 ,a b的乘積ab的矩陣為 ;ab（4）若線性變換a可逆，反之亦然a有 個相異的特征值,則 （1）線性變換所對應的矩陣 可以對