2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(重慶卷)文

1、重慶文科數(shù)學(xué)試題卷(文史類)共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項:1.答題前,務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時,必須使用2b鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.3.答非選擇題時,必須使用0.5毫米黑色簽字筆,將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無效.5.考試結(jié)束后,將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個備選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013重慶,文1)已知全集u=1,2,3,4,集合a=

2、1,2,b=2,3,則u(ab)=(). a.1,3,4b.3,4c.3d.4答案:d解析:ab=1,22,3=1,2,3,u=1,2,3,4,u(ab)=4,故選d.2.(2013重慶,文2)命題“對任意xr,都有x20”的否定為().a.存在x0r,使得x02<0b.對任意xr,都有x2<0c.存在x0r,使得x020d.不存在xr,使得x2<0答案:a解析:由全稱命題p:xd,p(x)的否定為􀱑p:x0d,􀱑p(x0),知選a.3.(2013重慶,文3)函數(shù)y=1log2(x-2)的定義域是().a.(-,2)b.(2,+)c.(2,

3、3)(3,+)d.(2,4)(4,+)答案:c解析:由題知x-2>0,log2(x-2)0,解得x>2,x-21,即x>2,x3.所以該函數(shù)的定義域為(2,3)(3,+),故選c.4.(2013重慶,文4)設(shè)p是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,q是直線x=-3上的動點,則|pq|的最小值為().a.6b.4c.3d.2答案:b解析:由圓(x-3)2+(y+1)2=4知,圓心的坐標(biāo)為(3,-1),半徑r=2,圓心到直線x=-3的距離d=|3-(-3)|=6.|pq|min=d-r=6-2=4,故選b.5.(2013重慶,文5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的k的值是(

4、).a.3b.4c.5d.6答案:c解析:k=1,s=1+(1-1)2=1;k=2,s=1+(2-1)2=2;k=3,s=2+(3-1)2=6;k=4,s=6+(4-1)2=15;k=5,s=15+(5-1)2=31>15.k=5.故選c.6.(2013重慶,文6)下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位:臺)的莖葉圖,則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22,30)內(nèi)的頻率為().1238912279003a.0.2b.0.4c.0.5d.0.6答案:b解析:數(shù)據(jù)總個數(shù)n=10,又落在區(qū)間22,30)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為4,所求的頻率為410=0.4.7.(2013重慶,文7)關(guān)于x的不等式x2-2ax-

5、8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=().a.52b.72c.154d.152答案:a解析:由x2-2ax-8a2<0(a>0),得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a<x<4a,x1=-2a,x2=4a.x2-x1=4a-(-2a)=6a=15,a=156=52.故選a.8.(2013重慶,文8)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().a.180b.200c.220d.240答案:d解析:由三視圖知該幾何體是底面為等腰梯形的直棱柱,如圖所示,s上=2×10=20,s下=8×10=80

6、,s前=s后=10×5=50,s左=s右=12(2+8)×4=20,所以s表=s上+s下+s前+s后+s左+s右=240,故選d.9.(2013重慶,文9)已知函數(shù)f(x)=ax3+bsin x+4(a,br),f(lg(log210)=5,則f(lg(lg 2)=().a.-5b.-1c.3d.4答案:c解析:log210=1lg2,lg(log210)=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2).令g(x)=ax3+bsin x,易知g(x)為奇函數(shù).f(lg(log210)=f(-lg(lg 2)=g(-lg(lg 2)+4=5,g(-lg(lg 2)=1.g(lg(l

7、g 2)=-1.f(lg(lg 2)=g(lg(lg 2)+4=-1+4=3.故選c.10.(2013重慶,文10)設(shè)雙曲線c的中心為點o,若有且只有一對相交于點o,所成的角為60°的直線a1b1和a2b2,使|a1b1|=|a2b2|,其中a1,b1和a2,b2分別是這對直線與雙曲線c的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是().a.233,2b.233,2c.233,+d.233,+答案:a解析:不妨令雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由|a1b1|=|a2b2|及雙曲線的對稱性知a1,a2,b1,b2關(guān)于x軸對稱,如圖.又滿足條件的直線只有一對,

8、tan 30°<batan 60°,即33<ba3.13<b2a23.b2=c2-a2,13<c2-a2a23,即43<e24.233<e2,即e233,2.故選a.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.11.(2013重慶,文11)設(shè)復(fù)數(shù)z=1+2i(i是虛數(shù)單位),則|z|=. 答案:5解析:z=1+2i,|z|=12+22=5.12.(2013重慶,文12)若2,a,b,c,9成等差數(shù)列,則c-a=. 答案:72解析:設(shè)公差為d,則c-a=2d=2×9-25-1

9、=2×74=72.13.(2013重慶,文13)若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排,則甲、乙兩人相鄰而站的概率為. 答案:23解析:甲、乙、丙三人隨機(jī)站在一排有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6種.若甲、乙兩人相鄰而站則有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲,共4種,故所求的概率為46=23.14.(2013重慶,文14)在oa為邊,ob為對角線的矩形中,oa=(-3,1),ob=(-2,k),則實數(shù)k=. 答案:4解析:oa=(-3,1),ob=(-2,k),ab=ob-oa=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1).又oa,ab為矩形相鄰兩邊所對應(yīng)

10、的向量,oaab,即oa·ab=-3×1+1×(k-1)=-4+k=0,即k=4.15.(2013重慶,文15)設(shè)0,不等式8x2-(8sin )x+cos 20對xr恒成立,則的取值范圍為. 答案:0,656,解析:不等式8x2-(8sin )x+cos 20對xr恒成立,則有=(8sin )2-4×8cos 2=64sin2-32cos 20,即2sin2-cos 2=2sin2-(1-2sin2)=4sin2-10.sin214.-12sin 12.又0,結(jié)合右圖可知,0,656,.三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明

11、、證明過程或演算步驟.16.(2013重慶,文16)(本小題滿分13分,(1)小問7分,(2)小問6分.)設(shè)數(shù)列an滿足:a1=1,an+1=3an,nn+.(1)求an的通項公式及前n項和sn;(2)已知bn是等差數(shù)列,tn為其前n項和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求t20.解:(1)由題設(shè)知an是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,所以an=3n-1,sn=1-3n1-3=12(3n-1).(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,所以公差d=5,故t20=20×3+20×192×5=1 010.17.(2013重慶,文17)(

12、本小題滿分13分,(1)小問9分,(2)、(3)小問各2分.)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得i=110xi=80,i=110yi=20,i=110xiyi=184,i=110xi2=720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.附:線性回歸方程y=bx+a中,b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2,a=y-bx,其中x,y為樣本平均值.線性回歸方程也可寫為y=bx+a.解:(1

13、)由題意知n=10,x=1ni=1nxi=8010=8,y=1ni=1nyi=2010=2,又lxx=i=1nxi2-nx2=720-10×82=80,lxy=i=1nxiyi-nxy=184-10×8×2=24,由此得b=lxylxx=2480=0.3,a=y-bx=2-0.3×8=-0.4,故所求回歸方程為y=0.3x-0.4.(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b=0.3>0),故x與y之間是正相關(guān).(3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元).18.(2013重慶,文18)(本小題滿

14、分13分,(1)小問4分,(2)小問9分.)在abc中,內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.(1)求a;(2)設(shè)a=3,s為abc的面積,求s+3cos bcos c的最大值,并指出此時b的值.解:(1)由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=-3bc2bc=-32.又因0<a<,所以a=56.(2)由(1)得sin a=12,又由正弦定理及a=3得s=12bcsin a=12·asinbsina·asin c=3sin bsin c,因此,s+3cos bcos c=3(sin bsin c+cos bcos c)=3co

15、s(b-c).所以,當(dāng)b=c,即b=-a2=12時,s+3cos bcos c取最大值3.19.(2013重慶,文19)(本小題滿分12分,(1)小問5分,(2)小問7分.)如圖,四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,pa=23,bc=cd=2,acb=acd=3.(1)求證:bd平面pac;(2)若側(cè)棱pc上的點f滿足pf=7fc,求三棱錐p-bdf的體積.(1)證明:因bc=cd,即bcd為等腰三角形,又acb=acd,故bdac.因為pa底面abcd,所以pabd.從而bd與平面pac內(nèi)兩條相交直線pa,ac都垂直,所以bd平面pac.(2)解:三棱錐p-bcd的底面bcd的面積sbc

16、d=12bc·cd·sinbcd=12×2×2×sin23=3.由pa底面abcd,得vp-bcd=13·sbcd·pa=13×3×23=2.由pf=7fc,得三棱錐f-bcd的高為18pa,故vf-bcd=13·sbcd·18pa=13×3×18×23=14,所以vp-bdf=vp-bcd-vf-bcd=2-14=74.20.(2013重慶,文20)(本小題滿分12分,(1)小問5分,(2)小問7分.)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該

17、蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為v立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率).(1)將v表示成r的函數(shù)v(r),并求該函數(shù)的定義域;(2)討論函數(shù)v(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.解:(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100·2rh=200rh元,底面的總成本為160r2元,所以蓄水池的總成本為(200rh+160r2)元.又據(jù)題意200rh+160r2=12 000,所以h=15r(300-4r2),從而v(r)=r2h=5(300r-4r3).

18、因r>0,又由h>0可得r<53,故函數(shù)v(r)的定義域為(0,53).(2)因v(r)=5(300r-4r3),故v'(r)=5(300-12r2).令v'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定義域內(nèi),舍去).當(dāng)r(0,5)時,v'(r)>0,故v(r)在(0,5)上為增函數(shù);當(dāng)r(5,53)時,v'(r)<0,故v(r)在(5,53)上為減函數(shù).由此可知,v(r)在r=5處取得最大值,此時h=8.即當(dāng)r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大.21.(2013重慶,文21)(本小題滿分12分,(1)小問4分,(2)小問8分.)如圖,橢圓的中心為原點o,長軸在x軸上,離心率e=22,過左焦點f1作x軸的垂線交橢圓于a,a'兩點,|aa'|=4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)取平行于y