2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(山東卷)

1、1 / 16 2016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 山東文科數(shù)學(xué) 1.(2016 山東,文 1)設(shè)集合 u=1,2,3,4,5,6,a=1,3,5,b=3,4,5,則u(ab)=( ) a.2,6 b.3,6 c.1,3,4,5 d.1,2,4,6 答案 a 由已知可得 ab=1,3,4,5,故u(ab)=2,6. 2.(2016 山東,文 2)若復(fù)數(shù) z=21-i,其中 i為虛數(shù)單位,則= ( ) a.1+i b.1-i c.-1+i d.-1-i 答案 b z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,故=1-i. 3.(2016 山東,文 3)

2、某高校調(diào)查了 200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30,樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根據(jù)直方圖,這 200 名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是 ( ) a.56 b.60 c.120 d.140 答案 d 由頻率分布直方圖可知,這 200名學(xué)生每周自習(xí)時(shí)間不少于 22.5 小時(shí)的頻率 為(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故該區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為 2000.7=140.故選 d. 4.(2016 山東,文 4)若變量 x,y 滿足 +

3、 2,2-3 9, 0,則 x2+y2的最大值是( ) 2 / 16 a.4 b.9 c.10 d.12 答案 c 如圖,作出不等式組所表示的可行域(陰影部分),設(shè)可行域內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y),則 x2+y2的幾何意義 為|op|2.顯然,當(dāng) p與 a 重合時(shí),取得最大值. 由 + = 2,2-3 = 9,解得 a(3,-1). 所以 x2+y2的最大值為 32+(-1)2=10.故選 c. 5.(2016 山東,文 5)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為( ) a.13+23 b.13+23 c.13+26 d.1+26 答案 c 由三視圖可知,四棱錐為底

4、面邊長(zhǎng)為 1 的正方形,高為 1. 其體積 v1=13121=13. 設(shè)球的半徑為 r,因?yàn)樗睦忮F的底面是半球底面的內(nèi)接正方形 ,故 2r=2,即 r=22. 所以半球的體積為 v2=1243r3=1243 (22)3=26. 3 / 16 故該幾何體的體積為 v=v1+v2=13+26.故選 c. 6.(2016 山東,文 6)已知直線 a,b 分別在兩個(gè)不同的平面 ,內(nèi).則“直線 a和直線 b相交”是“平面 和平面 相交”的 ( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 答案 a 若直線 a,b相交,設(shè)交點(diǎn)為 p,則 pa,pb. 又因?yàn)?a,b,

5、 所以 p,p. 故 , 相交. 反之,若 , 相交,設(shè)交線為 l,當(dāng) a,b都與直線 l 不相交 時(shí),則有 ab. 顯然 a,b可能相交,也可能異面或平行. 綜上,“直線 a,b相交”是“平面 , 相交”的充分不必要條件. 7.(2016 山東,文 7)已知圓 m:x2+y2-2ay=0(a0)截直線 x+y=0 所得線段的長(zhǎng)度是 22.則圓 m 與圓n:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置關(guān)系是( ) a.內(nèi)切 b.相交 c.外切 d.相離 答案 b 圓 m的方程可化為 x2+(y-a)2=a2,故其圓心為 m(0,a),半徑 r=a. 所以圓心到直線 x+y=0 的距離 d=|0+|1

6、2+12=22a. 所以直線 x+y=0被圓 m 所截弦長(zhǎng) 為 22-2=22-(22)2= 2a, 由題意可得2a=22,故 a=2. 圓 n 的圓心 n(1,1),半徑 r=1. 而|mn|=(1-0)2+ (1-2)2= 2, 4 / 16 顯然 r-r|mn|r+r,所以兩圓相交. 8.(2016 山東,文 8)abc中,角 a,b,c的對(duì)邊分別是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sin a),則 a=( ) a.34 b.3 c.4 d.6 答案 c 由余弦定理 可得 a2=b2+c2-2bccos a, 又因?yàn)?b=c,所以 a2=b2+b2-2bbcos a=2b2(

7、1-cos a). 由已知 a2=2b2(1-sin a),所以 sin a=cos a, 因?yàn)?a(0,),所以 a=4. 9.(2016 山東,文 9)已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?r.當(dāng) x12時(shí),f( +12)=f(-12),則 f(6)=( ) a.-2 b.-1 c.0 d.2 答案 d 由題意可知,當(dāng)-1x1 時(shí),f(x)為奇函數(shù) ; 當(dāng) x12時(shí),由 f( +12)=f(-12)可得 f(x+1)=f(x). 所以 f(6)=f(51+1)=f(1). 而 f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2. 所以 f(6)=2.故選 d. 10.(2016 山東,文 10)若函數(shù)

8、y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱 y=f(x)具有 t性質(zhì).下列函數(shù)中具有 t 性質(zhì)的是( ) a.y=sin x b.y=ln x c.y=ex d.y=x3 答案 a 設(shè)曲線上兩點(diǎn) p(x1,y1),q(x2,y2). 則由導(dǎo)數(shù)幾何意義 可知,兩條切線的斜率分別為 k1=f(x1),k2=f(x2), 5 / 16 若函數(shù)具有 t 性質(zhì),則 k1 k2=f(x1) f(x2)=-1. a項(xiàng),f(x)=cos x,顯然 k1 k2=cos x1 cos x2=-1有無(wú)數(shù)組解,所以該函數(shù)具有性質(zhì) t; b項(xiàng),f(x)=1(x0),顯然 k1 k2=11

9、12=-1 無(wú)解,故該函數(shù)不具有性質(zhì) t; c項(xiàng),f(x)=ex0,顯然 k1 k2=e1 e2=-1 無(wú)解,故該函數(shù)不具有性質(zhì) t; d項(xiàng),f(x)=3x20,顯然 k1 k2=312322=-1 無(wú)解,故該函數(shù)不具有性質(zhì) t. 綜上,選 a. 11.(2016 山東,文 11)執(zhí)行下邊的程序框圖,若輸入 n的值為 3,則輸出的 s的值為 . 答案 1 解析開(kāi)始:i=1,s=0, 第一次運(yùn)算:s=0+1 + 1 1 = 2-1, 顯然 13 不成立,所以 i=1+1=2; 第二次運(yùn)算:s=(2-1)+2 + 1 2 = 3-1, 顯然 23 不成立,所以 i=2+1=3; 第三次運(yùn)算:s=(

10、3-1)+3 + 1 3=2-1=1, 因?yàn)?33 成立,所以輸出 s=1. 6 / 16 12.(2016 山東,文 12)觀察下列等式: (sin3)-2+ (sin23)-2=4312; (sin5)-2+ (sin25)-2+ (sin35)-2+ (sin45)-2=4323; (sin7)-2+ (sin27)-2+ (sin37)-2+(sin67)-2=4334; (sin9)-2+ (sin29)-2+ (sin39)-2+(sin89)-2=4345; 照此規(guī)律:(sin2+1)-2+ (sin22+1)-2+ (sin32+1)-2+(sin22+1)-2= . 答案43

11、n(n+1) 解析由等式可知,等式右邊共三個(gè)數(shù) 相乘,第一個(gè)數(shù)都是43; 而所給等式就是第 n 個(gè)式子,顯然第 2 個(gè)數(shù)與該等式所在行數(shù)相同,故第 2 個(gè)數(shù)為 n; 第三個(gè)數(shù)比第 2 個(gè)數(shù)大 1,所以第 3個(gè)數(shù)為 n+1. 所以第 n個(gè)式子等號(hào)右邊為43n(n+1). 13.(2016 山東,文 13)已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a(ta+b),則實(shí)數(shù) t的值為 . 答案-5 解析由 a(ta+b)可得 a (ta+b)=0, 所以 ta2+a b=0, 而 a2=12+(-1)2=2,a b=16+(-1)(-4)=10,所以有 t2+10=0,解得 t=-5. 14.

12、(2016 山東,文 14)已知雙曲線 e:2222=1(a0,b0).矩形 abcd的四個(gè)頂點(diǎn)在 e上,ab,cd的中點(diǎn)為 e 的兩個(gè)焦點(diǎn),且 2|ab|=3|bc|,則 e的離心率是 . 7 / 16 答案 2 解析由題意不妨設(shè) ab=3,則 bc=2. 設(shè) ab,cd的中點(diǎn)分別為 m,n,如圖, 則在 rtbmn中,mn=2, 故 bn=2+ 2=(32)2+ 22=52. 由雙曲線的定義 可得 2a=bn-bm=5232=1, 而 2c=mn=2, 所以雙曲線的離心率 e=22=2. 15.(2016 山東,文 15)已知函數(shù) f(x)=|, ,2-2 + 4, ,其中 m0.若存在實(shí)

13、數(shù) b,使得關(guān)于 x的方程f(x)=b 有三個(gè)不同的根,則 m的取值范圍是 . 答案(3,+) 解析當(dāng) xm 時(shí),f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2. 其所在拋物線的頂點(diǎn)為 p(m,4m-m2). 函數(shù) y=f(x)的圖象與直線 x=m的交點(diǎn)為 q(m,m). (分類討論 ) (1)點(diǎn) p 在點(diǎn) q 的上方或與 q點(diǎn)重合時(shí),即 4m-m2m,也就是 m(m-3)0時(shí),解得 0m3,又因?yàn)?m0,所以 0m3. 8 / 16 此時(shí)函數(shù)的圖象如圖所示(實(shí)線部分),顯然此時(shí)直線 y=b 與函數(shù)圖象最多只有兩個(gè)交點(diǎn),不合題意; (2)點(diǎn) p 在點(diǎn) q 的下方時(shí),即 4m-m20 時(shí)

14、,解得 m3,又因?yàn)?m0,所以m3. 此時(shí)函數(shù)的圖象如圖所示(實(shí)線部分),顯然此時(shí)直線 y=b 與函數(shù)圖象最多可有三個(gè)交點(diǎn),符合題意. 所以 m3. 16.(2016 山東,文 16)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為 x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下: 若 xy3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè); 若 xy8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè); 其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng). 9 / 16 (1)求小亮獲得玩具的概率; (2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率

15、的大小,并說(shuō)明理由. 解用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間與點(diǎn)集 s=(x,y)|xn,yn,1x4,1y4一一對(duì)應(yīng). 因?yàn)?s 中元素的個(gè)數(shù)是 44=16, 所以基本事件總數(shù) n=16. (1)記“xy3”為事件 a,則事件 a 包含的基本事件數(shù)共 5 個(gè),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1). 所以 p(a)=516,即小亮獲得玩具的概率為516. (2)記“xy8”為事件 b,“3xy516, 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 17.(2016 山東,文 17)設(shè) f(x)=23sin(-x)sin x-(sin x-cos x

16、)2. (1)求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)把 y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移3個(gè)單位,得到函數(shù) y=g(x)的圖象,求 g(6)的值. 10 / 16 解(1)由 f(x)=23sin(-x)sin x-(sin x-cos x)2 =23sin2x-(1-2sin xcos x) =3(1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x-3cos 2x+3-1 =2sin(2-3) + 3-1, 由 2k-22x-32k+2(kz), 得 k-12xk+512(kz), 所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-12, +512(

17、kz)(或(-12, +512)(z). (2)由(1)知 f(x)=2sin(2-3) + 3-1, 把 y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2倍(縱坐標(biāo)不變) ,得到 y=2sin(-3) + 3-1的圖象,再把得到的圖象向左平移 3個(gè)單位,得到 y=2sin x+3-1 的圖象,即 g(x)=2sin x+3-1. 所以 g(6)=2sin6+ 3-1=3. 18. (2016 山東,文 18)在如圖所示的幾何體中,d是 ac的中點(diǎn),efdb. (1)已知 ab=bc,ae=ec.求證:acfb; (2)已知 g,h分別是 ec和 fb 的中點(diǎn).求證:gh平面 abc. 11

18、 / 16 證明 (1)因?yàn)?efdb, 所以 ef 與 db確定平面 bdef. 連接 de. 因?yàn)?ae=ec,d為 ac 的中點(diǎn), 所以 deac. 同理可得 bdac. 又 bdde=d ,所以 ac平面 bdef.因?yàn)?fb平面 bdef, 所以 acfb. (2)設(shè) fc的中點(diǎn)為 i,連接 gi,hi. 在cef 中,因?yàn)?g是 ce的中點(diǎn),所以 gief. 又 efdb,所以 gidb. 在cfb 中,因?yàn)?h是 fb的中點(diǎn),所以 hibc. 又 higi=i ,所以平面 ghi平面 abc. 因?yàn)?gh平面 ghi ,所以 gh平面 abc. 12 / 16 19.(2016

19、山東,文 19)已知數(shù)列an的前 n項(xiàng)和 sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列,且 an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式; (2)令 cn=(+1)+1(+2),求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 tn. 解(1)由題意知當(dāng) n2時(shí),an=sn-sn-1 =6n+5, 當(dāng) n=1 時(shí),a1=s1=11,符合上式. 所以 an=6n+5. 設(shè)數(shù)列bn的公差為 d. 由1= 1+ 2,2= 2+ 3,即11 = 21+ ,17 = 21+ 3, 可解得 b1=4,d=3,所以 bn=3n+1. (2)由(1)知 cn=(6+6)+1(3+3)=3(n+1) 2n+1. 又 tn=c1+c2+cn

20、, 得 tn=3222+323+(n+1)2n+1, 2tn=3223+324+(n+1)2n+2, 兩式作差,得 -tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=34 +4(1-2)1-2-( + 1) 2+2=-3n 2n+2, 所以 tn=3n 2n+2. 20.(2016 山東,文 20)設(shè) f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,ar. (1)令 g(x)=f(x),求 g(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)已知 f(x)在 x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 解(1)由 f(x) =ln x-2ax+2a, 可得 g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+).

21、13 / 16 則 g(x)=1-2a=1-2, 當(dāng) a0時(shí),x(0,+)時(shí),g(x)0,函數(shù) g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng) a0 時(shí),x(0,12)時(shí),g(x)0,函數(shù) g(x)單調(diào)遞增,x(12, + )時(shí),函數(shù) g(x)單調(diào)遞減. 所以當(dāng) a0時(shí) ,g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+); 當(dāng) a0 時(shí) ,g(x)單調(diào)增區(qū)間為(0,12),單調(diào)減區(qū)間為(12, + ). (2)由(1)知,f(1)=0. 當(dāng) a0 時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng) x(0,1)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增. 所以 f(x)在 x=1處取得極小值,不合題意. 當(dāng) 0a1,由(1)知 f(x)在(0,12)內(nèi)單調(diào)遞增,

22、可得當(dāng) x(0,1)時(shí),f(x)0. 所以 f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,12)內(nèi)單調(diào)遞增,所以 f(x)在 x=1 處取得極小值,不合題意. 當(dāng) a=12時(shí),12=1,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減, 所以當(dāng) x(0,+)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意. 當(dāng) a12時(shí),0120,f(x)單調(diào)遞增, 當(dāng) x(1,+)時(shí),f(x)12. 14 / 16 21.(2016 山東,文 21)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4,焦距為 22. (1)求橢圓 c 的方程; (2)過(guò)動(dòng)點(diǎn) m(0,m)(m0)的直線交 x軸于點(diǎn) n,交 c于點(diǎn) a,p(p 在第一象限),且 m 是線段 pn 的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn) p