2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(江蘇卷)

1、1 / 18 2017 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江江蘇卷蘇卷) 1.(2017 江蘇,1)已知集合 a=1,2,b=a,a2+3.若 ab=1,則實數(shù) a 的值為 . 解析由已知得 1b,2b,顯然 a2+33,所以 a=1,此時 a2+3=4,滿足題意,故答案為 1. 答案 1 2.(2017 江蘇,2)已知復數(shù) z=(1+i)(1+2i),其中 i是虛數(shù)單位,則 z的模是 . 解析由已知得 z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=(-1)2+ 32= 10,答案為10. 答案10 3.(2017 江蘇,3)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號

2、的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為 200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取 60 件進行檢驗,則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 件. 解析抽取比例為601 000=350,故應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 300350=18(件),答案為 18. 答案 18 4.(2017 江蘇,4)下圖是一個算法流程圖.若輸入 x 的值為116,則輸出 y 的值是 . 解析由題意得 y=2+log2116=2-4=-2,答案為-2. 答案-2 2 / 18 5.(2017 江蘇,5)若 tan(-4) =16,則 tan = . 解析方法一:tan =tan(-4) +4 =tan

3、(-4)+tan41-tan(-4)tan4=16+11-161=75. 方法二:因為 tan(-4) =tan-tan41+tantan4=tan-11+tan=16,所以 tan =75,答案為75. 答案75 6.(2017 江蘇,6) 如圖,在圓柱 o1o2內(nèi)有一個球 o,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱 o1o2的體積為 v1,球 o 的體積為 v2,則12的值是 . 解析設球 o的半徑為 r,則圓柱 o1o2的高為 2r,故12=22433=32,答案為32. 答案32 7.(2017 江蘇,7)記函數(shù) f(x)=6 + -2的定義域為 d.在區(qū)間-4,5上隨機取一個數(shù)

4、x,則 xd的概率是 . 解析由 6+x-x20,即 x2-x-60得-2x3,所以 d=-2,3-4,5,由幾何概型的概率公式得 xd 的概率 p=3-(-2)5-(-4)=59,答案為59. 答案59 3 / 18 8.(2017 江蘇,8)在平面直角坐標系 xoy中,雙曲線23-y2=1 的右準線與它的兩條漸近線分別交于點 p,q,其焦點是 f1,f2,則四邊形 f1pf2q 的面積是 . 解析該雙曲線的右準線方程為 x=310=31010,兩條漸近線方程為 y=33x,得 p(31010,3010),q(31010,-3010),又 c=10,所以 f1(-10,0),f2(10,0)

5、,四邊形 f1pf2q 的面積 s=210 3010=23. 答案 23 9.(2017 江蘇,9)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù),其前 n項和為 sn.已知 s3=74,s6=634,則 a8= . 解析設該等比數(shù)列的公比為 q,則 s6-s3=63474=14,即 a4+a5+a6=14. s3=74,a1+a2+a3=74. 由得(a1+a2+a3)q3=14,q3=1474=8,即 q=2. a1+2a1+4a1=74,a1=14, a8=a1 q7=1427=32. 答案 32 10.(2017 江蘇,10)某公司一年購買某種貨物 600 噸,每次購買 x噸,運費為 6萬元/次,一年的總

6、存儲費用為 4x 萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則 x 的值是 . 解析一年的總運費與總存儲費用之和為 4x+6006=4( +900) 4 2900=240,當且僅當 x=900,即x=30時等號成立. 答案 30 11.(2017 江蘇,11)已知函數(shù) f(x)=x3-2x+ex-1e,其中 e是自然對數(shù)的底數(shù).若 f(a-1)+f(2a2)0,則實數(shù) a 的取值范圍是 . 4 / 18 解析因為 f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-1e-=-f(x),所以 f(x)為奇函數(shù).因為 f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+2ee-0(當且僅當 x=0時等號成立)

7、,所以 f(x)在 r 上單調(diào)遞增,因為 f(a-1)+f(2a2)0可化為f(2a2)-f(a-1),即 f(2a2)f(1-a),所以 2a21-a,2a2+a-10,解得-1a12,故實數(shù) a的取值范圍是-1,12. 答案-1,12 12.(2017 江蘇,12) 如圖,在同一個平面內(nèi),向量 , , 的模分別為 1,1,2, 與 的夾角為 ,且 tan =7, 與 的夾角為 45.若 =m +n (m,nr),則 m+n= . 解析| |=| |=1,| |=2,由 tan =7,0,得 00,cos 0,tan =sincos,sin =7cos ,又sin2+cos2=1,得 sin

8、 =7210,cos =210, =15, =1, =cos( +4)=-35,得方程組-35 =15,-35 + = 1,解得 =54, =74,所以 m+n=3. 答案 3 13.(2017 江蘇,13)在平面直角坐標系 xoy 中,a(-12,0),b(0,6),點 p在圓 o:x2+y2=50上.若 20,則點 p的橫坐標的取值范圍是 . 解析設 p(x,y),由 20,易得 x2+y2+12x-6y20. 把 x2+y2=50代入 x2+y2+12x-6y20 得 2x-y+50. 5 / 18 由2- + 5 = 0,2+ 2= 50,可得 = -5, = -5或 = 1, = 7

9、.由 2x-y+50 表示的平面區(qū)域及 p點在圓上,可得點 p在圓弧 epf 上,所以點 p 橫坐標的取值范圍為-52,1. 答案-52,1 14.(2017 江蘇,14)設 f(x)是定義在 r 上且周期為 1的函數(shù),在區(qū)間0,1)上,f(x)=2,其中集合d=| =-1,n*,則方程 f(x)-lg x=0 的解的個數(shù)是 . 答案 8 15.(2017 江蘇,15) 如圖,在三棱錐 a-bcd中,abad,bcbd,平面 abd平面 bcd,點 e,f(e與 a,d 不重合)分別在棱ad,bd上,且 efad. 求證:(1)ef平面 abc; (2)adac. 證明(1)在平面 abd 內(nèi)

10、,因為 abad,efad, 所以 efab. 又因為 ef平面 abc,ab平面 abc, 所以 ef平面 abc. 6 / 18 (2)因為平面 abd平面 bcd, 平面 abd平面 bcd=bd,bc平面 bcd,bcbd, 所以 bc平面 abd. 因為 ad平面 abd,所以 bcad. 又 abad,bcab=b,ab平面 abc,bc平面 abc, 所以 ad平面 abc. 又因為 ac平面 abc,所以 adac. 16.(2017 江蘇,16)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,. (1)若 ab,求 x 的值; (2)記 f(x)=a b,求

11、 f(x)的最大值和最小值以及對應的 x 的值. 解(1)因為 a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab, 所以-3cos x=3sin x. 若 cos x=0,則 sin x=0,與 sin2x+cos2x=1 矛盾, 故 cos x0. 于是 tan x=-33. 又 x0,所以 x=56. (2)f(x)=a b=(cos x,sin x) (3,-3) =3cos x-3sin x=23cos( +6). 因為 x0,所以 x+6 6,76, 從而-1cos( +6) 32. 7 / 18 于是,當 x+6=6,即 x=0時,f(x)取到最大值 3; 當 x+6=,即

12、x=56時,f(x)取到最小值-23. 17.(2017 江蘇,17) 如圖,在平面直角坐標系 xoy 中,橢圓 e:22+22=1(ab0)的左、右焦點分別為 f1,f2,離心率為12,兩準線之間的距離為 8.點 p 在橢圓 e上,且位于第一象限,過點 f1作直線 pf1的垂線 l1,過點 f2作直線pf2的垂線 l2. (1)求橢圓 e 的標準方程; (2)若直線 l1,l2的交點 q 在橢圓 e上,求點 p 的坐標. 解(1)設橢圓的半焦距為 c. 因為橢圓 e的離心率為12,兩準線之間的距離為 8, 所以=12,22=8,解得 a=2,c=1,于是 b=2-2= 3,因此橢圓 e 的標

13、準方程是24+23=1. (2)由(1)知,f1(-1,0),f2(1,0). 設 p(x0,y0),因為 p為第一象限的點,故 x00,y00. 當 x0=1時,l2與 l1相交于 f1,與題設不符. 當 x01時,直線 pf1的斜率為00+1,直線 pf2的斜率為00-1. 因為 l1pf1,l2pf2,所以直線 l1的斜率為-0+10,直線 l2的斜率為-0-10, 8 / 18 從而直線 l1的方程:y=-0+10(x+1), 直線 l2的方程:y=-0-10(x-1). 由,解得 x=-x0,y=02-10, 所以 q(-0,02-10). 因為點 q 在橢圓上,由對稱性,得02-1

14、0=y0,即02 02=1 或02+ 02=1. 又 p 在橢圓 e上,故024+023=1. 由02-02= 1,024+023= 1,解得 x0=477,y0=377;02+ 02= 1,024+023= 1,無解. 因此點 p 的坐標為(477,377). 18.(2017 江蘇,18)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為 32 cm,容器的底面對角線 ac的長為 107 cm,容器的兩底面對角線 eg,e1g1的長分別為 14 cm和 62 cm.分別在容器和容器中注入水,水深均為 12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒 l,其長度為 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均

15、忽略不計) (1)將 l放在容器中,l的一端置于點 a處,另一端置于側(cè)棱 cc1上,求 l沒入水中部分的長度; (2)將 l放在容器中,l的一端置于點 e處,另一端置于側(cè)棱 gg1上,求 l沒入水中部分的長度. 容器 9 / 18 容器 解(1) 由正棱柱的定義,cc1平面 abcd,所以平面 a1acc1平面 abcd,cc1ac. 記玻璃棒的另一端落在 cc1上點 m 處. 因為 ac=107,am=40, 所以 mc=402-(107)2=30, 從而 sinmac=34. 記 am 與水面的交點為 p1,過 p1作 p1q1ac,q1為垂足, 則 p1q1平面 abcd,故 p1q1=

16、12, 從而 ap1=11sin=16. 答:玻璃棒 l沒入水中部分的長度為 16 cm. (如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為 24 cm) (2)如圖,o,o1是正棱臺的兩底面中心. 10 / 18 由正棱臺的定義,oo1平面 efgh,所以平面 e1egg1平面 efgh,o1oeg. 同理,平面 e1egg1平面 e1f1g1h1,o1oe1g1. 記玻璃棒的另一端落在 gg1上點 n處. 過 g 作 gke1g1,k 為垂足, 則 gk=oo1=32. 因為 eg=14,e1g1=62, 所以 kg1=62-142=24,從而 gg1=12+ 2= 242+ 32

17、2=40. 設egg1=,eng=, 則 sin =sin(2+ 1)=coskgg1=45. 因為2,所以 cos =-35. 在eng 中,由正弦定理可得40sin=14sin, 解得 sin =725. 因為 0k)總成立,則稱數(shù)列an是“p(k)數(shù)列”. (1)證明:等差數(shù)列an是“p(3)數(shù)列”; (2)若數(shù)列an既是“p(2)數(shù)列”,又是“p(3)數(shù)列”,證明:an是等差數(shù)列. 證明(1)因為an是等差數(shù)列,設其公差為 d,則 an=a1+(n-1)d, 從而,當 n4時,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2

18、,3, 所以 an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差數(shù)列an是“p(3)數(shù)列”. (2)數(shù)列an既是“p(2)數(shù)列”,又是“p(3)數(shù)列”,因此, 當 n3時,an-2+an-1+an+1+an+2=4an, 當 n4時,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. 由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1), an+2+an+3=4an+1-(an-1+an). 將代入,得 an-1+an+1=2an,其中 n4, 所以 a3,a4,a5,是等差數(shù)列,設其公差為 d. 在中,取 n=4,則 a2+a3+a5+a6=

19、4a4,所以 a2=a3-d, 在中,取 n=3,則 a1+a2+a4+a5=4a3,所以 a1=a3-2d, 所以數(shù)列an是等差數(shù)列. 20.(2017 江蘇,20)已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,br)有極值,且導函數(shù) f(x)的極值點是 f(x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值) (1)求 b關于 a的函數(shù)關系式,并寫出定義域; 12 / 18 (2)證明:b23a; (3)若 f(x),f(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于-72,求 a的取值范圍. 解(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+1,得 f(x)=3x2+2ax+b=3( +3)2+b-2

20、3. 當 x=-3時,f(x)有極小值 b-23. 因為 f(x)的極值點是 f(x)的零點, 所以 f(-3)=-327+393+1=0,又 a0,故 b=229+3. 因為 f(x)有極值,故 f(x)=0有實根, 從而 b-23=19(27-a3)0,即 a3. 當 a=3 時,f(x)0(x-1),故 f(x)在 r 上是增函數(shù),f(x)沒有極值; 當 a3 時,f(x)=0 有兩個相異的實根 x1=-2-33,x2=-+2-33. 列表如下: x (-,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 極大值 極小值 故 f(x)的極值點是 x

21、1,x2. 從而 a3. 因此 b=229+3,定義域為(3,+). (2)由(1)知,=29+3. 13 / 18 設 g(t)=29+3,則 g(t)=2932=22-2792. 當 t (362, + )時,g(t)0,從而 g(t)在(362, + )上單調(diào)遞增. 因為 a3,所以 a33,故 g(a)g(33)=3,即 3. 因此 b23a. (3)由(1)知,f(x)的極值點是 x1,x2,且 x1+x2=-23a,12+ 22=42-69. 從而 f(x1)+f(x2)=13+a12+bx1+1+23+a22+bx2+1=13(312+2ax1+b)+23(322+2ax2+b)

22、+13a(12+22)+23b(x1+x2)+2=43-62749+2=0. 記 f(x),f(x)所有極值之和為 h(a), 因為 f(x)的極值為 b-23=-19a2+3, 所以 h(a)=-19a2+3,a3. 因為 h(a)=-29a-320,于是 h(a)在(3,+)上單調(diào)遞減. 因為 h(6)=-72,于是 h(a)h(6),故 a6. 因此 a 的取值范圍為(3,6. 21.(2017 江蘇,21)a.選修 41:幾何證明選講 如圖,ab 為半圓 o的直徑,直線 pc 切半圓 o于點 c,appc,p為垂足. 求證:(1)pac=cab; 14 / 18 (2)ac2=ap a

23、b. 證明(1)因為 pc 切半圓 o 于點 c, 所以pca=cba. 因為 ab 為半圓 o的直徑, 所以acb=90. 因為 appc,所以apc=90. 因此pac=cab. (2)由(1)知,apcacb,故=, 即 ac2=ap ab. b.選修 42:矩陣與變換 已知矩陣 a=0 11 0,b=1 00 2. (1)求 ab; (2)若曲線 c1:28+22=1 在矩陣 ab 對應的變換作用下得到另一曲線 c2,求 c2的方程. 解(1)因為 a=0 11 0,b=1 00 2, 所以 ab=0 11 01 00 2 = 0 21 0. (2)設 q(x0,y0)為曲線 c1上的

24、任意一點, 它在矩陣 ab 對應的變換作用下變?yōu)?p(x,y), 則0 21 000 = ,即20= ,0= ,所以0= ,0=2. 因為點 q(x0,y0)在曲線 c1上,則028+022=1, 15 / 18 從而28+28=1,即 x2+y2=8. 因此曲線 c1在矩陣 ab 對應的變換作用下得到曲線 c2:x2+y2=8. c.選修 44:坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系 xoy 中,已知直線 l的參數(shù)方程為 = -8 + , =2(t為參數(shù)),曲線 c 的參數(shù)方程為 = 22, = 22(s 為參數(shù)).設 p為曲線 c 上的動點,求點 p 到直線 l的距離的最小值. 解直線 l的普

25、通方程為 x-2y+8=0. 因為點 p 在曲線 c上,設 p(2s2,22s), 從而點 p 到直線 l的距離 d=|22-42+8|12+(-2)2=2(-2)2+45. 當 s=2時,dmin=455. 因此當點 p的坐標為(4,4)時,曲線 c 上點 p 到直線 l的距離取到最小值455. d.選修 45:不等式選講 已知 a,b,c,d 為實數(shù),且 a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd8. 證明由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2). 因為 a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)264, 因此 ac+bd8. 22.(2017 江蘇

26、,22) 如圖,在平行六面體 abcd-a1b1c1d1中,aa1平面 abcd,且 ab=ad=2,aa1=3,bad=120. 16 / 18 (1)求異面直線 a1b與 ac1所成角的余弦值; (2)求二面角 b -a1d -a 的正弦值. 解在平面 abcd內(nèi),過點 a作 aead,交 bc 于點 e. 因為 aa1平面 abcd, 所以 aa1ae,aa1ad. 如圖,以 , ,1 為正交基底, 建立空間直角坐標系 a-xyz. 因為 ab=ad=2,aa1=3,bad=120, 則 a(0,0,0),b(3,-1,0),d(0,2,0),e(3,0,0),a1(0,0,3),c1(3,1,3). (1)1 =(3,-1,-3),1 =(3,1,3), 則 cos=1 1 |1 |1 | =(3,-1,-3)(3,1,3)7=-17, 因此異面直線 a1b與 ac1所成角的余弦值為17. (2)平面 a1da的一個法向量為 =(3,0,0). 設 m=(x,y,z)為平面 b