2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學甲卷

1、1 / 16 絕密 啟用前 2016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共 24 題,共 150 分,共 4 頁?？荚嚱Y(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。 2.選擇題必須使用 2b鉛筆填涂;非選擇題必須使用 0.5 毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。 3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。 4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆

2、描黑。 5.保持卡面清潔,不要折疊、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。 第卷 一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 (1) 已知 z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù) m 的取值范圍是 (a)(-3,1) (b)(-1,3) (c)(1,+) (d)(-,-3) (2) 已知集合 a=1,2,3,b=x|(x+1)(x-2)0)的直線交 e于 a,m 兩點,點 n在 e 上,mana. ()當 t=4,|am|=|an|時,求amn 的面積; ()當 2|am|=|an|時,求 k的取值范

3、圍. (21)(本小題滿分 12 分) ()討論函數(shù) f(x)=-2+2ex的單調(diào)性,并證明當 x0時,(x-2)ex+x+20; ()證明:當 a0,1)時,函數(shù) g(x)=e-2(x0)有最小值.設(shè) g(x)的最小值為 h(a),求函數(shù) h(a)的值域. 請考生在第 2224題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。 (22) (本小題滿分 10 分)選修 41:幾何證明選講 如圖,在正方形 abcd中,e,g分別在邊 da,dc 上(不與端點重合),且 de=dg,過 d 點作 dfce,垂足為 f. 7 / 16 ()證明:b,c,g,f四點共圓; ()若 ab=1,e為 da

4、 的中點,求四邊形 bcgf 的面積. (23) (本小題滿分 10 分)選修 44:坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系 xoy 中,圓 c的方程為(x+6)2+y2=25. ()以坐標原點為極點,x 軸正半軸為極軸建立極坐標系,求 c的極坐標方程; ()直線 l的參數(shù)方程是 = cos, = sin,(t為參數(shù)),l與 c交于 a,b 兩點,|ab|=10,求 l的斜率. (24) (本小題滿分 10 分)選修 45:不等式選講 已知函數(shù) f(x)=|x-12|+|x+12|,m 為不等式 f(x)2的解集. ()求 m; ()證明:當 a,bm時,|a+b| 0,-1 0,解得-3m1,故選

5、a. (2)c 由題意可知,b=x|-1x2 ,退出循環(huán),輸出 17.故選 c. (9)d 方法一:cos2(4-)=2cos2(4-)-1=2(35)2-1=-725, 且 cos2(4-)=cos(2-2)=sin 2 ,故選 d. 方法二:由 cos(4-) =35,得22cos +22sin =35, 即22(cos +sin )=35,兩邊平方得12(cos2+sin2+2cos sin )=925, 整理得 2sin cos =-725,即 sin 2=-725,故選 d. (10)c 利用幾何概型 求解,由題意可知,14圓正方形=141212=,所以 =4. (11)a 因為 m

6、f1垂直于 x軸 ,所以|mf1|=2,|mf2|=2a+2.因為 sin mf2f1=13,所以|1|2|=22+2=13,化簡得 b=a,故雙曲線的離心率 e=1 +22= 2. (12)b 由 f(-x)=2-f(x),得 f(x)的圖像關(guān)于點(0,1)對稱 . 9 / 16 而 y=+1=1+1的圖像是由 y=1的圖像向上平移一個單位長度得到的, 故 y=+1的圖像關(guān)于點(0,1)對稱. 則函數(shù) y=+1與 y=f(x)圖像的交點也關(guān)于點(0,1)對稱,且每一組對稱點(xi,yi),(xi,yi)(i=1,2,m)滿足 xi+xi=0 ,yi+yi=2 , 所以 =1(xi+yi)=

7、i=1mxi+ i=1myi=20+22=m. (13)2113 因為 cos a=45,cos c=513,且 a,c為abc 的內(nèi)角,所以 sin a=35,sin c=1213,sin b=sin -(a+c)= sin (a+c)=sin acos c+cos asin c=6365 . 又因為sin=sin,所以 b=sinsin=2113. (14) 對于,若 mn,m,n,則 ,的位置關(guān)系無法確定,故錯誤;對于,因為 n,所以過直線 n作平面 與平面 相交于直線 c,則 nc.因為 m,所以 mc,所以 mn,故正確;對于,由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確;對于,由線面所成角的定義和

8、等角定理可知其正確,故正確 命題的編號有. (15)1和 3 由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和 2”或“1 和 3”.若丙的卡片上的數(shù)字是“1和 2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和 3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1 和 3”,此時與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1 和 3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2 和 3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1 和 2”,此時與甲說的話矛盾. 綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1 和 3”. (16)1-ln 2 對函數(shù) y=ln x+2 求導(dǎo),得 y=1,對函數(shù) y=ln(x+1)求導(dǎo),得 y=1+1.設(shè)直線 y=kx+b 與曲線

9、 y= ln x+2相切于點 p1(x1,y1),與曲線 y=ln(x+1)相切于點 p2(x2,y2) ,則 y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由點 p1(x1,y1)在切線上,得 y-(ln x1+2)=11(x-x1),由點 p2(x2,y2)在切線上,得 y-ln(x2+1)=12+1(x-x2).因為這10 / 16 兩條直線表示同一條直線,所以11=12+1,ln(2+ 1) = ln 1+22+1+ 1,解得 x1=12,所以 k=11=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2. (17)解 ()設(shè)an的公差為 d,據(jù)已知有 7+21d=28,解得 d=1. 所以an

10、的通項公式為 an=n . b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2. ()因為 bn=0,1 10,1,10 100,2,100 1 000,3, = 1 000, 所以數(shù)列bn的前 1 000 項和為 190+2900+31=1 893. (18)解 ()設(shè) a表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件 a發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于 1 , 故 p(a)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. ()設(shè) b 表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出 60%”,則事件 b發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于 3 , 故 p(b)=0.1+0.

11、05=0.15. 又 p(ab)=p(b) , 故 p(b|a)=()() =()()=0.150.55=311. 因此所求概率為311. ()記續(xù)保人本年度的保費為 x,則 x 的分布列為 x 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a p 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 ex=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 11 / 16 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為 1.23. (19)解 ()由已知得 acbd,ad=cd. 又由 ae=cf 得=, 故 ace

12、f. 因此 efhd,從而 efdh . 由 ab=5,ac=6 得 do=bo=2-2=4. 由 efac 得=14. 所以 oh=1,dh=dh=3. 于是 dh2+oh2=32+12=10=do2,故 dhoh. 又 dhef,而 ohef=h, 所以 dh平面 abcd. ()如圖,以 h為坐標原點, 的方向為 x 軸正方向 ,建立空間直角坐標系 h-xyz. 則 h(0,0,0),a(-3,-1,0),b(0,-5,0),c(3,-1,0),d(0,0,3), =(3,-4,0), =(6,0,0), =(3,1,3). 設(shè) m=(x1,y1,z1)是平面 abd的法向量 , 則 =

13、 0, = 0,即31-41= 0,31+ 1+ 31= 0, 所以可取 m=(4,3,-5). 12 / 16 設(shè) n=(x2,y2,z2)是平面 acd的法向量 , 則 = 0, = 0, 即62= 0,32+ 2+ 32= 0, 所以可取 n=(0,-3,1). 于是 cos=|=-145010=-7525. sin=29525. 因此二面角 b-da-c 的正弦值是29525. (20)解 ()設(shè) m(x1,y1),則由題意知 y10. 當 t=4 時,e 的方程為24+23=1,a(-2,0). 由已知及橢圓的對稱性 知,直線 am 的傾斜角為4. 因此直線 am的方程為 y=x+2

14、. 將 x=y-2代入24+23=1得 7y2-12y=0. 解得 y=0或 y=127,所以 y1=127. 因此amn 的面積 samn=212127127=14449. ()由題意 t3,k0,a(-,0). 將直線 am 的方程 y=k(x+)代入2+23=1 得(3+tk2)x2+2 tk2x+t2k2-3t=0. 由 x1 (-)=22-33+2得 x1=(3-2)3+2, 13 / 16 故|am|=|x1+|1 + 2 =6(1+2)3+2. 由題設(shè),直線 an的方程為 y=-1(x+), 故同理可得|an|=6(1+2)32+. 由 2|am|=|an| 得23+2=32+,

15、 即(k3-2)t=3k(2k-1). 當 k=23時上式不成立,因此 t=3k(2k-1)k3-2. t3 等價于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-20, 即k-2k3-2 0,k3-2 0或k-2 0,解得23kf(0)=-1. 所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20. ()g(x)=(-2)e+(+2)3=+23(f(x)+a). 由()知,f(x)+a 單調(diào)遞增 . 14 / 16 對任意 a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0. 因此,存在唯一 xa(0,2 , 使得 f(xa)+a=0,即 g(xa)=0. 當 0 xxa時

16、,f(x)+a0,g(x)xa時,f(x)+a0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增. 因此 g(x)在 x=xa處取得最小值 ,最小值為 g(xa)=e-(+1)2=e+()(+1)2=e+2. 于是 h(a)=e+2,由(e+2)=(+1)e(+2)20,e+2單調(diào)遞增. 所以,由 xa(0,2,得12=e00+2h(a)=e+2e22+2=e24. 因為e+2單調(diào)遞增,對任意 (12,e24,存在唯一的 xa(0,2,a=-f(xa)0,1), 使得 h(a)=. 所以 h(a)的值域是(12,e24. 綜上,當 a0,1)時,g(x)有最小值 h(a),h(a)的值域是(12,e24. (2

17、2)解 ()因為 dfec, 所以defcdf , 則有g(shù)df=def=fcb, =, 所以dgfcbf,由此可得dgf=cbf. 因此cgf+cbf=180 , 所以 b,c,g,f四點共圓. 15 / 16 ()由 b,c,g,f四點共圓,cgcb知 fgfb .連結(jié) gb. 由 g 為 rtdfc斜邊 cd的中點,知 gf=gc. 故 rtbcgrtbfg , 因此,四邊形 bcgf 的面積 s 是gcb面積 sgcb的 2倍,即 s=2sgcb=212121=12. (23)解 ()由 x=cos ,y=sin 可得圓 c的極坐標方程 2+12cos +11=0. ()在()中建立的極坐標系中,直線 l的極坐標方程為 =(r). 設(shè) a,b所對應(yīng)的極徑分別為 1,2,將 l的極坐標方程代入 c的極坐標方程得 2+12cos +11=0. 于是 1+2=-12cos ,12=11. |ab|=|1-2| =(1+ 2)2-412 =144cos2-