二次根式復習專題講義補課用

1、二次根式復習專題講義一、二次根式的概念：1.二次根式： 形如a（a0）的式子叫做二次根式, “稱為二次根號。式子中 ,被開方數(shù) (式)必須大于等于零。. a（a0）是一個非負數(shù)。. （a）2a（a0）;2a=a（a0)2. 二次根式的乘：。一般的，有abab （a0，b0）。 反過來，有abab( a 0 ，b 0 ）3。二次根式的除 :. 一般地，對二次根式的除法規(guī)定：ab=ab（a0,b0） ，。反過來，ab=ab（a0,b0） 4。 二次根式的加減法則：二次根式加減時， 可以先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。典型例題分析 : 例 1.下列式子，哪些是二次根

2、式，哪些不是二次根式:2、33、1x、x（x0） 、0、42、-2、1xy、xy(x0，y?0） 分析：二次根式應滿足兩個條件：第一 ,有二次根號“” ；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0。解： 二次根式有：2、x（x0） 、0、-2、xy（x0,y0） ；不是二次根式的有：33、1x、42、1xy。例 2。 當 x 是多少時 ,23x+11x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析： 要使23x+11x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足23x中的 0 和11x中的 x+10解:依題意，得23010 xx由得： x-32由得： x-1 當 x-32且 x-1 時，23x+11x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。變式題 1：當 x 是多

3、少時，31x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析 :由二次根式的定義可知， 被開方數(shù)一定要大于或等于 0，所以 3x-10,?31x才能有意義解： 由 3x-10，得： x13當 x13時，31x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義變式題 2：。當 x 是多少時，23xx+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？解： 依題意得 :2300 xx，320 xx當 x-32且 x0 時，23xxx2在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義. 。若3x+3x有意義，則2x=_。使式子2(5)x有意義的未知數(shù)x 有（)個。例 3。.已知 y=2x+2x+5，求xy的值 (答案：25）。若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值 （答案：2) 。已知1xy+3x

4、=0,求 xy的值 (答案： 81）例 4。 計算1 （32）22 （35)23 （56）24(72)2 分析： 我們可以直接利用（a）2=a(a0）的結論解題解:（32）2 =32，(35）2 =32 （5)2=325=45，（56）2=56，(72）2=22(7)724例 5。 計算1(1x）2（x0) 2 （2a）23 （221aa)24 （24129xx）2分析：（1）因為x0,所以x+10； （2）a20； （3）a2+2a+1=（a+1）20；(4)4x2-12x+9= （2x）2-22x3+32=(2x-3 ）20所以上面的4 題都可以運用（a）2=a（a0）的重要結論解題解:（

5、1）因為 x0，所以 x+10 （1x）2=x+1 （2） a20， (2a）2=a2 （3） a2+2a+1=(a+1)2 又 (a+1）20，a2+2a+10 ，221aa=a2+2a+1 （4） 4x212x+9= （2x)222x3+32=(2x 3）2 又（ 2x3）20 4x212x+90,(24129xx）2=4x2-12x+9 變式題： 計算1.（- 323）2 2。(2 33 2)(2 33 2)例 6。在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x23 （2）x4-4 （3) 2x23 例 7. 化簡（1)9（2）2( 4)（3)25（4)2( 3)分析： 因為（ 1）9=32， （

6、2） （-4）2=42,（3)25=52，（4）(3)2=32，所以都可運用2a=a（a0)?去化簡。解： （1）9=23=3 （2）2( 4)=24=4 （3)25=25=5 (4）2( 3)=23=3 例 8. 填空：當a0 時，2a=_；當a0 時，2a=_，?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題（1）若2a=a，則 a 可以是什么數(shù)？(2）若2a=-a ，則 a 可以是什么數(shù) ? （3）2aa，則 a 可以是什么數(shù)？分析： 2a=a（a0） ，要填第一個空格可以根據(jù)這個結論，第二空格就不行，應變形，使“（)2”中的數(shù)是正數(shù)，因為 ,當 a0 時，2a=2()a，那么 -a0（1）根據(jù)結論求條件；

7、 （2)根據(jù)第二個填空的分析,逆向思想；(3）根據(jù)（ 1） 、 （2)可知2a=a,而 a要大于 a，只有什么時候才能保證呢？aa, 即使 aa 所以 a不存在；當 aa， 即使 -aa,a0)便可直接得出答案解： (1）123=123=4=2 （2)3128=313834282=3=23（3)11416=111164164=4=2 （4）648=648=8=22例 15化簡：（1）364（2）22649ba(3）2964xy（4)25169xy分析 :直接利用ab=ab(a0，b0）就可以達到化簡之目的解： (1）364=33864(2）22649ba=2264839bbaa（3)2964x

8、y=293864xxyy(4）25169xy=25513169xxyy例 16 已知9966xxxx， 且 x 為偶數(shù)，求 （1+x）22541xxx的值分析： 式子ab=ab,只有 a0,b0 時才能成立因此得到 9-x 0 且 x60，即 6x9，又因為 x 為偶數(shù)，所以 x=8解： 由題意得9060 xx,即96xx6x9 x 為偶數(shù)x=8 原式 =(1+x）(4)(1)(1)(1)xxxx=（1+x）41xx=(1+x）4(1)xx=(1)(4)x x當 x=8 時，原式的值 =4 9=6變式題 1。計算112121335的結果是（） 變式題 2。閱讀下列運算過程: 1333333,2

9、2 52 55555數(shù)學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化” ,那么 ,化簡26的結果是（） 變式題 3.已知 x=3，y=4,z=5, 那么yzxy的最后結果是_變式題 4。有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為3:1， ?現(xiàn)用直徑為315cm 的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？解:設:矩形房梁的寬為x（cm)，則長為3xcm，依題意，得： (3x)2+x2=（315)2，4x2=915，x=3215（cm）, 3xx=3x2=13543(cm2） 變式題 5.計算（1）32nnmm( 331nmm）32nm（m 0,n 0）（2）-3

10、222332mna（232mna）2amn（a0）解:（1)原式 4252nnmm32nm=-432522nnmmmn=3222nnnnnmmmm=23nnm (2）原式 =-22223()()2mn mnaaamnmn=-2232a=6a 例 17。把它們化成最簡二次根式：（1)5312; (2) 2442x yx y; (3）238x y點評： 二次根式有如下兩個特點: 1被開方數(shù)不含分母； 2被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式例 18。如圖，在rtabc中， c=90,ac=2。5cm，bc=6cm ，求 ab的長bac解： 因為 ab

11、2=ac2+bc2 所以 ab=222.56=2516916913()362424=6。5（cm)因此 ab的長為 6.5cm例 19。觀察下列各式， 通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:121=1 (21)2121(21)( 21)=21,132=1(32)3232( 32)(32)=32，同理可得：143=4-3，從計算結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算 (121+132+143+120022001） (2002+1) 的值分析 : 由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的解: 原式 =（2-1+32+43+ +20022001

12、）(2002+1) =(20021） （2002+1） =2002-1=2001 練習：一、選擇題 1如果xy（y0）是二次根式 , 那么，化為最簡二次根式是 ( ） axy(y0 ） bxy(y0 ） cxyy(y0 ）d以上都不對 2 把 （a1）11a中根號外的 (a-1 ） 移入根號內(nèi)得 （） a1a b1a c-1a d-1a3在下列各式中，化簡正確的是（）a53=315b12=122c4a b=a2bd32xx=x1x4化簡3 227的結果是（）a23b-23c63d-2二、填空題 1化簡422xx y=_ （x0) 2a21aa化簡二次根式號后的結果是_三、綜合提高題 1已知 a

13、 為實數(shù) , 化簡：3a-a1a, 閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，?請寫出正確的解答過程：解：3a-a1a=aa-a 1aa=（a-1)a 2 若 x、 y 為實數(shù) , 且 y=224412xxx， 求xyxy的值答案：一、 1c 2 d 3.c 4.c二、 1x22xy 2 -1a三、 1不正確，正確解答：因為3010aa，所以 a0，原 式 2a aa 2aa=a2aa2aa=-aa+a=(1-a) a2224040 xxx4=0， x=2，但 x+20，x=2,yyxyxy。例 20. 計算（1)8+18（2）16x+64x分析： 第一步，將不是

14、最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并解： （1）8+18=22+32=（2+3)2=52（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x點評：二次根式加減時, 可以先將二次根式化成最簡二次根式， ?再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并例 21計算 (1）348-913+312（2)（48+20）+（12-5）解 : （ 1)348 913+312=123 33+63=（12-3+6)3=153 (2)（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5例 22已知 4x2+y2-4x 6y+10=0, 求(293xx+y23

15、xy）-(x21x-5xyx）的值分析： 本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（ 2x-1 ）2+（y-3 ）2=0，即 x=12,y=3 其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，?再合并同類二次根式, 最后代入求值解： 4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y26y+9=0 （ 2x1）2+（y-3 ）2=0 x=12，y=3 原式 =293xx+y23xyx21x+5xyx =2xx+xy-xx+5xy =xx+6xy當 x=12，y=3 時,原式 =1212+632=24+36練習：一、選擇題 1以下二次根式： 12；22；23；27中, 與

16、3是同類二次根式的是（） a和 b 和 c 和 d 和 2 下 列 各 式 ： 33+3=63； 177=1 ； 2+6=8=22；243=22，其中錯誤的有（） a3 個 b2 個 c1 個 d0 個二、填空題 1在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，與3a是同類二次根式的有_ 2計算二次根式5a-3b7a+9b的最后結果是_三、綜合提高題 1已知52。236，求（80415）- （135+4455）的值（結果精確到0.01) 2先化簡，再求值（6xyx+33xyy） (4xxy+36xy） ，其中 x=32，y=27答案：一、 1c 2 a 二、 11753

17、a323aa 26b-2a三、1原式 =45355-455-1255=155152.236 0.45 2原式 =6xy+3xy（4xy+6xy）= xy（3-4x/y）=12.52例 23如圖所示的rtabc中, b=90，點 p 從點 b開始沿 ba邊以 1 厘米 /? 秒的速度向點a移動；同時 , 點 q也從點 b 開始沿 bc邊以 2 厘米 / 秒的速度向點c移動問：幾秒后 pbq的面積為35 平方厘米 ?pq 的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）bacqp分析 : 設 x 秒后 pbq的面積為 35 平方厘米， 那么 pb=x，bq=2x ，?根據(jù)三角形面積公式就可以求出x 的

18、值解： 設 x 后 pbq的面積為 35 平方厘米則有 pb=x，bq=2x 依題意，得 :12x2x=35 x2=35 x=35所以35秒后 pbq的面積為 35 平方厘米 pq=2222245535pbbqxxx=57答：35秒后 pbq的面積為 35 平方厘米， pq的距離為57厘米例 23 要焊接如圖所示的鋼架， 大約需要多少米鋼材 （精確到 0.1m）?分析： 此框架是由ab 、bc 、bd 、ac 組成，所以要求鋼架的鋼材， ?只需知道這四段的長度bac2m1m4md解： 由勾股定理，得 ab=22224220adbd=25 bc=222221bdcd=5所需鋼材長度為 ab+bc

19、+ac+bd =25+5+5+2 =35+7 32.24+7 13。7(m）答: 要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m 的鋼材例 24若最簡根式343a bab與根式23226abbb是同類二次根式 , 求 a、b 的值 (? 同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）分析： 同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；?事實上，根式23226abbb不是最簡二次根式，因此把23226abbb化簡成 |b| 26ab，才由同類二次根式的定義得3a-?b=?2 ，2ab+6=4a+3b解： 首先把根式23226abbb化為最簡二次根式：23226abbb=2(216)

20、ba=|b 26ab由題意得432632ababab24632ababa=1,b=1 練習 : 一、選擇題 1已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5 和 5，那么斜邊的長應為（） （?結果用最簡二次根式) a52 b50 c25 d以上都不對 2小明想自己釘一個長與寬分別為30cm 和 20cm 的長方形的木框，?為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應為（）米 ( 結果同最簡二次根式表示） a 13100 b1300 c 1013 d 513二、填空題 1某地有一長方形魚塘, 已知魚塘的長是寬的2 倍，它的面積是 1600m2,? 魚塘的寬是 _m （結果用最簡二次根

21、式） 2已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為2，?那么這個等腰直角三角形的周長是_ （結果用最簡二次根式）三、綜合提高題 1若最簡二次根式22323m與212410nm是同類二次根式，求 m 、n 的值 2同學們， 我們以前學過完全平方公式a22ab+b2=（ab）2, 你一定熟練掌握了吧！現(xiàn)在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0) 都可以看作是一個數(shù)的平方，如3=（3）2,5=(5)2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察 :（2-1 ）2=（2）2212+12=222+1=3-22反之， 322=2-22+1=（2-1 ）2 322=(21）2 322=21 求:(1 ）32 2;

22、（2）42 3;（3）你會算412嗎？（3 1）（4）若2ab=mn，則 m 、n 與 a、b 的關系是什么?并說明理由答案 :一、 1a 2 c 二、 1202 2 2+22三、 1依題意，得2223241012mmn，2283mn，2 23mn所以223mn或2 23mn或2 23mn或2 23mn2(1 ）32 2=2( 21)=2+1 （2）42 3=2( 31)=3+1 （3）412=2423(31)=3-1 （4)mnamnb理由：兩邊平方得a2b=m+n 2mn所以amnbmn例 25計算 : (1） （6+8）3（2) （46-32) 22分析： 剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足

23、整式的運算規(guī)律， ?所以直接可用整式的運算規(guī)律解: （1）(6+8) 3=63+83 =18+24=32+26解： （4632) 22=4622-3222 =23-32例 26計算（1） （5+6） （35）（2)(10+7）(107）分析： 剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立解： （1) （5+6）(3 5） =35（5）2+18-65 =13-35（2） （10+7） （10-7）=（10）2- （7）2 =10-7=3 例 27已知xba=2-xab，其中 a、b 是實數(shù) , 且 a+b0，化簡11xxxx+11xxxx，并求值 .分析： 由于（1x+x

24、）(1xx）=1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x 的值，代入化簡得結果即可解： 原式 =2(1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx=2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx =（x+1）+x-2(1)x x+x+2(1)x x =4x+2 xba=2xabb（x-b ）=2ab-a （x-a ）bx-b2=2ab-ax+a2 （ a+b）x=a2+2ab+b2 （ a+b)x= （a+b）2 a+b0 x=a+b 原式 =4x+2=4(a+b ）+2 練習：一、選擇題 1 （24-315+2223）2的值是（ ) a

25、2033-330 b330-233 c230-233 d203330 2計算（x+1x)(x-1x）的值是 ( ） a2 b3 c4 d1二、填空題 1 (-12+32)2的 計 算 結 果 （ 用 最 簡 根 式 表 示 ） 是_2(1 23） （1+23）-（23-1 ）2的計算結果 ( 用最簡二次根式表示）是_ 3若 x=2-1 ，則 x2+2x+1=_ 4已知 a=3+22,b=3-22，則 a2bab2=_三、綜合提高題 1化簡5710141521 2當 x=121時, 求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值（結果用最簡二次根式表示）課外知識 1同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后,它們的被開方數(shù)相同，?這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式練習：下列各