2022版高考數(shù)學一輪總復習第8章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學案含解析（精編版）

1、1 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考試要求 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系. 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題. 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1 直線與圓的位置關(guān)系及常用的兩種判斷方法(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離(2)兩種判斷方法： 代數(shù)法 聯(lián)立方程得方程組消去x 或y得一元二次方程， b2 4ac 0? 相交 0? 相切 0? 相離 幾何法 圓心到直線的距離為d半徑為 rdr? 相交dr? 相切dr? 相離2 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 o1：(xa1)2(yb1)2 r21(r10)，圓 o2：(xa2)2(y

2、b2)2r22(r20)位置關(guān)系幾何法：圓心距d 與 r1，r2的關(guān)系代數(shù)法： 兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離dr1r2無解外切d r1r2一組實數(shù)解相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d |r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0 d|r1r2|(r1r2)無解常用結(jié)論 1 當兩圓相交 (切)時，兩圓方程(x2， y2項的系數(shù)相同 )相減便可得公共弦(公切線 )所在的直線方程2 2直線與圓相交時，弦心距 d，半徑 r，弦長的一半12l 滿足關(guān)系式3 圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓 x2y2r2上一點 p(x0，y0)的圓的切線方程為x0 xy0y r2. (2)過圓 (xa)2

3、(yb)2 r2上一點 p(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)過圓 x2y2r2外一點 m(x0， y0)作圓的兩條切線， 則兩切點所在直線方程為x0 xy0yr2. 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切() (2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，那么兩圓相交() (3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程 () (4)過圓 o：x2y2r2外一點 p(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為a，b，則 o，p，a，b 四點共圓且直線ab 的

4、方程是x0 x y0yr2.() 答案 (1)(2)(3)(4)二、教材習題衍生1若直線xy10 與圓 (x a)2y22 有公共點，則實數(shù)a 的取值范圍是() a3， 1b1,3c3,1d(， 31， ) c由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為2，|a01|12 122，即 |a 1|2，解得 3a1. 2圓 (x2)2y24 與圓 (x2)2(y1)2 9的位置關(guān)系為() a內(nèi)切b相交c外切d相離b兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2 和 3，圓心距d421217. 32d0，所以直線l 與圓相交4 法二： (幾何法 )圓心(0,1)到直線 l 的距離 d|m|m211r

5、 或 dr 建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等式求解；(2)圓上的點到直線距離為定值的動點個數(shù)問題多借助圖形，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解如圖 ，若圓上恰有一點到直線的距離為t，則需滿足dr t. 如圖 ，若圓上恰有三點到直線的距離為t，則需滿足dr t. 由圖 可知，若圓上恰有兩個點到直線的距離為t，則需滿足rtd rt. 若圓上恰有四點到直線的距離為t，則需滿足drt. 跟進訓練 1已知點 m(a， b)在圓 o：x2y21 外，則直線 axby1 與圓 o 的位置關(guān)系是() a相切b相交c相離d不確定b因為 m(a，b)在圓 o：x2y21 外，所以a2b21，而圓心o 到直線 axby1的距離 d1

6、a2b21，所以直線與圓相交 2若直線 l：xym 與曲線 c：y1x2有且只有兩個公共點，則m 的取值范圍是_5 1，2)畫出圖象如圖，當直線l 經(jīng)過點 a，b 時， m1，此時直線 l 與曲線 y1x2有兩個公共點； 當直線 l 與曲線相切時， m2，因此當 1m52，則|4a 10|52? a 0 或 a 5(舍)所以圓 c：x2y24. (2)當直線 ab x 軸時， x 軸平分anb. 當直線 ab 的斜率存在時，設(shè)直線ab 的方程為y k(x1)，n(t,0)，a(x1，y1)， b(x2，y2)，由x2y24，yk x1 ，得(k21)x22k2xk240，所以 x1 x22k2

7、k2 1，x1x2k24k21. 若 x 軸平分anb，則 kan kbn?y1x1ty2x2t0?k x11x1tk x21x2t0? 2x1x2(t1)(x1x2)2t0?2 k24k212k2t1k21 2t 0? t4，所以當點 n 為(4,0)時，能使得 anm bnm 總成立點評： 本例是探索性問題，求解的關(guān)鍵是把幾何問題代數(shù)化，即先把條件“x 軸平分anb” 等價轉(zhuǎn)化為 “ 直線斜率的關(guān)系kan kbn”，然后借助方程思想求解1 1跟進訓練 1由直線yx1 上的動點 p 向圓 c：(x3)2y21 引切線，則切線長的最小值為() a1 b2 2 c7 d3 c如圖，切線長|pm|

8、pc|21，顯然當 |pc|為 c 到直線yx 1 的距離即31222時， |pm|最小為7，故選 c. 2 (2020 長春模擬 )已知在圓x2 y24x2y0 內(nèi)，過點e(1,0)的最長弦和最短弦分別是ac 和 bd，則四邊形abcd 的面積為 () a3 5 b6 5 c4 15 d2 15 d將圓的方程化為標準方程得(x2)2(y1)25，圓心坐標為 f(2，1)，半徑 r5，如圖，顯然過點e 的最長弦為過點e 的直徑，即 |ac|2 5，而過點e 的最短弦為垂直于ef 的弦，|ef|212 1022，|bd |2r2|ef|223， s四邊形 abcd12|ac|bd|2 15. 3

9、已知圓o：x2y22，直線 l：ykx2. (1)若直線 l 與圓 o 相切，求k 的值；(2)若直線 l 與圓 o 交于不同的兩點a，b，當 aob 為銳角時，求k 的取值范圍；(3)若 k12，p 是直線 l 上的動點，過p 作圓 o 的兩條切線pc，pd，切點為c，d，探究：直線cd 是否過定點解(1)圓o：x2y22，直線 l：ykx2，直線 l 與圓 o 相切，圓心o(0,0)到直線 l 的距離等于半徑r2，即 d|2|k212，解得 k 1. (2)設(shè) a， b 的坐標分別為 (x1，y1)，(x2，y2)，1 2將直線 l：ykx2 代入 x2y22，整理得 (1k2)x24kx20， x1x24k1k2，x1x221k2， (4k)28(1k2)0，即 k2 1，當 aob 為銳角時，oa ob x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 62k21 k20，解得 k2 3，又 k21， 3k 1 或 1k3. 故 k 的取值范圍為(3， 1) (1，3 )(3)由題意知o，p，c，d 四點共圓且