自動控制原理潘豐徐穎秦習(xí)題及詳細案答x

1、【教材習(xí)題及解答】4-1【答】所謂根軌跡，是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參量從零變化到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特 征方程式的根在s平面上變化而形成的軌跡。根軌跡反映了閉環(huán)系統(tǒng)特征根在 s平面上的位置以及變化情況， 所以應(yīng)用根軌跡可以直 觀地分析參數(shù)變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，以及要滿足系統(tǒng)動態(tài)要求，應(yīng)如何配置系統(tǒng)的開環(huán)零極點，獲得期望的根軌跡走向與分布。4-2【答】運用相角條件可以確定s平面上的點是否在根軌跡上；運用幅值條件可以確定根軌跡上的點所對應(yīng)的參數(shù)值。4-3【答】考察開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化時得到的閉環(huán)特征根移動軌跡稱為常規(guī)根軌 跡。除開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化之外的根軌跡稱為廣義根軌跡，如系

2、統(tǒng)的參數(shù)根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡和零度根軌跡等。繪制參數(shù)根軌跡須通過閉環(huán)特征方程式的等效變換，將要考察的參數(shù)變換到開環(huán)傳遞函數(shù)中開環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益的位置上，才可應(yīng)用根軌跡繪制規(guī)則繪制參數(shù)變化時的根軌跡圖。正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1 G(s)H(s)=O與負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0存在一個符號差別。因此，正反饋系統(tǒng)的幅值條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件一致，而正反饋系統(tǒng)的相角條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件反向。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件(二+23)是180°根軌跡，正反饋系統(tǒng)的相角條件 (0+2k二)是0°根軌跡。因此，繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡時， 凡是與相角有關(guān)的

3、繪制法則，如實軸上的根軌跡，根軌跡漸近線與實軸的夾角，根軌跡出射 角與入射角等，都要變 二+2k二角度為0+2k二。4-4【答】由于開環(huán)零極點的分布直接影響閉環(huán)根軌跡的形狀和走向，所以增加開環(huán)零極點 將使根軌跡的形狀和走向發(fā)生改變，從而使系統(tǒng)性能也隨之發(fā)生變化。一般來說，增加合適的開環(huán)零點，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向左變化的趨勢，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開環(huán)極點時，增加了根軌跡的條數(shù)，改變了根軌跡漸近線的 方向，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向右變化的趨勢，削弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開環(huán)零極點，都將改變根軌跡漸近線與實軸的交點與夾角，可能改變根軌跡在實軸上的分布。4-5【解】 將s=-

4、1 j 3代入系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有： G(s) H(s) - -180：，滿足根軌跡的相角條件，故-1 j .3是該根軌跡上的點。當(dāng)點s j 3在根軌跡上時，有 G(s) H=1。即卩K = s 1 s 2 s 4于是，可得K =12。 系統(tǒng)的特征方程為 D(s) =(s 1)(s 2)(s 4)= 0，由勞斯表3 s1142 s78 K1 s90 -K070 s8 K易得使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值的范圍為-8 < K* < 90。4-6【答案】(a)(b)h j 3j 3Ja(e)(g)(h)圖4-10開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡圖4-7【解】G(s)H(s)(s 0.2)(s 0.5)(s

5、1)繪制步驟如下:1) 該系統(tǒng)有3個開環(huán)極點，無開環(huán)零點，分別為pi= -0.2, P2= -0.5, P3= -1。2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，均趨向于無窮遠處。3) 實軸上(-円-1和卜0.5,-0.2區(qū)域為根軌跡。4) 由于n-m= 3,故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其傾角和起點坐標(biāo)分別為：a 二(2k°_ 60,180( k =0,1 )3nm、PjZjyA-。系統(tǒng)有2條根軌跡分支，一條終止于有限開環(huán)零點Z1 = -2,另一條趨向于無窮遠處。) (-0.5) (-1),.。n m35) 確定根軌跡的分離點。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，有A(s) =(s 0.2)(s 0.5)(s 1

6、), B(s) =1，代入方程A(s)B'(s) -A'(s)B(s) =0，整理得到3s2 3.4s 0.8 =0求解上述方程，得到S- -0.8 , S2 - -0.33由于s在根軌跡-0.5, - 0.2上，故取分離點坐標(biāo)為 d =0.33。6) 確定根軌跡與虛軸的交點。由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得對應(yīng)的閉環(huán)特征方程為s實軸上(-円-2區(qū)域為根軌跡。 由于n-m= 1,故系統(tǒng)只有1條根軌跡漸近線，其傾角和起點坐標(biāo)分別為：半a = ±(25)乂 =180( k=0 )1nmPi-V Zjj 去 (一1 3j) (13j)(2) 0a0n -m1 確定根軌跡的分離點或

7、會合點。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，有A(s) -s2 2s 10 , B(s) =s 2，代入方程A(s)B'(s) -A'(s)B(s) =0，整理得到2s 4s - 6 = 0求解上述方程，得到q =-5.1623 , s2 =1.1623由于&在根軌跡(-壬-2上，故取分離點坐標(biāo)為d二-5.1623。 確定根軌跡的出射角。由零、極點分布位置及出射角計算公式，得到點P1處的出射角為入=爐代;口 -入2乩=180 ； arctan 3-90、161.57 '根據(jù)對稱性，點P2處的出射角為-161.57°。 該系統(tǒng)有2個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點，分別為P1

8、,2= -1 ± j3, z1 = -2。 21.7s(s2 2s 10)0.8s 0.1 K： =0將S= j 3代入上式，整理得到-1.7 20.1 K j(_ .30.8 .)=0分別令上式中的實部和虛部為零，即_1.7 20.1 K =03- 0.8 -0解得 3=± 0.89, K = 1.26。系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-11所示。25圖4-11題4-7(1)系統(tǒng)的根軌跡圖 G(s)H(s) =繪制步驟如下:K (s 2)系統(tǒng)的完整根軌跡如圖 4-12所示。圖4-12題4-7(2)系統(tǒng)的根軌跡圖 G(s)H(s)二K (s 5)s(s 2)(s 3)繪制步驟如下:1

9、) 該系統(tǒng)有3個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點，分別為 pi = 0, P2= -2，P3 = -3, Zi= -5。2) 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，其中一條終止于有限開環(huán)零點Z1= -5處，另兩條則趨向于無窮遠處。3) 實軸上-5,- 3和卜2,0區(qū)域為根軌跡。4) 由于n- m= 2,故系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，其與實軸的交角和交點分別為:.：_-(2k -1)-：a =_90( k=0 )Pi 八 Zji 1 j 1(2)(-3)-(-5) 0n -m5)確定根軌跡的分離點。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，有A(s)二 s(s 2)(s 3), B(s) = s 5，代入方程A(s)B'(s) -A&

10、#39;(s)B(s) =0,整理得到2s320s250s 30 =0求解上述方程，得到&- -6.5171 , s2 - -2.5964, s _ -0.8865 由于s3在根軌跡-2,0上，故取分離點坐標(biāo)為 d =0.8865。系統(tǒng)的完整根軌跡如圖4-13所示。圖4-13題4-7(3)系統(tǒng)的根軌跡圖4-8【證】設(shè)s為系統(tǒng)根軌跡上的一點，則根據(jù)相角條件有(s 6) - s - (s 4) = (2k 1)二，k =0, 1, 2, III然后，將s=卄j 3代入上式，得到._(； 6 j J 二 j J ._(；二 4 j J - _(2k 1)二,k =0, 1,2, |COO(0

11、arcta narcta narcta n(2k 1)二，k=0, 1,2, Hi，亠6.4移項，得arctanarctan = (2k 1)愿：1 arctan , k =0, 1,2,川6.4對上式兩邊取正切，可得整理可得(二 6)22 =(2 3)2可見，這是一個以(-6,0)為圓心，以2.3為半徑的圓方程。即證明該系統(tǒng)的復(fù)數(shù)根軌跡部 分為一圓，其圓心坐標(biāo)為(-6,0),半徑為2事。4-9【解】K*= 1時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s+T1 G(s) H(s)0s (s+2)即s2(s 2) s T = 0則以T為參變量時的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為G (s)H (s)二s3 - 2s以下繪制以T為

12、參變量時的系統(tǒng)根軌跡:1) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有 3個開環(huán)極點，無開環(huán)零點，即P1= 0, P2,3 = -1。2) 新系統(tǒng)具有3條根軌跡，均終止于無窮遠處。3) 實軸上的(-円-1和-1,0均為根軌跡區(qū)域。4) 新系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，與實軸正方向的夾角分別為-60和180，交點為nmPiZjV j± j 0(-1)(-1)2u =a n-m335) 根軌跡的分離點根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，有A(s)二s3 2s2 s , B(s) =1，于是A(s)B'(s) -A'(s)B(s) =-3s2 -4s-1 =0解得3 = -1, S2= -1/3。顯然，分離點

13、坐標(biāo)為d= -1/3。6) 根軌跡與虛軸的交點以T為參變量時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3 2s2 s T = 0將s= j 3代入上式，并令實部和虛部分別為零，得到求解上述方程組，得到解為4-10T 2國2 =0< 2.(：.)=0 = 1, T = 24-14所示。圖4-15題4-10的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖【解】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)以上信息，繪制的根軌跡如圖G(s)H (s)s(s+2)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s2 2s 10.s 10 =0則以T為參變量時的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為KsG(s)H(s2s，(K=10)1)2)3)4)1個開環(huán)零點，即 P1,2= -1 ± j3, Z1= 0。

14、 Z1= 0，另一條終止于無窮遠處。以下繪制以T為參變量時的系統(tǒng)根軌跡： 等效開環(huán)傳遞函數(shù)有 2個開環(huán)極點和 新系統(tǒng)具有2條根軌跡，一條終止于 實軸上的(-8,0為根軌跡區(qū)域。新系統(tǒng)有2條根軌跡漸近線，與實軸正方向的夾角分別為0和180；，交點為nm7 Pj _7 Zj0 = an m5)根軌跡的匯合點根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，有A(ss2 2s 10 , B(s)二s，于2A(s)B'(s)-A'(s)B(s)二-s 10=0解得&,2吧±3.16。顯然，匯合點坐標(biāo)為d = -3.16。6)根軌跡的出射角卞-二.ZP _“2P =180； (180： -

15、arctan3)_90 =198.43 , 片 - -198.43：根據(jù)以上信息，繪制的參數(shù)根軌跡如圖4-16所示。圖4-16題4-10的系統(tǒng)根軌跡4-11【解】(1)確定滿足條件的極點容許區(qū)域。由題意；% < 5%，及關(guān)系式；=：eY Qr100%，可得 > 0.69。根據(jù)v - arcco，可 得阻尼角46.3。又由ts空8s，及ts =35 n =3.5二(-c為極點實部)，可知00.4375。因此，極點容許區(qū)域如圖4-17中的陰影區(qū)所示。圖4-17極點容許區(qū)域(2 )確定根軌跡與容許區(qū)域邊界交點處的K*值。用幅值條件不難確定實軸根軌跡與垂線s=- 0.4375交點處的K*值

16、為0.684;復(fù)平面上根軌跡與扇形區(qū)邊界交點-1 ± j1.046處的K值為2.094,故滿足條件的 K值范圍為0.684 < K* < 2.0944-12【解】(1)由于已知開環(huán)傳遞函數(shù)是由兩個有限極點和一個有限零點組成的，故該系 統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓，其中圓心在有限零點 Z1= -6處，半徑為有限零點到分離點(會合點)的距離。由開環(huán)傳遞函數(shù)知： A(ss2 3s , B(ss 6。代入方程 A(s)B'(s) - A'(s)B(s) =0 , 整理得到：s2 12s 10。解得S1 = -1.76, S2 = -10.24。由圖可知，&為分

17、離點坐標(biāo)， s 為會合點坐標(biāo)。系統(tǒng)的根軌跡如圖 4-18所示。Root Locus6圖4-18題4-12系統(tǒng)增加開環(huán)零點后的根軌跡圖(2) 根據(jù)幅值條件，可知：分離點S! = -1.76對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為_1.76 0| 11.76(-3)|K/=口1 =0.515-1.76-(6)會合點s>= -10.24對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為_10.240 110.24(Kj =L!：_1 =17.485-10.24 -(-6)|由根軌跡圖可知，當(dāng)0v K* V 0.515時，系統(tǒng)有兩個相異的負(fù)實根，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程；當(dāng)0.515V K* V 17.485時，系統(tǒng)

18、有一對負(fù)實部的共軛復(fù)根，此時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程；當(dāng)K* > 17.485時，系統(tǒng)又具有兩個相異的負(fù)實根，系統(tǒng)回到過阻尼狀態(tài)；當(dāng)K* = 0.515或17.485時，系統(tǒng)有兩個相等的負(fù)實根，此時系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程，響應(yīng)速度較過阻尼狀態(tài)快。(3) 過坐標(biāo)原點作根軌跡圓的切線，切點為A，如圖4-18所示。由關(guān)系式'二cos"：可知, 該切線與負(fù)實軸夾角的余弦就是所要求的系統(tǒng)最小阻尼比，此時二 cos - - cos45 二 0.707相應(yīng)的A點坐標(biāo)為-3+3j。根據(jù)對稱性，系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點為-3±

19、3j。由幅值條件易知，A點處的開環(huán)根軌跡增益為.I3+3j0|3+3j(3)|3(s 6)3(s 6)"s2 6s 18因此，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為仏卅)s(s 計 3(s + 6)單位階躍輸入時，有R(s)=1s，因此，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的拉氏變換為3(s 6)12s 6s 18 s1 s 3 2s s 6s 18對上式求拉氏反變換，得到c(t) =1(t) -e°tcos3t圖4-19為該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見，在系統(tǒng)最小阻尼比時，系統(tǒng)的單位階躍 響應(yīng)具有較好的平穩(wěn)性和快速性。Step Resp onseTime (sec)圖4-19題4-12系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖

20、4-20題4-13系統(tǒng)的根軌跡圖(2) 經(jīng)計算根軌跡在實軸上的分離點坐標(biāo)為d = -0.423，根軌跡與虛軸的交點為S,2 - _j& - _j1.414，對應(yīng)的臨界開環(huán)根軌跡增益為K* = 6。當(dāng)系統(tǒng)動態(tài)過程為衰減振蕩形式時，說明系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)，此時系統(tǒng)有一對負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)極點。從根軌跡圖4-20可以看出，當(dāng)閉環(huán)極點位于從分離點到虛軸交點之間的根軌跡時，系統(tǒng)處于欠阻尼工作狀態(tài)。因此，只要求出分離點及虛軸交點處對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益，就能得到滿足題意的K*值范圍。由幅值條件，可得分離點d處對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為K = d _0| |d 1 d 2 =0.385因此，當(dāng)0.385

21、< K*<6時，系統(tǒng)動態(tài)過程為衰減振蕩形式。(3) 顯然，當(dāng)K*= 6時，系統(tǒng)響應(yīng)呈等幅振蕩形式，對應(yīng)的振蕩頻率為門=匕込。(4) 由題意，=0.5時，阻尼角二arccos，=60：。過坐標(biāo)原點作兩條與負(fù)實軸成 60°的射線，與根軌跡交于 A、B兩點，這兩點即為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點。于是，A、B兩點的坐標(biāo)為 s2 =j。33由于系統(tǒng)的n m2因此閉環(huán)極點之和應(yīng)等于開環(huán)極點之和，即S1 S2 s3 = P1 P2 P3由此可得第三個閉環(huán)極點為s3 =0 +(1)+(2) (1 +當(dāng)j) (3 £j)二33333根據(jù)幅值條件，這三個閉環(huán)極點對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益為K_0

22、| ；S3 - 1 S3 2 =1.037由此可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)=7“L7丫 1屁 s + I s +jI 3八 331.037¥ 1心s+ +二 J由于S3離虛軸的距離是可將此時的三階系統(tǒng),環(huán)傳遞函數(shù)為人33丿3,2離虛軸距離的7倍多，所以3,2是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點。于是,0.445即K =1.037時的閉環(huán)系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)來處理。簡化后系統(tǒng)的閉由此可得 f =0.667 (s) s2 +0.667S +0.445'=0.5。單位階躍信號作用下的性能指標(biāo)為1-，100% =16.3%ts = 3.5； 'n =10.5 s由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為

23、I型系統(tǒng)，故其靜態(tài)速度誤差系數(shù)為K*氐=lim sG(s)H (s)= 2因此，系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為ess 二丄-=1.93Kv K4-14【解】(1)正反饋系統(tǒng)的根軌跡(此時應(yīng)按零度根軌跡規(guī)則繪制)1) 該系統(tǒng)有4個開環(huán)極點和1個開環(huán)零點，即P1,2= 0, P3= - 2和P4= -4 , z1= - 1。2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于Z1= -1,其余三條均趨向于無窮遠處。3) 實軸上-4,-2、-1,0和0,+叼為根軌跡區(qū)域。4) 由于n m= 3，故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實軸的交角和交點分別為：2k ：.a = 0 , +120, -120'3nm

24、、Pi 八 Zj-V0 (-2)(7)-(一1)5”-，an -m335) 根軌跡的分離點。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，可知A(s) =s2(s - 2)(s - 4) , B(s) =s 1。代入方程A(s)B'(s) -A'(s)B(s) =0，整理得到s(3s3 16s2 26s 16) =0求解上述方程，得到方程的根為S1= 0, S2= 3.0837, s3,4= 1.1248土j0.6814根據(jù)實軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點坐標(biāo)應(yīng)取d = -3.0837。正反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(a)所示。(2)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡(此時應(yīng)按常規(guī)根軌跡規(guī)則繪制)1) 該系

25、統(tǒng)有4個開環(huán)極點和1個開環(huán)零點，即P1,2= 0, P3 = - 2和P4= -4, Z1= -1。2) 該系統(tǒng)有4條根軌跡分支，一條趨向于zi= -1,其余二條均趨向于無窮遠處。3) 實軸上(-円-4和-2,-1為根軌跡區(qū)域。4) 由于n- m= 3,故系統(tǒng)有3條根軌跡漸近線，其與實軸的交角和交點分別為：-a(2k 1)二=_60, 180：j=10 (-2)3)-(-1)n -m5) 根軌跡的分離點。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式，可知A(s) =s2(s - 2)(s 4) , B(s) =s 1。代入方程A(s)B'(s) -A'(s)B(s) =0，整理得到s(3s3

26、16s2 26s 16) =0求解上述方程，得到方程的根為S1= 0, q= - 3.0837,豈,4= - 1.1248± j0.6814根據(jù)實軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，所以分離點坐標(biāo)應(yīng)取d = 0。6) 根軌跡與虛軸的交點 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s4 6s3 8s2 K s K = 0將s= j 3代入上式，并令實部和虛部分別為零，得到K"4 -8 2=0W乂2.,(K -6，2)=0求解上述方程組，得到解為'-二、2, K ' =12負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21(b)所示。(a)正反饋系統(tǒng)根軌跡(b)負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡圖4-21題4-14的系統(tǒng)根軌跡4-15

27、【解】(1)當(dāng)Gc(s)=KtS時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=s(s + 10 +10Kt)(s + 20)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 s3 30s2 200s 1000 10Kts(s 20 0于是，以Kt為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為10KtS(s 20)G (S) 32s3 + 30s2 + 200 s+1000繪制以Kt為參變量的根軌跡，如圖4-23所示。Root Locus-4-6Real Axis6 42 O2orxA wyanrsarn圖4-23當(dāng)Gc(s)二KtS時的參數(shù)根軌跡圖根據(jù)參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，可知A(ss3 30s2 200s 1000，B(s) =s220s

28、。代入方程 A(s)B'(s) - A'(s)B(s) =0，整理得到分離點方程如下:s4 - 40s3 400s2 2000s 20000 =0求解得到s, =6.8377, s；, =-6.2849, % =-20.2764 土 7.3661i根據(jù)實軸上系統(tǒng)根軌跡的分布，取分離點坐標(biāo)為d= -6.28。此時，對應(yīng)的根軌跡增益為Ktd3 +30d2 +200d +1000-10d(d+20):0.7886在這種情況下，可以在0< Kt <0.7886范圍內(nèi)，通過改變Kt的值使系統(tǒng)的主導(dǎo)極點具有=0.707的最佳阻尼比。2(2)當(dāng)Gc(s) =KaS時，系統(tǒng)的開環(huán)傳

29、遞函數(shù)為G(s)=1000s(s 10 10Kas)(s 20)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 s3 - 30s2 200s 1000 - 10Kas2(s - 20) =0于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為10Kas2(s 20)s3 - 30s2 200s 1000繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-24所示。Root Locus6 12 o-2-4 tpxA yanow EL-6 L-30-25-20-15-10-501000s(s230s 200 10Kas)Real Axis圖4-24當(dāng)Gc(s) =KaS2時的參數(shù)根軌跡圖這種情況下，由于 Ka的值越大，系統(tǒng)的閉環(huán)極點就越靠近虛軸，從而

30、使系統(tǒng)的穩(wěn)定性 越差，因此不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能達到最佳。2 當(dāng)Gc(s)=KaS /(s 20)時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 s3 30s2 200s 1000 10Kas2 0于是，以Ka為參變量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為G (s)10Kas2 2s 30s200s 1000繪制以Ka為參變量的根軌跡，如圖4-25所示。-6-30-25-20-15-10Real Axis-505Root Locus42 0-° orxAvranraa EL4圖4-25當(dāng)Gc(s) =KaS2 /(s - 20)時的參數(shù)根軌跡圖這種情況下，也不能通過改變Ka的值來使系統(tǒng)的性能

31、達到最佳。綜上所述，應(yīng)選取第一種傳遞函數(shù)，即Gc(s)二KtS。5-1解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，：r，：(s)9s 109則，閉環(huán)頻率特性為>(j )=9不，M ®)=,，()=_ arctan 10 102 2 10由線性系統(tǒng)頻率特性的特點和已知的輸入信號可得，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出分別為:(1)css = <9 sin(t 十30° -arctan?)、102 2 10:0.9si n(t+243);-m9t,o(2) css漢 2cos(2t - 45 - arctan ).10 2 101.8cos(2t -563); 根據(jù)線性系統(tǒng)疊加性有：Css = 0.9s

32、in(t 24.3) 1.8cos(2t-563)。5-2解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s) _ s22'nS對應(yīng)的幅頻和相頻特性表達式分別為：J(j )二心2®怦() _ -arctan22叫灼由題設(shè)條件知，1,匚：J(j12, (1-45。則:解之得：1H；?n = 1.244=0.22。&j)l=2 -'nJ(CO2 _時2)2 +4匚2時12時 2() = -arctan 22 n 2國n 國=2-45'5-3 解：(1)G(s), v =1,m =0,n =2s(Ts +1)奈氏曲線起點坐標(biāo)為(8,-90° ),終點坐標(biāo)為(0, -180

33、° ),可知圖形位于第川象限。如圖5-10(a)所示。11一由傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型I型系統(tǒng)，當(dāng)KV和K >時的對數(shù)幅頻特性曲線分別如TT圖5-10(b)中的和所示。(a)奈氏圖圖5-10題5-3 (1)解答圖 G(s)二K( s 1)2s (Ts 1)(-T), =2, m =1,n =3奈氏曲線起點坐標(biāo)為(8,-180° ),終點坐標(biāo)為(0, -180° )系統(tǒng)相位:()=-180° arctan . -arctan T可見，T> .時奈氏曲線位于第n象限， Tv .時時奈氏曲線位于第川象限。如圖5-11(a)(b)所示。由傳遞函數(shù)知該

34、系統(tǒng)為典型n型系統(tǒng)，兩種情況下的對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-11(c)(d)所示。a圖5-11題5-3 (2)解答圖G(s)二！=0,K=1,m=1,n=1。奈氏曲線起點為(1,0° )，終點為(,0° )Ts +1T系統(tǒng)相位為 ()=arctan：arctan .T可見，TV1時奈氏曲線位于第I象限，如圖5-12(a)中的所示；T>1時奈氏曲線位于第W象限，如圖5-12(a)中的所示。TV1時的對數(shù)幅頻特性曲線 如圖5-12 (b)中的所示；T>1時的對數(shù)幅頻特性曲線 女口圖 5-12 (b)中的所示。4L)/dBT< 1T> 1(b)對數(shù)幅頻特性圖圖

35、5-12題5-3 (3)解答圖G(s)二-s 1Ts 1G(j )如圖5-13(a) 所示。Bode圖與第(3)題相同。如圖5-13 (b)中的和所示。-1/Th Im1Re3(a)奈氏圖L©)/dBT < 11/T1/Tw/sT > 1A0(b)對數(shù)幅頻特性圖f 1 1 f則，G(j0) =1 0：G( j：)180，奈氏曲線起點坐標(biāo)為(1 , 0° )，終點坐標(biāo)為(1/T, -180° ) 系統(tǒng)相位為( J - -arctan -arctan .T 可見，奈氏曲線位于第W、川象限， 由傳遞函數(shù)知該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)， T<1和T>1時

36、的對數(shù)幅頻特性曲線分別圖5-13題5-3 (4)解答圖G(s)1,K =1,m =0, n =3s(s+1)(2s 十1)奈氏曲線起點坐標(biāo)為(8,-90 ° ),終點坐標(biāo)為(0, -270° )因此，奈氏曲線位于第川、n象限，與負(fù)實軸有交點。令：CO" -90°-arctan-arctan2=-180o,得 x=0.7s-1則，A(r)=1 _ 2x(1 r)(1 - 4 x2)3由此概略繪制奈氏圖如圖5-14(a)所示。G(S)=s(s 1)(2s 1)，=1，K =1, 對數(shù)幅頻特性圖 如圖5-14 (b)所示。1 220lg K=0dB,.1 =0

37、.5s_,2=1sL(£/dB-200.10.5 -40 1-60(b)對數(shù)幅頻特性圖圖5-14題5-3 (5)解答圖G(s)二一2， ： -2,m 二 1,n 二 4s (s+1)(2s+1)奈氏曲線起點坐標(biāo)為(8,-180° ),終點坐標(biāo)為(0, -360° ) 因此，奈氏曲線位于第川、n象限，與負(fù)實軸有交點。令(，)二 _180°-arctan-arctan2 心亠arctan4 =-180°,得，x=0.354s-1則，A(怙)=10.7誠Q(1十國：)(1十4用)由此概略繪制奈氏圖 如圖5-15(a)圖所示。4s +11-1-1G(s

38、) =2, K =1, 20|g K=°dB, ；.-：1 = 0.25s , ;.-2=°.5s .-.-3 =1ss (s+1)(2s+1)由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-15 (b)圖所示。iIm/-10.70 Re(a)奈氏圖和 L©)/dB(b)對數(shù)幅頻特性圖1030029圖5-15題5-3 (6)解答圖5-4 解：由(a)圖得，G(s)二U°(s)Ui(s)R1 R2Cs ' R2R1R2Cs R R2R2RCs 1R R2 RR C二R R2R R2 cR R2則，g(s) 3 邛(s 1 且kv 1 ,> TUi(s)Ts

39、+1由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(a)圖所示。由圖得，G=U>罟廠騎涪2 Cs令.=R,C, T =(R R2)C則，G(sHUo(s)=Tri,且T>,K"由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(b)圖所示。R2 Cs由(c)圖得，G(s)= 土®Ui(S)R 丄 +甘Cs Cs(RCiS IXR2C2S 1)9£ R1C1R2C2s2 (R1C1 R2C2 RC2)s 1令 T| = R1C1, T2 = R2C2, T3 = R1C2(TiS 1)(T2S 1)則，G(S)=Uf)T2S2 (T1 T2 T3)s 1令 TT2=TT2,

40、 T1 T2二T1 T2+T3則，網(wǎng)絡(luò)傳函可寫為 G(s)二仃卩1)(T2S D(殆+1)仃2$+1)再設(shè)卜旨，且T1> T2則有，G(s)=(T1S+1)<Tts+1)，且口t>t>t2>T2/a (仆 + 1)(%+1)a由此概略繪制對數(shù)幅頻特性圖如圖5-17(c)圖所示。圖5-17題5-4解答圖+ L(®/dB1gT111二T1T2T2(c)15-5 解：由(a)圖得，L(1)=20lg K =60dB, K =1000。且 丁 -0,T1 -1,T2,T31則，G(s)=1000 1(S 1)(討)(礦+1)由(b)圖得,、=1, K =100,

41、 T1 =1,T2,100則G(s)=1s(s 1)(s+1)由(c)圖得,丁 = Q, 1- =10, K =0.01。T = 尿且有兩個慣性環(huán)節(jié)100則，G(s)=0.01s2(丄 s+1)2100由(d)圖得,則，G(s)=丄 =2, T1 = ,= 且在，2處有兩個慣性環(huán)節(jié)0.5x22s(丄 s+1)(丄 s+1)2.j- 2- -1, K10010.1=10由(e)圖得，.二-1, L(0.01) =-10dB1 1則，L(1)=20lg K=20lg10 =30dB,得 K =32.6，且=100,T20.010.0132.6s則，G(s)=(100s+1)(10s+1)11由(f

42、)圖得，訂-0, L(1)=20lg K =20dB, K =10,且人=丄"2丄580在-1 =5s-1處為振蕩環(huán)節(jié)，=0.2 ;在-2=80s-1處為二階微分環(huán)節(jié)，=0.11 2 110(2S 2 0.1 s 1)則，G(s) 80801 2 1s 2 0.2 s 12551 210(2S_ 80 -1 2*2 4 s s 12525s 1)400由(g)圖得，' =1, K =100，在，r ："n=45.3s -1 處有一振蕩環(huán)節(jié)由-20lg 2.1 - 2 =4.85dB =則G(s)=100則，G(s)=1s( 2 s +s+1)'45.3245

43、.31由(h)圖得，；二-2,0.01,在H = 0.4s-1有兩個慣性環(huán)節(jié)，在2 = 2S 1處有一個慣性環(huán)節(jié)5-6 解：由 G(s)=p K (T3S 1) 可知，、.=2, m =1, n =4 s (TiS +1)(T2S +1)T3 - T| - T2奈氏曲線起點坐標(biāo)為(8,-180° ),終點坐標(biāo)為(0, -270° )T1T2T3令()-180° -arctan T -arctan T2 arctan 1= -180° ,得.x可知，在T3>t T2時，奈氏曲線與負(fù)實軸有交點，位于第n象限。且此時，可判斷A(r) v 1，奈氏圖如圖5

44、-19(a)所示，作增補線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。在T3WT T2時，奈氏圖與負(fù)實軸無交點，位于n象限，如圖5-19(b)所示，作增補線，由奈氏判據(jù)可知系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。31山 ImJi Im(a)T>T1 T2(RT3V T1 T2圖5-19習(xí)題5-6解答圖5-7解：奈氏判據(jù)的內(nèi)容是：如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有P個不穩(wěn)定的極點(即S右半平面的極點)，則當(dāng)g =0is變化時，開環(huán)奈氏曲線 逆時針方向包圍(-1, j0)點的圈數(shù)為N = P/2 (即Z = 0)時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。對于(a)圖，P =1, N =1/2 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對于(b)圖，P =1, N =

45、 -1/2豐P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對于(c)圖，P =1 , N = -1/2豐P/2,系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對于(d)圖，P =0,需做輔助線 如圖5-21 (d),則N = 0 = P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對于(e)圖，P =2,需做輔助線 如圖5-21 (e),貝U N =仁P/2,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對于(f)圖，P =0，需做輔助線 如圖5-21 (f ),則N = -1豐P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對于(g)圖，P =1,貝V N = 0.5 = P/2,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對于(h)圖，P =2,則N =仁P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；對于(i)圖，P =0,需做輔助線 如圖5-21 (i),則N + = N

46、-=1 , N = N+ =N- =0 = P/2,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn) 疋；對于(j)圖，P =1，需做輔助線 如圖5-21(j),則N = -1豐P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對于(k)圖，P =0,需做輔助線 如圖5-21(k),則N = -1豐P/2,系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；對于(I)圖，P =2,貝U N = 0工P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；Hm |；/|4m iHthV t)P-2圖5-21習(xí)題5-7解答圖5-8 解:G(s)二Ks(Ts 1)(s 1)=1, m = 0,n = 3x33奈氏曲線起點坐標(biāo)為(8,-90 ° ),終點坐標(biāo)為(0 , -270° )，曲線位于第川、n象限，與負(fù)

47、實軸有交點，如圖5-22所示。令(J = -90-arctanT ；： x - arcta n；：r x1"fK2 2 2""x)(V - xT )KT1+TK1 1T(1 T)(1 f)1kt2(1)T=2 時，:0.5 , AC x)KT1+T3根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1,j0)點，即有:2A(灼x) =一K<1 即 K<1.5310T(2) K=10 時，A( x)=竺1 +T根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1, j0)點，即有:A( x)二旦 <1, 即 卩 T < 11+T9(3)同(2)方

48、法可求出:ACx)KT1 T根據(jù)奈氏判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線應(yīng)不包圍(-1, j0)點，即有:八)=竺1,即T丄或者K 口1+TK -1T5-9解：由圖知，開環(huán)奈氏曲線與負(fù)實軸有三個交點，設(shè)從左到右交點處相位截止頻率頻率 分別為遼、* '3，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為由題設(shè)條件知：、=1,limG(s) =1和G(jG1(j ), i =1,2,3當(dāng)取 K =10時，G(j "=2, G(j 2)=-1.5, G(j 3)=-0.5若令G(j J -1，可得對應(yīng)的K值分別為-1G( j 1)-2/10二 5,K2-2041分別畫出0v K v K1, K1< K v K

49、2、K2v K v K3和K> K3時的奈氏圖，并作對應(yīng)的增補 輔助線，如圖5-24所示。由奈氏判據(jù)可判斷：0< K< Q和K2V K< K3時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K< K< K2和K> K3時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可得，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K的取值范圍是(0,5)和(卻,20)。3圖5-24習(xí)題5-9解答圖5-10 解：(1)對于(a)圖有，' =0, 20lg K =40dB, K =100,則 G(s)二10011(s 1)(s 1)-'1.，2對于(b)圖有，=2且低頻段延長線與軸的交點頻率為,K，則有L( -1 )= 40lgK = *

50、，2i 2( s 1) 則，G(s)S2 (丄S十1).'3對于(C)圖有,.-1且低頻段與軸的交點頻率為-=, K =則，G(s)=-r( S 1)(S - 1)-'2- '3(2)對于(a)圖，由對應(yīng)傳遞函數(shù)知，相頻特性為mco(0() - -arctan -arctan (v -2)叫co 2可見，.-Or-'時，：(J = 0 -180。由此可大致畫出相頻特性如圖5-26(a)所示。；-0,K -100,0,n =2得,再由由G(s)二1001得,(s+1)( S+1)-.，2奈氏曲線起點坐標(biāo)(100,0 °)，終點坐標(biāo)為(0,-180

51、76; )，由此可大致畫出系統(tǒng)奈氏圖如圖5-26(b)所示。(a)解答圖對于(b)圖，由對應(yīng)傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為典型n型系統(tǒng)，相頻特性為（ ）二-180 arctan -arctan （打< 3），且國13：=0“ ：時，：(，)=-180：-180'，由此可大致畫出其相頻特性如圖5-27(a)所示。；詁；亍2(S+ 1)再由G(s)=1知匸=2,m=1,n=3，奈氏曲線起點坐標(biāo)為 3,-180° ),終點s2(丄 s+1)-'3坐標(biāo)為(0,-180° )，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第川象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-27(b)所示。11L Im

52、A 0 Re(b)奈氏圖圖5-27習(xí)題5-10(b)解答圖對于(c)圖，有對應(yīng)傳遞函數(shù)知，相頻特性為( )=90 -arctanarctan一(，2< 3),= 0'時，：()=90'； 90;國23且(，)= o ，=：.卜2 '3 ,即(-)從，2和3的幾何中心穿過''軸。由此可大致畫出其相頻特性如圖5-28(a)所示。再由G(s)= 1J知 X (一 S+1)( S+1)2'3：=0"：時，G(j ) =0 > 0, (0=9 一90；奈氏曲線起點坐標(biāo)為(0,90°)，終點坐標(biāo)為(0,-90° )，且由相頻特性可知奈氏曲線位于第n、V象限。由此可大致畫出其奈氏圖如圖5-28(b)所示。圖5-28習(xí)題5-10（c）解答圖5-11解：（1）由相位裕量定義得1 = 180：'（ J =180：-90'2 arctan:七=45，飛二a:-0.84(2)由相位裕量定義得= 180 ( ° )二 1 '803 arctan Q. -T,5二 s丄 1 0 0由 A( c),1(0.01 c)23（；廠得，心8。（3）由叫100），KG(jr.(100-.2 r.)令(x)二-90： -arctan