北師大版高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)學(xué)必修第一冊：7.2.2《古典概型的應(yīng)用》學(xué)案

1、1 / 10 古典概型的應(yīng)用古典概型的應(yīng)用 【第一學(xué)時(shí)】【第一學(xué)時(shí)】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1理解從不同的角度考慮可以建立不同的概率模型 2能夠建立概率模型來解決簡單的實(shí)際問題 【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】 正確理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中計(jì)算比較復(fù)雜的背景問題 【學(xué)習(xí)過程】【學(xué)習(xí)過程】 一、基礎(chǔ)知識(shí) 梳理 建立不同的古典概型： 一般地，在解決實(shí)際問題中的古典概型時(shí)，對同一個(gè)古典概型，把什么看作一個(gè)_(即一次試驗(yàn)的結(jié)果)是人為規(guī)定的，也就是從不同的_去考慮，只要滿足以下兩點(diǎn)： 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有_個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果； 每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性_ 就可

2、以將問題轉(zhuǎn)化為不同的_來解決，所得可能結(jié)果越_，那么問題的解決就變得越_ 【做一做 1】從甲、乙、丙三名學(xué)生中選出兩名班委，其中甲被選中的概率為( ) a12 b13 c23 d1 【做一做 2】在兩個(gè)袋中，分別裝有寫著 0,1,2,3,4,5 六個(gè)數(shù)字的 6 張卡片，今從每個(gè)袋中各任取一張卡片，求兩數(shù)之和等于 7 的概率，對本題給出的以下兩種不同的解法，你認(rèn)為哪種解法正確？為什么？ 解法一：因兩數(shù)之和共有 0,1,2,3，9,10 十一種不同的結(jié)果，所以和為 7 的概率 p111. 解法二：因從每個(gè)袋中任取一張卡片，可組成 6 636(種)有序卡片對，其中和為 7 的卡片對為(2,5)，(3

3、,4)，(4,3)，(5,2)四種，所以 p43619. 2 / 10 二、合作探究 題型一：概率模型的構(gòu)建 【例題 1】任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的平方的末位數(shù)字是 1的概率 反思：同一個(gè)古典概型問題由于考慮的角度不同，其解法繁簡差別較大，因此，在選取樣本空間時(shí)，務(wù)必抓住欲求事件的本質(zhì)，而把其他無關(guān)的因素拋開，以簡化求解過程 題型二：構(gòu)建不同的概率模型解決問題 【例題 2】袋中裝有除顏色外其他均相同的 6 個(gè)球，其中 4 個(gè)白球、2 個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率： （1）a：取出的兩球都是白球； （2）b：取出的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球 分析：求出基本事件的總數(shù)，及 a，b包

4、含的基本事件的個(gè)數(shù)，然后套用公式 反思：用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列舉出來，然后求出其中的 m、n，再利用公式 p（a）mn求出事件 a 的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某種順序，以保證做到不重復(fù)、不遺漏 題型三：易錯(cuò)辨析 【例題 3】有 1 號(hào)、2 號(hào)、3 號(hào)三個(gè)信箱和 a，b，c，d 四封信，若 4 封信可以任意投入信箱，投完為止，其中 a 信恰好投入 1號(hào)或 2 號(hào)信箱的概率是多少？ 3 / 10 錯(cuò)解：每封信投入 1 號(hào)信箱的機(jī)會(huì)均等，而且所有結(jié)果數(shù)為 4，故 a 信投入 1 號(hào)或 2 號(hào)信箱的概率為141412. 錯(cuò)因分析：應(yīng)該考慮 a 信投入各個(gè)信箱的

5、概率，而錯(cuò)解考慮成了 4 封信投入某一信箱的概率 【精煉反饋】【精煉反饋】 1在分別寫有 1,2，9 的 9張卡片中任意抽取一張，則抽得卡片上的數(shù)字能被 3整除的概率是( ) a19 b16 c23 d13 2有紅心 1,2,3 和黑桃 4,5這 5 張撲克，將牌點(diǎn)向下置于桌上，現(xiàn)從中任意抽取一張，那么抽到的牌為紅心的概率為( ) a35 b25 c15 d45 3甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是( ) a12 b13 c14 d15 420 名高一學(xué)生，25 名高二學(xué)生和 30 名高三學(xué)生在一起座談，如果任意抽其中一名學(xué)生講話，抽到高一學(xué)

6、生的概率是_，抽到高二學(xué)生的概率是_，抽到高三學(xué)生的概率是_ 5100個(gè)人依次抓鬮，決定 1件獎(jiǎng)品的歸屬，求最后一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率 【答案答案】： 基礎(chǔ)知識(shí) 梳理 基本事件 角度 有限 相同 古典概型 少 簡單 【做一做 1】c 基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共 3 個(gè)，其中甲被選中的有(甲，乙)，(甲，丙)共 2個(gè)，p23. 【做一做 2】解解：解法一錯(cuò)誤，解法二正確，錯(cuò)誤的原因在于對試驗(yàn)結(jié)果中的基本事件4 / 10 認(rèn)識(shí)不清，本題的基本事件應(yīng)為由兩張卡片上的數(shù)字組成的有序數(shù)對，而不是所取兩張卡片上數(shù)字的和，概念的混淆導(dǎo)致了解答的錯(cuò)誤 典型例題 領(lǐng)悟 【例題 1】解解：因?yàn)檎?/p>

7、數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，故不屬于古典概型但是一個(gè)正整數(shù)的平方的末位數(shù)字只取決于該正整數(shù)的末位數(shù)字，正整數(shù)的末位數(shù)字是 0,1,2，9 中的任意一個(gè)數(shù)現(xiàn)任取一正整數(shù)，它的末位數(shù)字是這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)是等可能出現(xiàn)的因此所有的基本事件為：0,1,2，9，欲求的事件為 1,9，即所求概率 p21015. 【例題 2】解：解：設(shè) 4 個(gè)白球的編號(hào)為 1234,2 個(gè)紅球的編號(hào)為 56從袋中的 6 個(gè)球中任取兩球的取法有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15

8、種，且每種取法都是等可能發(fā)生的 （1）從袋中的 6 個(gè)球中任取兩球，所取的兩球全是白球的取法總數(shù)，即為從 4 個(gè)白球中任取兩球的方法總數(shù)，共有 6 種，即為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)所以 p（a）61525. （2）從袋中的 6 個(gè)球中任取兩球，其中一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共 8種 所以 p（b）815. 【例題 3】正解：正解：由于每封信可以任意投入信箱，對于 a 信，投入各個(gè)信箱的可能性是相等的，一共有 3 種不同的結(jié)果投入 1 號(hào)信箱或 2

9、號(hào)信箱有 2 種結(jié)果，故 a 信恰好投入 1號(hào)或 2 號(hào)信箱的概率為23. 【精煉反饋】【精煉反饋】 1d 2a 3a 該試驗(yàn)共 4個(gè)基本事件，所求事件包含 2個(gè)基本事件，其概率 p12. 4415 13 25 任意抽取一名學(xué)生是等可能事件，基本事件總數(shù)為 75，記事件 a，b，c 分別表示“抽到高一學(xué)生”、“抽到高二學(xué)生”和“抽到高三學(xué)生”，則它們包含的基本事件的個(gè)數(shù)分別為 20,25和 30. p（a）2075415，p（b）257513，p（c）307525. 5解：解：只考慮最后一個(gè)人抓鬮的情況，他可能抓到 100 個(gè)鬮中的任何一個(gè)，而他摸到有獎(jiǎng)的鬮的結(jié)果只有一種，最后一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率

10、為1100. 5 / 10 【第二學(xué)時(shí)】【第二學(xué)時(shí)】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1理解互斥事件和對立事件的定義，能根據(jù)定義辨別一些事件是否互斥，是否對立 2掌握兩個(gè)互斥事件的概率加法公式及對立事件的概率計(jì)算公式的應(yīng)用 【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】 互斥事件與對立事件。 【學(xué)習(xí)過程】【學(xué)習(xí)過程】 一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1互斥事件 （1）定義：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件a與b稱作互斥事件 （2）規(guī)定：事件ab發(fā)生是指事件a和b至少有一個(gè)發(fā)生 【歸納】【歸納】 a，b互斥是指事件a與事件b在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生 如果事件a與b是互斥事件，那么a與b兩事件同時(shí)發(fā)生的概率為

11、0. 與集合類比，可用圖表示，如圖所示 （3）公式：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件a和b是互斥事件，那么有p(ab)_. 【歸納】【歸納】 事件a與事件b互斥，如果沒有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用 如果事件a1，a2，an彼此互斥，那么p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)，即彼此互斥事件和的概率等于它們概率的和 在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易 【做一做 11】判斷下列說法是否正確，并說明原因： （1）將一枚硬幣拋擲兩次，設(shè)事件a：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件b：“兩次都出現(xiàn)反6 / 10 面”，則事件a與b是互斥事件； （2

12、）在 10 件產(chǎn)品中有 3 件是次品，從中取 3 件事件a：“所取 3 件中最多有兩件是次品”，事件b：“所取 3 件中至少有 2 件是次品”，則事件a與b是互斥事件 【做一做 12】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13，則乙不輸?shù)母怕适莀 2對立事件 （1）定義：在一次試驗(yàn)中，如果兩個(gè)事件a與b不能同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)_，那么事件a與b稱作對立事件，事件a的對立事件記為a. （2）性質(zhì)：p（a）p(a)1，即p（a）1_. 【歸納】【歸納】 對立事件的特征：一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)事件發(fā)生 對立事件是特殊的互斥事件，即對立事件是互斥事件，但互斥事件不一

13、定是對立事件 從集合角度看，事件a的對立事件，是全集中由事件a所含結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集 【做一做 21】袋中裝有除顏色外其他均相同的白球和黑球各 3 個(gè)，從中任取 2 球，在下列事件中是對立事件的是( ) a恰有 1 個(gè)白球和恰有 2 個(gè)黑球 b至少有 1 個(gè)白球和全是白球 c至少有 1 個(gè)白球和至少有 1 個(gè)黑球 d至少有 1 個(gè)白球和全是黑球 【做一做 22】事件a與b是對立事件，且p（a）0.6，則p（b）等于( ) a0.4 b0.5 c0.6 d1 二、合作探究 題型一：互斥事件與對立事件的判斷 【例題 1】判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由 從 40

14、 張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從 1 到 10 各 10 張)中，任取一張 （1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； （2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； 7 / 10 （3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為 5 的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于 9” （2）要緊扣互斥事件的概念，判斷兩個(gè)事件是否能同時(shí)發(fā)生是關(guān)鍵 題型二：概率的有關(guān)計(jì)算 【例題 2】甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?0.8，兩人下成和棋的概率是 0.5，求甲獲勝的概率 （2）公式p(ab)p（a）p（b）的使用條件是事件a，b互斥，否則不成立 題型三：互斥事件、對立事件的綜合應(yīng)用 【例題 3】一盒中裝有各色球 12 只，其中 5 只紅球、4

15、只黑球、2 只白球、1 只綠球從中隨機(jī)取出 1 球，求： （1）取出 1 球是紅球或黑球的概率； （2）取出的 1 球是紅球或黑球或白球的概率 【精煉反饋】【精煉反饋】 1 從一批產(chǎn)品中取出三件，設(shè)a表示“三件產(chǎn)品全不是次品”，b表示“三件產(chǎn)品全是次品”，c表示“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是( ) aa與c互斥 8 / 10 bb與c互斥 c任兩個(gè)均互斥 d任兩個(gè)均不互斥 2 一人射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是( ) a兩次都不中靶 b兩次都中靶 c只有一次中靶 d至多有一次中靶 3 拋擲一枚均勻的正方體骰子，記a為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，b為事件“落地時(shí)向上

16、的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，c為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是 3 的倍數(shù)”其中是互斥事件的是_，是對立事件的是_ 4 有 朋 自 遠(yuǎn) 方 來 ， 已 知 他 乘 火 車 、 輪 船 、 汽 車 、 飛 機(jī) 來 的 概 率 分 別 是0.30.20.10.4 （1）求他乘火車或飛機(jī)來的概率； （2）求他不乘輪船來的概率 【答案答案】： 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1（3）p（a）p（b） 【做一做 11】解：解：（1）正確a和b是互斥事件因?yàn)檫@兩個(gè)事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生 （2）不正確a和b不是互斥事件，因?yàn)槭录包括三種情況：2 件次品 1 件正品，1件次品 2 件正品，3 件正品；事件b包含兩種情況：2 件次品 1

17、件正品，3 件次品從而事件a，b可以同時(shí)發(fā)生，故不互斥 【做一做 12】56 乙不輸?shù)母怕蕿?21356. 2（1）發(fā)生 （2）p(a) 【做一做 21】d 至少有一個(gè)白球的反面是沒有白球，即全是黑球 9 / 10 【做一做 22】a p（b）1p（a）0.4 典型例題領(lǐng)悟 【例題 1】解：解：（1）是互斥事件，不是對立事件 理由是：從 40 張撲克牌中任意抽取 1 張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，兩者不是對立事件 （2）既是互斥事件，又是對立事件 理由是：從 40 張撲克牌中，任意

18、抽取 1 張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件 （3）不是互斥事件，也不是對立事件 理由是：從 40 張撲克牌中任意抽取 1 張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為 5 的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于 9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為 10，因此，兩者不是互斥事件，也不是對立事件 【例題 2】解：解：設(shè)“甲勝”為事件a，“和棋”為事件b，a，b為互斥事件，則p(ab)p（a）p（b）0. 8， p（a）0.8p（b）0.80.50.3 甲獲勝的概率為 0.3 【例題 3】解法一：（1）從 12 只球中任取 1 球得紅球有 5 種取法，得黑球有 4 種取法，得紅球或黑球共有 549 種不同取法，任取 1 球有 12 種取法任取 1 球得紅球或黑球的概率為p191234. （2）從 12 只球中任取 1 球得紅球有 5 種取法，得黑球有 4 種取法，得白球有 2 種取法從而得紅球或黑球或白球的概率為542121112. 解法二：(利用互斥事件求概率)記事件a1任取 1 球?yàn)榧t球；a2任取 1 球?yàn)楹谇颍籥3任取 1 球?yàn)榘浊?；a4