第2章 2.5.2　橢圓的幾何性質(zhì)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊講義

1、1 / 10 2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì) 學(xué) 習(xí) 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形 2根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形(重點、難點) 通過橢圓幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng) 奧地利維也納金色大廳的頂棚設(shè)計為橢圓面，舞臺在這個橢圓面的一個焦點處當樂隊在舞臺上演奏時，橢圓面頂棚會把聲音反射到橢圓面的另一個焦點處匯聚，因此在這個焦點處的聽眾就感到還有另外一個樂隊存在(其實什么都沒有)所以能產(chǎn)生很好的聽覺效果其實這就是利用了本節(jié)課要學(xué)習(xí)的橢圓的幾何性質(zhì)，那么橢圓還有什么其他的幾何性質(zhì)呢？ 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 焦點的

2、位置 焦點在 x軸上 焦點在 y軸上 標準方程 x2a2y2b21(ab0) y2a2x2b21(ab0) 圖形 對稱性 對稱軸 x軸和 y軸，對稱中心(0,0) 范圍 xa，a， xb，b， 2 / 10 yb，b ya，a 頂點 a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b) a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0) 軸長 短軸|b1b2|2b，長軸|a1a2|2a 焦點 f1(c,0)，f2(c,0) f1(0，c)，f2(0，c) 焦距 |f1f2|2c 離心率 eca(0e1) 思考 1：橢圓上的點到焦點的最大距離與最小距離分別是什么？ 提示 最

3、大距離：ac；最小距離：ac 思考 2：橢圓方程x2a2y2b21(ab0)中 a，b，c 的幾何意義是什么？ 提示 在方程x2a2y2b21(ab0)中，a，b，c 的幾何意義如圖所示即a，b，c 正好構(gòu)成了一個以對稱中心，一個焦點、一個短軸頂點構(gòu)成的直角三角形 1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)橢圓x2a2y2b21(ab0)的長軸長等于 a ( ) (2)橢圓上的點到焦點的距離的最小值 ac ( ) (3)橢圓上的離心率 e越小，橢圓越圓 ( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1) 橢圓x2a2y2b21(ab0)的長軸長等于 2a (2) 橢圓上的點到焦點的距離的

4、最大值為 ac，最小值為 ac (3) 離心率 eca越小，c就越小，這時 b就越接近于 a，橢圓就越圓 2橢圓 6x2y26的長軸端點坐標為( ) 3 / 10 a(1,0)，(1,0) b(6,0)，(6,0) c( 6，0)，( 6，0) d(0， 6)，(0， 6) d x2y261 焦點在 y 軸上，長軸端點坐標為(0， 6)，(0， 6) 3橢圓 x24y24的離心率為( ) a32 b34 c22 d23 a 化橢圓方程為標準形式得x24y21， 所以 a24，b21，所以 c2a2b23 所以 eca32 4橢圓x29y2161的焦點坐標是 ，頂點坐標是 (0， 7) ( 3,

5、0)，(0， 4) 由方程x29y2161 知焦點在 y 軸上，所以 a216，b29，c2a2b27 因此焦點坐標為(0， 7)，頂點坐標為( 3,0)，(0， 4) 橢圓的幾何性質(zhì) 【例 1】 求橢圓 16x225y2400 的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標 思路探究 化為標準方程，確定焦點位置及 a，b，c的值，再研究相應(yīng)的幾何性質(zhì) 解 把已知方程化成標準方程x252y2421，可知 a5，b4，所以 c3因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是 2a10 和 2b8，離心率 eca35，兩個焦點分別是 f1(3,0)和 f2(3,0)，橢圓的四個頂點是 a1(5,0)，a2(5,0)

6、，b1(0，4)和 b2(0,4) 1已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標準形式的先化成標準形式，再確4 / 10 定焦點的位置，進而確定橢圓的類型 2焦點位置不確定的要分類討論，找準 a 與 b，正確利用 a2b2c2求出焦點坐標，再寫出頂點坐標 提醒：長軸長、短軸長、焦距不是 a，b，c，而應(yīng)是 a，b，c的兩倍 跟進訓(xùn)練 1求橢圓 4x29y236的長軸長和焦距、焦點坐標、頂點坐標和離心率 解 將橢圓方程變形為x29y241， a3，b2，c a2b2 94 5 橢圓的長軸長和焦距分別為 2a6,2c2 5，焦點坐標為 f1( 5，0)，f2( 5，0)， 頂點坐標為 a1(3,0)，a2

7、(3,0)，b1(0，2)，b2(0,2)，離心率 eca53 利用幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程 【例 2】 求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)與橢圓 4x29y236有相同的焦距，且離心率為55； (2)長軸長是短軸長的 2 倍，且過點(2，4) 解 (1)將方程 4x29y236 化為x29y241， 可得橢圓焦距為 2c2 5又因為離心率 e55， 即555a，所以 a5，從而 b2a2c225520 若橢圓焦點在 x軸上，則其標準方程為x225y2201； 若橢圓焦點在 y軸上，則其標準方程為y225x2201 (2)依題意 2a22b，即 a2b 若橢圓焦點在 x軸上，設(shè)其方程為x

8、2a2y2b21(ab0)， 5 / 10 則有 a2b，4a216b21.解得 a268，b217， 所以標準方程為x268y2171 若橢圓焦點在 y軸上，設(shè)其方程為y2a2x2b21(ab0)， 則有 a2b，16a24b21，解得 a232，b28. 所以標準方程為x28y2321 利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的基本步驟及注意事項 (1)用幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程通常采用的方法是待定系數(shù)法. (2)根據(jù)已知條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數(shù)”，即先明確焦點的位置或分類討論.一般步驟是：求出 a2，b2的值；確定焦點所在的坐標軸；寫出標準方程. (3)在求解 a2、b2時常用方

9、程(組)思想，通常由已知條件與關(guān)系式 a2b2c2，eca等構(gòu)造方程(組)加以求解. 提醒：解答本例時容易忽視焦點的位置而漏解. 跟進訓(xùn)練 2求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)長軸長是 10，離心率是45； (2)在 x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為 6 解 (1)設(shè)橢圓的方程為 x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0) 由已知得 2a10，a5，eca45，c4 6 / 10 b2a2c225169 橢圓方程為x225y291或x29y2251 (2)依題意可設(shè)橢圓方程為 x2a2y2b21(ab0) 如圖所示，a1fa2為一等腰直角三角形，o

10、f為斜邊 a1a2的中線(高)， 且|of|c，|a1a2|2b,2c6， cb3，a2b2c218， 故所求橢圓的方程為x218y291 求橢圓的離心率 探究問題 1求橢圓離心率的關(guān)鍵是什么？ 提示 根據(jù) eca，a2b2c2，可知要求 e，關(guān)鍵是找出 a，b，c 的等量關(guān)系 2a，b，c對橢圓形狀有何影響？ 提示 【例 3】 已知 f1，f2是橢圓的兩個焦點，過 f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 a，b兩點，若abf2是正三角形，求該橢圓的離心率 思路探究 由題設(shè)求得 a、b 點坐標，根據(jù)abf2是正三角形得出 a，b，c的關(guān)系，從而求出離心率 7 / 10 解 設(shè)橢圓的方程為x2a2y

11、2b21(ab0)，焦點坐標為 f1(c,0)，f2(c,0) 依題意設(shè) a點坐標為c，b2a， 則 b點坐標為c，b2a， |ab|2b2a 由abf2是正三角形得 2c322b2a， 即 3b22ac， 又b2a2c2， 3a2 3c22ac0， 兩邊同除以 a2得 3ca22ca 30， 解得 eca33 1(變換條件)本例中將條件“過 f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 a，b 兩點，若abf2是正三角形”改為“a 為 y 軸上一點，且 af1的中點 b 恰好在橢圓上，若af1f2為正三角形”如何求橢圓的離心率？ 解 設(shè)橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，焦點坐標為 f1(c,0

12、)，f2(c,0)， 設(shè) a點坐標為(0，y0)(y00)， 則 b點坐標為c2，y02， b點在橢圓上， c24a2y204b21， 解得 y204b2b2c2a2， 由af1f2為正三角形得 4b2b2c2a23c2， 即 c48a2c24a40， 8 / 10 兩邊同除以 a4得 e48e240， 解得 e 31 2(變換條件)“若abf2是正三角形”換成“橢圓的焦點在 x 軸上，且 a點的縱坐標等于短半軸長的23”，求橢圓的離心率 解 設(shè)橢圓方程為x2a2y2b21(ab0)，f1(c,0)，f2(c,0)， 由題意知 ac，23b 在橢圓上， c2a2491，解得 e53 求橢圓離心

13、率的方法 (1)直接求出 a 和 c，再求 eca，也可利用 e1b2a2求解 (2)若 a 和 c 不能直接求出，則看是否可利用條件得到 a 和 c 的齊次等式關(guān)系，然后整理成ca的形式，并將其視為整體，就變成了關(guān)于離心率 e 的方程，進而求解 1已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標準形式要先化成標準形式，再確定焦點的位置，找準 a、b 2利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程通常采用待定系數(shù)法 3求離心率 e時，注意方程思想的運用 1橢圓x29y2161的離心率( ) a74 b916 9 / 10 c13 d14 a a216，b29，c27，從而 eca74 2若中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓

14、的長軸長為 18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是( ) ax281y2721 bx281y291 cx281y2451 dx281y2361 a 由已知得 a9,2c132a，c13a3，b2a2c272 又焦點在 x軸上，橢圓方程為x281y2721 3橢圓 x2my21 的焦點在 y 軸上，長軸長是短軸長的 2 倍，則 m 的值為( ) a12 b2 c14 d4 c 橢圓 x2my21的標準形式為：x2y21m1 因為焦點在 y軸上，且長軸長是短軸長的 2倍，所以1m4，所以 m14 4若一個橢圓長軸的長度，短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 35 由題意有 2a2c2(2b)，即 ac2b， 又 c2a2b2，消去 b 整理得 5c23a22ac， 即 5e22e30，e35或 e1(舍去) 5已知橢圓的標準方程為x24y29